- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
高考数学二轮复习第四板块拓视野巧迁移练酷专题教学案文
第四板块 拓视野 巧迁移 第一讲 创新应用问题 一、实际应用问题 1 应用性问题叙述中往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未 知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化. 2 建立数学模型后，运用恰当的数学方法解模 如借助不等式、导数等工具加以解决 . [典例] (1)一个边长为 6 的正方形铁片，铁片的四角分别截去边长为 x 的小正方形，然后 做成一个无盖方盒，当无盖方盒的容积最大时，x 的值应为( ) A．6 B．3 C．1 D. 1 6 [解析] 无盖方盒的底面边长为 6－2x，高为 x，其容积 V(x)＝(6－2x)2x＝4x3－24x2＋36x(0 ＜x＜3)，则 V′(x)＝12x2 －48x＋36＝12(x－1)(x－3)， 当 x∈(0,1)时，V′(x)＞0，函数 V(x)单调递增；当 x∈(1,3)时，V′(x)＜0，函数 V(x)单 调递减． 故当 x＝1时，无盖方盒的容积最大． [答案] C (2)(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全 年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年 投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( ) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2018 年 B．2019 年 C．2020 年 D．2021 年 [解析] 设 2015 年后的第 n 年该公司投入的研发资金开始超过 200 万元．由 130(1＋12%) n ＞200，得 1.12 n ＞ 20 13 ，两边取常用对数，得 n＞ lg 2－lg 1.3 lg 1.12 ≈ 0.30－0.11 0.05 ＝ 19 5 ，∴n≥4，∴从 2019 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元． [答案] B [反思领悟] 解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建 立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型． [创新预测] 为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人的交通违规行为进行处罚教育．为了更加详细地 研究处罚金额对闯红灯人数的作用，在某一个路口进行了五天试验，得到当天的处罚金额与闯红 灯人数的统计数据如下表： 当天处罚金额 x(单位：元) 0 5 10 15 20 当天闯红灯人数 y 80 50 40 20 10 (1)根据以上数据，建立当天闯红灯人数 y关于当天处罚金额 x 的回归直线方程； (2)现按照处罚金额用分层抽样的方法，从这五天闯红灯的人中抽取40人进行交通安全教育， 再从这 40 人中被处罚的金额为 15 元和 20 元的行人中，随机抽取 2 人进行重点教育，求所抽取 的 2 人被处罚金额不同的概率． 参考公式：b ^ ＝错误!，a ^ ＝ y －b ^ x . 解：(1)由题意得 x ＝ 1 5 (0＋5＋10＋15＋20)＝10， y ＝ 1 5 (80＋50＋40＋20＋10)＝40， 错误!iyi＝0×80＋5×50＋10×40＋15×20＋20×10＝1 150， 错误!2i＝0＋25＋100＋225＋400＝750， 所以b ^ ＝错误!＝ 1 150－5×10×40 750－5×10 2 ＝－3.4， a ^ ＝ y －b ^ x ＝40＋3.4×10＝74， 所以当天闯红灯人数 y 关于当天处罚金额 x 的回归直线方程为y ^ ＝－3.4x＋74. (2)这五天中闯红灯的行人共计 200 人，从中抽取 40 人，则抽样比为 40 200 ＝ 1 5 ，故应从被处罚 金额为 15 元的行人中抽取 20× 1 5 ＝4(人)，记为 A1，A2，A3，A4；应从被处罚金额为 20 元的行人 中抽取 10× 1 5 ＝2(人)，记作 B1，B2. 从上述 6 人中随机抽取 2人的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，B1}，{A1，B2}， {A2，A3}，{A2，A4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，A4}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A4，B1}，{A4，B2}，{B1， B2}，共 15 个． 记“所抽取的 2 人被处罚金额不同”为事件 M，则 M 包含的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}， {A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A4，B1}，{A4，B2}，共 8 个． 故 P(M)＝ 8 15 . 二、创新性问题 1 以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键. 2 以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力. 3 以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特 殊与一般的辩证关系进行求解. [典例] 设 D 是函数 y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在 x0∈D，使得 f(x0)＝－x0，则称 x0是 f(x)的一个“次不动点”，也称 f(x)在区间 D 上存在“次不动点”．若函数 f(x)＝ax2 －3x －a＋ 5 2 在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数 a的取值范围是( ) A．(－∞，0] B. 0， 1 2 C. －∞， 1 2 D. 1 2 ，＋∞ [解析] 由题意，方程 ax2 －3x－a＋ 5 2 ＝－x 在区间[1,4]上有解，显然 x≠1，所以方程 ax2 －3x－a＋ 5 2 ＝－x 在区间(1,4]上有解，即求函数 a＝ 2x－ 5 2 x2 －1 在区间(1,4]上的值域， 令 t＝4x－5，则 t∈(－1,11]，a＝ 8t t2 ＋10t＋9 ，当 t∈(－1,0]时，a≤0； 当 t∈(0,11]时，0＜a＝ 8 t＋ 9 t ＋10 ≤ 8 2 t× 9 t ＋10 ＝ 1 2 ，当且仅当 t＝3时取等号． 综上，实数 a 的取值范围是 －∞， 1 2 . [答案] C [反思领悟] 高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大 的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思 维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借 助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理 这类问题的基本思想方法和解题策略． [创新预测] 1．定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列 叫作等差列，这个常叫作等差列的公差．已知向量列{an}是以 a1＝(1,3)为首项，公差为 d＝(1,0) 的等差向量列，若向量 an与非零向量 bn＝(xn，xn＋1)(n∈N*)垂直，则 x10 x1 ＝________. 解析：易知 an＝(1,3)＋(n－1,0)＝(n,3)，因为向量 an与非零向量 bn＝(xn，xn＋1)(n∈N * )垂 直 ， 所 以 xn＋1 xn ＝ － n 3 ， 所 以 x10 x1 ＝ x2 x1 · x3 x2 · x4 x3 · x5 x4 · x6 x5 · x7 x6 · x8 x7 · x9 x8 · x10 x9 ＝ － 1 3 × － 2 3 × － 3 3 × － 4 3 × － 5 3 × － 6 3 × － 7 3 × － 8 3 × － 9 3 ＝－ 4 480 243 . 答案：－ 4 480 243 2．(2017·青岛一模)如果对定义在 R 上的函数 f(x)，对任意两个不相等的实数 x1，x2，都 有 x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数 f(x)为“H函数”． 给出下列函数：①y＝x2 ；②y＝e x ＋1；③y＝2x－sin x；④f(x)＝ ln|x|，x≠0， 0，x＝0. 以上函 数是“H 函数”的所有序号为________． 解析：由不等式 x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)， 得 x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0， 即(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0. 所以函数 f(x)为定义域 R 上的单调增函数． ①y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，不合题意； ②因为 y＝e x ＋1，所以 y′＝e x ＞0，故该函数在 R 上为单调增函数，满足题意； ③因为 y＝2x－sin x，所以 y′＝2－cos x＞0，故该函数在 R 上为单调增函数，满足题意； ④显然，函数 f(x)为偶函数，而偶函数在 y 轴两侧的单调性相反，故不合题意． 综上，②③为“H 函数”． 答案：②③ 3.如图，在平面斜坐标系 xOy 中，∠xOy＝θ，平面上任意一点 P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若 OP ―→ ＝xe1＋ye2(其中 e1，e2分别 是 x 轴，y 轴正方向上的单位向量)，则点 P 的斜坐标为(x，y)，向量 OP ―→ 的斜坐标为(x，y)．给出以下结论： ①若θ＝60°，P(2，－1)，则| OP ―→ |＝ 3； ②若 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 OP ―→ ＋ OQ ―→ ＝(x1＋x2，y1＋y2)； ③若 OP ―→ ＝(x1，y1)， OQ ―→ ＝(x2，y2)，则 OP ―→ · OQ ―→ ＝x1x2＋y1y2； ④若θ＝60°，以 O 为圆心、1 为半径的圆的斜坐标方程为 x2 ＋y2 ＋xy－1＝0. 其中所有正确结论的序号是________． 