2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第二章 6 第6讲 对数与对数函数
[基础题组练]
1．实数lg 4＋2lg 5的值为( )
A．2 B．5
C．10 D．20
解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A.
2．函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－3，0) B．(－3，0]
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)
解析：选A.因为f(x)＝，所以要使函数f(x)有意义，需使即－3
0，a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，
由f(x)>1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解得11恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)>1，
且8－2a<0，所以a>4，且a<1，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
答案：
10．已知函数f(x)＝若a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围为________．
解析：由f(a)＝f(b)＝f(c)，可知－log3a＝log3b＝2－log3c，则ab＝1，bc＝9，故a＝，c＝，则a＋b＋c＝b＋，又b∈(1，3)，位于函数f(b)＝b＋的减区间上，所以＜a＋b＋c＜11.
答案：
11．函数f(x)＝log(ax－3)(a>0且a≠1)．
(1)若a＝2，求函数f(x)在(2，＋∞)上的值域；
(2)若函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，求a的取值范围．
解：(1)令t＝ax－3＝2x－3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t>22－3＝1，
由复合函数的单调性原则可知，f(x)＝log(2x－3)在(2，＋∞)上单调递减，
所以f(x)1，
所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝>0，
所以2x>3y；
因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以3y<5z；
因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，
所以5z>2x.
所以5z>2x>3y，故选D.
2．(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函数是( )
A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
解析：选A.f3(x)＝log2x2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，
故其他函数图象经过平移后不可能与f3(x)的图象重合，故排除选项B，D；f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将f2(x)＝log2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位得到y＝log2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.
3．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－mx为偶函数，其中e为自然对数的底数，则m＝________，若a2＋ab＋4b2≤m，则ab的取值范围是________．
解析：由题意，f(－x)＝ln(e－2x＋1)＋mx＝ln(e2x＋1)－mx，所以2mx＝ln(e2x＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x，所以m＝1，因为a2＋ab＋4b2≤m，所以4|ab|＋ab≤1，所以－≤ab≤，故答案为1，.
答案：1
4．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a满足f(log3a)＋f(loga)≥2f(1)，则a的取值范围是________．
解析：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，即有f(x)＝f(|x|)，
由实数a满足f(log3a)＋f(loga)≥2f(1)，
则有f(log3a)＋f(－log3a)≥2f(1)，
即2f(log3a)≥2f(1)即f(log3a)≥f(1)，
即有f(|log3a|)≥f(1)，
由于f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，
则|log3a|≤1，即有－1≤log3a≤1，
解得≤a≤3.
答案：
