【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版8-7空间向量的综合应用作业

【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版8-7空间向量的综合应用作业

课时跟踪检测（四十二） 空间向量的综合应用 一保高考，全练题型做到高考达标 ‎1.(2019·海安检测)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．‎ ‎(1)求证：B1E⊥AD1；‎ ‎(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．‎ ‎(3)若二面角AB1EA1的大小为30°，求AB的长．‎ 解：(1)证明：以A为坐标原点，，， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，‎ 故＝(0,1,1)，＝.‎ ‎∵·＝0＋1－1＝0，∴⊥，即B1E⊥AD1.‎ ‎(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)．‎ 由(1)知，＝(a,0,1)，＝.‎ 设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)．‎ 则即 取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.‎ 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，即－az0＝0，‎ 解得z0＝.‎ 又∵DP⊄平面B1AE，‎ ‎∴在棱AA1上存在一点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.‎ ‎(3)连结A1D，B1C，由长方体ABCD A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.‎ ‎∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.‎ 又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，‎ ‎∴AD1⊥平面DCB1A1.‎ ‎∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．‎ 则cos〈n，〉＝＝ .‎ ‎∵二面角AB1EA1的大小为30°，‎ ‎∴＝，解得a＝2，‎ 即AB的长为2.‎ ‎2．(2018·南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是线段PC的中点．‎ ‎(1)求异面直线AP与BE所成角的大小；‎ ‎(2)若点F在线段PB上，且使得二面角FDEB的正弦值为，求的值．‎ 解：(1)在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，所以DA，DC，DP两两垂直，故以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.‎ 因为PD＝DC，所以DA＝DC＝DP，‎ 不妨设DA＝DC＝DP＝2，‎ 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)．‎ 因为E是PC的中点，所以E(0,1,1)，‎ 所以＝(－2,0,2)，＝(－2，－1,1)，‎ 所以cos〈，〉＝＝，‎ 从而〈，〉＝.‎ 因此异面直线AP与BE所成角的大小为.‎ ‎(2)由(1)可知，＝(0,0,2)，＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，＝(2,2，－2)．‎ 设＝λ，则＝(2λ，2λ，－2λ)，‎ 从而＝＋＝(2λ，2λ，2－2λ)．‎ 设m＝(x1，y1，z1)为平面DEF的法向量，‎ 则即 取z1＝λ，则y1＝－λ，x1＝2λ－1.‎ 故m＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF的一个法向量，‎ 设n＝(x2，y2，z2)为平面DEB的法向量，‎ 则即 取x2＝1，则y2＝－1，z2＝1.‎ 所以n＝(1，－1,1)为平面BDE的一个法向量．‎ 因为二面角FDEB的正弦值为，‎ 所以二面角FDEB的余弦值的绝对值为，‎ 即|cos〈m，n〉|＝＝＝，‎ 化简得4λ2＝1.‎ 因为点F在线段PB上，所以0≤λ≤1，‎ 所以λ＝，即＝.‎ ‎3．(2018·常州期末)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A＝D1D＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2.‎ ‎(1)在平面ABCD内找一点F，使得D1F⊥平面AB1C；‎ ‎(2)求二面角CB1AB的余弦值．‎ 解：(1)取A1D1的中点E，因为D1A＝D1D，所以D1A＝A1A，‎ 所以AE⊥A1D1.‎ 又A1D1∥AD，所以AE⊥AD.‎ 因为侧面ADD1A1⊥底面ABCD，侧面ADD1A1∩底面ABCD＝AD，AE⊂侧面ADD1A1，‎ 所以AE⊥平面ABCD.‎ 则以A为原点，以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,1)，B1(1，－1,1)，设F(a，b,0)，‎ 则＝(a，b－1，－1)， ＝(1,1,0)，＝(1，－1,1)，‎ 因为D1F⊥平面AB1C，‎ 所以即得a＝b＝，‎ 所以F，即F为AC的中点．‎ 所以存在AC的中点F，使D1F⊥平面AB1C.‎ ‎(2)由(1)可取平面B1AC的一个法向量n1＝＝.‎ 设平面B1AB的法向量n2＝(x，y，z)，因为＝(1,0,0)，‎ 所以即令y＝1，得n2＝(0,1,1)．‎ 则cos〈n1，n2〉＝＝－.‎ 由图知二面角CB1AB为锐角，‎ 所以二面角CB1AB的余弦值为.‎ ‎4．(2019·苏北四市一模)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．‎ ‎(1)求异面直线AP与BM所成角的余弦值；‎ ‎(2)点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．‎ 解：(1)因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.‎ 又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两垂直．‎ 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，‎ 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)．‎ 又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)．‎ 所以＝(0,0,4)，＝(－1,1,2)，‎ 所以cos〈，〉＝＝＝，‎ 所以异面直线AP与BM所成角的余弦值为.‎ ‎(2)因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，‎ 则＝(－1，λ－1，－2)，＝(0,2,0)，＝(2,0，－4)．‎ 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则即令x＝2，得y＝0，z＝1，‎ 所以m＝(2,0,1)是平面PBC的一个法向量，‎ 因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，‎ 所以|cos〈，m〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0,4]，‎ 所以λ的值为1.‎ 二上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎(2018·无锡期末)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD＝1，D1D＝2，点P为棱CC1的中点．‎ ‎(1)设二面角AA1BP的大小为θ，求sin θ的值；‎ ‎(2)设M为线段A1B上的一点，求的取值范围．‎ 解：(1)如图，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，‎ 则A(1,0,0)，A1(1,0,2)，P(0,1,1)，B(1，1,0)，‎ 所以＝(1，－1,1)，＝(1,0，－1)，‎ 设平面PA1B的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则即 令x＝1，得m＝(1,2,1)．‎ 又平面AA1B的一个法向量n＝＝(1,0,0)，‎ 所以cos〈n，m〉＝＝，‎ 则sin θ＝.‎ ‎(2)设M(x，y，z)，因为M在A1B上，所以＝λ，‎ 即(x－1，y－1，z)＝λ(0，－1,2)(0≤λ≤1)，‎ 所以M(1,1－λ，2λ)，‎ 所以＝(0，λ－1，－2λ)，＝(－1，λ，1－2λ)，‎ 所以＝＝＝ ，‎ 令2λ－1＝t∈[－1,1]，则＝，‎ 当t∈[－1,0)时，＝∈，‎ 当t∈(0,1]时，＝∈，‎ 当t＝0时，＝0，所以∈，‎ 则∈.‎