解析：对于①，OP 是两邻边长分别为 2,1，且一内角为 60°的平行四边形较短的对角线，解 三角形可知| OP ―→ |＝ 3，故①正确；对于②，若 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 OP ―→ ＋ OQ ―→ ＝(x1＋x2， y1＋y2)，故②正确；对于③，OP ―→ ＝(x1，y1)， OQ ―→ ＝(x2，y2)，所以 OP ―→ · OQ ―→ ＝(x1e1＋y1e2)·(x2e1 ＋y2e2)，因为 e1·e2≠0，所以 OP ―→ · OQ ―→ ≠x1x2＋y1y2，故③错误；对于④，设圆 O 上任意一点为 P(x，y)，因为|OP|＝1，所以(xe1＋ye2) 2＝1，所以 x2＋y2＋xy－1＝0，故④正确．故填①②④. 答案：①②④ 三、数学文化问题 高考中数学文化问题，往往以古代数学名著如《九章算术》《数书九章》《算数书》等为背景， 考查高中数学中的三角函数、数列、立体几何、算法等知识，体现数学的科学价值和人文价值. 1．三角函数中的数学文化 [典例] 第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为 基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼 成的一个大正方形．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角 三角形中较大的锐角为θ，那么 tan θ＋ π 4 ＝________. [思路分析] 本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角函数 值确定角θ满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可． [解析] 依题意得大、小正方形的边长分别是 1,5， 于是有 5sin θ－5cos θ＝1 0＜θ＜ π 2 ， 即有 sin θ－cos θ＝ 1 5 . 从而(sin θ＋cos θ) 2 ＝2－(sin θ－cos θ) 2 ＝ 49 25 ， 则 sin θ＋cos θ＝ 7 5 ， 因此 sin θ＝ 4 5 ，cos θ＝ 3 5 ，tan θ＝ 4 3 ， 故 tan θ＋ π 4 ＝ tan θ＋1 1－tan θ ＝－7. [答案] －7 [相关链接] 1 700 多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾 股定理的证明不证自明．该题取材于第 24 届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露 出丰富的文化内涵．既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边 相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作 交流等等． [创新预测] 欧拉公式 e ix ＝cos x＋isin x 是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大 到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉 为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，复数 e i 4 ·e 3 i 4 ＋(1＋i) 2 的虚部是( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：选 D 依题意得，e i 4 ·e 3 i 4 ＋(1＋i) 2 ＝ cos π 4 ＋isin π 4 cos 3π 4 ＋isin 3π 4 ＋2i＝－ 1＋2i，其虚部是 2. 2．数列中的数学文化 [典例] (2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七 层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏 灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( ) A．1 盏 B．3 盏 C．5盏 D．9 盏 [思路分析] 此问题实质是等比数列问题，相当于已知 S7，求 a1. [解析] 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前 7项的和 S7＝381，公比 q＝2，依题意，得 S7＝ a1 1－27 1－2 ＝381，解得 a1＝3. [答案] B [相关链接] 我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差 (或等比)数列问题，因此，各级各类考试试卷中涉及等差(或等比)数列的数学文化题也频繁出 现．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差、等比数列的概念、 通项公式和前 n 项和公式求解． [创新预测] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人 走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达 目的地，请问第二天走了( ) A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里 解析：选 B 依题意，每天走的路程成公比为 1 2 等比数列，设等比数列{an}的首项为 a1，公比 为 q＝ 1 2 ，依题意有 a1 1－ 1 2 6 1－ 1 2 ＝378，解得 a1＝192，则 a2＝192× 1 2 ＝96，即第二天走了 96 里． 3．立体几何中的数学文化 [典例] (1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的 过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个 圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，当其正视图和 侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是( ) A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d [思路分析] 观察题目所给直观图，理解题干中有关“牟合方盖”的特征叙述，结合“当其 正视图和侧视图完全相同时”这个关键条件作答． [解析] 当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为 一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选 A. [答案] A [相关链接] “牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的 代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解 题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程． (2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理“幂势既同，则积 不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截 面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”， 则该不规则几何体的体积为( ) A．4－ π 2 B．8－ 4π 3 C．8－π D．8－2π [思路分析] 根据题设所给的三视图，可知其所对应几何体是从一个正方体中挖去一个半圆 柱，再根据祖暅原理和有关数据计算即可． [解析] 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题 设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为 23＝8， 半圆柱的体积为 1 2 ×(π×1 2 )×2＝π，因此该不规则几何体的体积为 8－π. [答案] C [相关链接] 祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个有关几何求积的著名定理，祖暅提 出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人民教育出版社《数学必修 2》(A 版)第 30 页 “探究与发现”中专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，考查几何体的三视图和体积计算， 既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化． [创新预测] (2017·武汉模拟)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标 准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取 3，其体积为 12.6(单位：立方 寸)，则图中的 x 为( ) A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4 解析：选 B 该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为 1 2 的圆柱，右边是一个长、宽、 高分别为 5.4－x,3，1 的长方体，∴组合体的体积 V＝V 圆柱＋V 长方体＝π· 1 2 2×x＋(5.4－x)×3×1 ＝12.6(其中π＝3)，解得 x＝1.6. 4．算法中的数学文化 [典例] (1)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳 县 ) 人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今 仍 是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多 项 式值的一个实例．若输入 n，x 的值分别为 3,2，则输出 v的值为( ) A．9 B．18 C．20 D．35 [思路分析] 读懂程序框图，按程序框图依次执行即可． [解析] 由程序框图知， 初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2， 第一次循环：v＝4，i＝1； 第二次循环：v＝9，i＝0； 第三次循环：v＝18，i＝－1. 结束循环，输出当前 v 的值 18.故选 B. [答案] B [相关链接] 《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解 决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋 而合． (2)(2017·安徽二校联考)如图所示的程序框图的算法思想源于数学 名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n” 表示 m除以 n 的余数)，若输入的 m，n分别为 495,135，则输出的 m＝( ) A．0 B．5 C．45 D．90 [解析] 该程序框图是求 495 与 135 的最大公约数，由 495＝135×3 ＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，所以 495 与 135 的最大公约数是 45， 所以输出的 m＝45. [答案] C [创新预测] 公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可 无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两 位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图，则输出 n 的值为________．(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5) 解析：n＝6，S＝ 1 2 ×6×sin 60°＝ 3 3 2 ≈2.598 1＜3.1，不满足条件，进入循环；n＝12，S ＝ 1 2 ×12×sin 30°＝3＜3.1，不满足条件，继续循环；n＝24，S＝ 1 2 ×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6＞3.1，满足条件，退出循环，输出 n 的值为 24. 答案：24 1．(2017·大连二模)定义运算：x y＝ x，xy≥0， y，xy＜0， 例如：3 4＝3，(－2) 4＝4，则函 数 f(x)＝x2 (2x－x2 )的最大值为( ) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：选D 由题意可得f(x)＝x2 (2x－x2 )＝ x2 ，0≤x≤2， 2x－x2 ，x＞2 或 x＜0， 当0≤x≤2时，f(x) ∈[0,4]；当 x＞2 或 x＜0 时，f(x)∈(－∞，0)．综上可得函数 f(x)的最大值为 4. 2．朱载堉(1536—1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作 《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度) 分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一 个八度 13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的 2倍．设 第三个音的频率为 f1，第七个音的频率为 f2.则 f2 f1 ＝( ) A. 3 2 B. 11 16 C．4 12 2 D. 8 2 解析：选 A 设 13 个音的频率所成的等比数列{an}的公比为 q，则依题意，有 a13＝a1·q12＝ 2a1，所以 q＝2 1 12 ，所以 f2 f1 ＝ a7 a3 ＝q4＝2 1 3 ＝ 3 2. 3．(2017·宜昌三模)已知甲、乙两车间的月产值在 2017 年 1 月份相同，甲车间以后每个月 比前一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到 2017 年 7 月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间 2017 年 4 月份月产值的大小，则( ) A．甲车间大于乙车间 B．甲车间等于乙车间 C．甲车间小于乙车间 D．不确定 解析：选 A 设甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值 a，乙车间每个月比前一个月 增加产值的百分比为 x，甲、乙两车间的月产值在 2017 年 1 月份均为 m，则由题意得 m＋6a＝m×(1 ＋x)6 .① 4 月份甲车间的月产值为 m＋3a,4 月份乙车间的月产值为 m×(1＋x)3 ， 由①知，(1＋x)6 ＝1＋ 6a m ，即 4 月份乙车间的月产值为 m 1＋ 6a m ＝ m2 ＋6ma，∵(m＋3a)2 －(m2 ＋6ma)＝9a2 ＞0，∴m＋3a＞ m2＋6ma，即 4 月份甲车间的月产值 大 于乙车间的月产值． 4.如图，某广场要规划一矩形区域 ABCD，并在该区域内设计出三 块 形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有 1 m 宽 的走道，已知三块绿化区的总面积为 200 m2，则该矩形区域 ABCD 占地面积的最小值为( ) A．248 m2 B．288 m2 C．328 m 2 D．368 m 2 解析：选 B 设绿化区域小矩形的宽为 x，长为 y， 则 3xy＝200，∴y＝ 200 3x ， 故矩形区域 ABCD 的面积 S＝(3x＋4)(y＋2)＝(3x＋4) 200 3x ＋2 ＝208＋6x＋ 800 3x ≥208＋2 1 600＝288， 当且仅当 6x＝ 800 3x ，即 x＝ 20 3 时取“＝”， ∴矩形区域 ABCD 的面积的最小值为 288 m 2 . 5．已知函数 y＝f(x)(x∈R)，对函数 y＝g(x)(x∈R)，定义 g(x)关于 f(x)的“对称函数” 为函数 y＝h(x)(x∈R)，y＝h(x)满足：对任意的 x∈R，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x， f(x))对称．若 h(x)是 g(x)＝ 4－x2 关于 f(x)＝3x＋b 的“对称函数”，且 h(x)＞g(x)恒成立， 则实数 b 的取值范围是________． 解析：根据“对称函数”的定义可知， h x ＋ 4－x2 2 ＝3x＋b， 即 h(x)＝6x＋2b－ 4－x2 ，h(x)＞g(x)恒成立，等价于 6x＋2b－ 4－x2 ＞ 4－x2 ，即 3x＋b＞ 4－x2 恒成立，设 F(x)＝3x＋b，m(x) ＝ 4－x2 ，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切 时，圆心到直线的距离 d＝ |b| －1 2 ＋3 2 ＝ |b| 10 ＝2，即|b|＝2 10，∴b＝2 10或 b＝－2 10(舍 去)，即要使 h(x)＞g(x)恒成立，则 b＞2 10，即实数 b 的取值范围是(2 10，＋∞)． 答案：(2 10，＋∞) 6．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐， 高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与 表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？ 译文如下：要测量海岛上一座山峰 A的高度 AH，立两根高均为 3 丈的标杆 BC 和 DE，前后标杆相 距 1 000 步，使后标杆杆脚 D 与前标杆杆脚 B 与山峰脚 H 在同一直线上，从前标杆杆脚 B 退行 123 步到 F，人眼著地观测到岛峰，A，C，F 三点共线，从后标杆杆脚 D 退行 127 步到 G，人眼著地观 测到岛峰，A，E，G 三点也共线，问岛峰的高度 AH＝________步．(古制：1 步＝6 尺，1 里＝180 丈＝1 800 尺＝300 步) 解析：如图所示，由题意知 BC＝DE＝5 步，BF＝123 步，DG＝127 步，设 AH＝h步，因为 BC∥AH，所以△BCF∽△HAF，所以 BC AH ＝ BF HF ，所以 5 h ＝ 123 HF ，即 HF＝ 123h 5 .因为 DE∥AH，所以△GDE∽△GHA，所以 DE AH ＝ DG HG ，所以 5 h ＝ 127 HG ，即 HG＝ 127h 5 ， 由题意(HG－127)－(HF－123)＝1 000，即 127h 5 － 123h 5 －4＝1 000，h＝1 255，即 AH＝1 255 步． 答案：1 255 7．对于定义在区间 D 上的函数 f(x)，若存在闭区间[a，b]⊆D 和常数 c，使得对任意 x1∈[a， b]，都有 f(x1)＝c，且对任意 x2∈D，当 x2∉ [a，b]时，f(x2)＜c 恒成立，则称函数 f(x)为区间 D上的“平顶型”函数．给出下列结论： ①“平顶型”函数在定义域内有最大值； ②函数 f(x)＝x－|x－2|为 R上的“平顶型”函数； ③函数 f(x)＝sin x－|sin x|为 R 上的“平顶型”函数； ④当 t≤ 3 4 时，函数 f(x)＝ 2，x≤1， log 1 2 x－t ，x＞1 是区间[0，＋∞)上的“平顶型”函数． 其中正确的结论是________．(填序号) 解析：由于“平顶型”函数在区间 D上对任意 x1∈[a，b]，都有 f(x1)＝c，且对任意 x2∈D， 当 x2∉ [a，b]时，f(x2)＜c 恒成立，所以“平顶型”函数在定义域内有最大值 c，①正确；对于 函数 f(x)＝x－|x－2|，当 x≥2 时，f(x)＝2，当 x＜2 时，f(x)＝2x－2＜2，所以②正确；函数 f(x)＝sin x－|sin x|是周期为 2π的函数，所以③不正确；对于函数 f(x)＝ 2，x≤1， log 1 2 x－t ，x＞1 t≤ 3 4 ，当 x≤1时，f(x)＝2，当 x＞1时，f(x)＜2，所以④正确． 答案：①②④ 8．(2018 届高三·兰州八校联考)某公司为了变废为宝，节约资源，新研发了一个从生活垃 圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本 y(单位：元)与月处理量 x(单位：吨)之 间近似满足函数关系 y＝ 1 3 x3 －80x2 ＋5 040x，x∈[120，144 ， 1 2 x2－200x＋80 000，x∈[144，500]， 且每处理一吨生活垃圾， 可得到能利用的生物柴油的价值为 200 元，若该项目不获利，政府将给予补贴． (1)当 x∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果能获利，求出最大利润；如果不能获利， 则政府每个月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损． (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低？ 解：(1)当 x∈[200,300]时，设该项目所获利润为 S，则 S＝200x－ 1 2 x2 －200x＋80 000 ＝－ 1 2 (x－400) 2 ， 所以当 x∈[200,300]时，S＜0，因此该项目不能获利． 当 x＝300 时，S 取得最大值－5 000， 所以政府每个月至少需要补贴 5 000 元才能使该项目不亏损． (2)由题意可知，每吨生活垃圾的平均处理成本为 f(x)＝ y x ＝ 1 3 x2－80x＋5 040，x∈[120，144 ， 1 2 x＋ 80 000 x －200，x∈[144，500]， 当 x∈[120,144)时，f(x)＝ 1 3 x2－80x＋5 040＝ 1 3 (x－120)2＋240，所以当 x＝120 时，f(x) 取得最小值 240； 当 x∈[144,500]时，f(x)＝ 1 2 x＋ 80 000 x －200≥2 1 2 x× 80 000 x －200＝200，当且仅当 1 2 x＝ 80 000 x ，即 x＝400 时，f(x)取得最小值 200，因为 200＜240，所以当每月处理量为 400 吨时， 才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低． 9．为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产 品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位： 万美元)： 年固定成本 每件产品的成本 每件产品的销售价 每年可最多生产的件数 甲产品 20 a 10 200 乙产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关，a 为常数，且 6≤a≤8.另外，当年销售 x 件乙产品时 需上交 0.05x2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出． (1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润 y1，y2与生产相应产品的件数 x(x∈N*) 之间的函数关系式； (2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润； (3)如何决定投资可使年利润最大． 解：(1)y1＝(10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N * )， y2＝－0.05x2 ＋10x－40(1≤x≤120，x∈N * )． (2)∵10－a＞0，故 y1为增函数， ∴当x＝200时，y1取得最大值1 980－200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a) 万美元． y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，x∈N*)， ∴当 x＝100 时，y2取得最大值 460，即投资生产乙产品的最大年利润为 460 万美元． (3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较： 由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980－200a)万美元，生产乙产品的最大年利润为 460 万美元， (1 980－200a)－460＝1 520－200a，且 6≤a≤8， 当 1 520－200a＞0，即 6≤a＜7.6 时，投资生产甲产品 200 件可获得最大年利润； 当 1 520－200a＝0，即 a＝7.6 时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润； 当 1 520－200a＜0，即 7.6＜a≤8 时，投资生产乙产品 100 件可获得最大年利润． 10．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校 3 000 名学生进行一次安全意识测试， 根据测试成绩，评定为“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的 答卷，统计结果如下表，其对应的频率分布直方图如图所示. 等级 不及格 及格 良好 优秀 成绩 [70,90) [90,110) [110,130) [130,150] 频数 6 a 24 b (1)求 a，b，c的值； (2)试估计该校安全意识测试被评定为“优秀”的学生人数； (3)采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选 6 人进行强化培 训．然后从这 6 人中任选 2 人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的 2 人中有 1 人为“优秀”的 概率． 解：(1)由频率分布直方图可知，成绩在[70,90)的频率为 0.005×20＝0.1，由成绩在[70,90) 内的频数为 6，可知抽取的学生答卷数为 6 0.1 ＝60，则 6＋a＋24＋b＝60，即 a＋b＝30.① 由频率分布直方图可知，成绩在[130,150]内的频率为 0.010×20＝0.2， 即 b 60 ＝0.2.② 由①②得 a＝18，b＝12. 进而可得 c＝ 18 60×20 ＝0.015. (2)由频率分布直方图可知，成绩在[130,150]内的频率为 0.2， 由频率估计概率，可知从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为 0.2， 设该校安全意识测试被评定为“优秀”的学生人数为 n，则 n 3 000 ＝0.2，解得 n＝600， 所以估计该校安全意识测试被评定为“优秀”的学生人数为 600. (3)评定等级为“良好”和“优秀”的学生人数之比为 24∶12＝2∶1，故选取的 6 人中评定 等级为“良好”的有 4 人，记为 a，b，c，d，评定等级为“优秀”的有 2人，记为 A，B， 则从这 6 人中任取 2人，所有基本事件为 AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac， ad，bc，bd，cd，共 15 个， 记事件 M 为“所抽取的 2 人中有 1人为‘优秀’”，则事件 M 含有 8 个基本事件，为 Aa，Ab， Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，所以 P(M)＝ 8 15 . 第二讲 临界知识问题 一、定义新知型临界问题 从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时 掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力.多与函数、平面向量、数列 联系考查. [典例] (1)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的 a＝(m，n)，b＝(p，q)， 令 a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是( ) A．若 a 与 b 共线，则 a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2 ＋(a·b)2 ＝|a|2 |b|2 [解析] 根据题意可知若 a，b 共线，可得 mq＝np，所以 a⊙b＝mq－np＝0，所以 A 正确； 因为 a⊙b＝mq－np，而 b⊙a＝np－mq，故二者不一定相等，所以 B错误；对任意的λ∈R，(λa) ⊙b＝λmq－λnp＝λ(mq－np)＝λ(a⊙b)，所以 C 正确；(a⊙b)2 ＋(a·b)2 ＝m2q2 ＋n2p2 －2mnpq ＋m2p2 ＋n2q2 ＋2mnpq＝(m2 ＋n2 )(p2 ＋q2 )＝|a|2 |b|2 ，所以 D 正确．故选 B . [答案] B [点评] 本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及 分析问题、解决问题的能力． (2)若数列{an}满足：对任意的 n∈N * ，只有有限个正整数 m 使得 am＜n 成立，记这样的 m 的 个数为(an) *，则得到一个新数列{(an) *}．例如，若数列{an}是 1,2，3，…，n，则数列{(an) *}是 0,1,2，…，n－1，已知对任意的 n∈N*，an＝n2，则(a5) *＝______，((an) *)*＝______. [解析] 因为 am＜5，而 an＝n2，所以 m＝1,2，所以(a5) *＝2. 因为(a1) * ＝0， (a2) * ＝1，(a3) * ＝1，(a4) * ＝1， (a5) *＝2，(a6) *＝2，(a7) *＝2，(a8) *＝2，(a9) *＝2， (a10) *＝3，(a11) *＝3，(a12) *＝3，(a13) *＝3，(a14) *＝3，(a15) *＝3，(a16) *＝3， 所以((a1) * ) * ＝1，((a2) * ) * ＝4，((a3) * ) * ＝9，((a4) * ) * ＝16， 猜想((an) * ) * ＝n2 . [答案] 2 n2 [点评] 本题以数列为背景，通过新定义考查学生的自学能力、创新能力、探究能力． [创新预测] 在平面直角坐标系 xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量 a，对于任意 P∈Ω， 均有 Q∈Ω，使得 OQ ―→ ＝ OP ―→ ＋a，则称 a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题： ①若平面点集Ω存在向量周期 a，则 ka(k∈Z，k≠0)也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期； ③若平面点集Ω＝{(x，y)|x＞0，y＞0}，则 b＝(1,2)为Ω的一个向量周期； ④若平面点集Ω＝{(x，y)|[y]－[x]＝0}([m]表示不大于 m 的最大整数)，则 c＝(1,1)为Ω 的一个向量周期． 其中真命题是________(填序号)． 解析：对于①，取Ω＝{(x，y)|x＞0，y＞0}，a＝(1,0)，则 a为Ω的向量周期，但－a＝(－ 1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题； 易知②是真命题； 对于③，任取点 P(xP，yP)∈Ω，则存在点 Q(xP＋1，yP＋2)∈Ω，所以 b 是Ω的一个向量周 期，故③是真命题； 对于④，任取点 P(xP，yP)∈Ω，则[yP]－[xP]＝0，存在点 Q(xP＋1，yP＋1)，所以[yP＋1]－[xP ＋1]＝[yP]＋1－([xP]＋1)＝0，所以 Q∈Ω，所以 c是Ω的一个向量周期，故④是真命题． 综上，真命题为②③④. 答案：②③④ 二、高等数学背景型临界问题 以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点 之一.常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等. 1．取整函数[x] 设 x∈R，用[x]表示不大于 x 的最大整数，则[x]称为取整函数，也叫高斯函数(这一函数最 早由高斯引入，故得名)． [典例] 设[x]表示不大于 x的最大整数，则对任意实数 x，y，有( ) A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x] C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y] [思路分析] 解读取整函数的定义，取特殊值进行判断即可． [解析] 取特殊值进行判断． 当 x＝1.1 时，[－x]＝－2，－[x]＝－1，故 A错； 当 x＝1.9 时，[2x]＝3,2[x]＝2，故 B 错； 当 x＝1.1，y＝1.9 时，[x＋y]＝3，[x]＋[y]＝2，故 C错．选 D. [答案] D [点评] 本题是以取整函数 y＝[x]为背景的新定义题型，解题的关键是理解[x]的定义．考 查学生对信息的理解和运用能力． [创新预测] 设集合 A＝ x 1 2 017 ＜8 x ＜2 017 和 B＝{x|log2(x 2 －[x])＝2}，其中符号[x]表示不大于 x 的 最大整数，则 A∩B＝________. 解析：因为 1 2 017 ＜8 x ＜2 017，[x]的值可取－3，－2，－1，0,1,2,3. 当[x]＝－3，则 x2 ＝1，无解； 当[x]＝－2，则 x2 ＝2，解得 x＝－ 2； 当[x]＝－1，则 x2 ＝3，无解； 当[x]＝0，则 x2 ＝4，无解． 当[x]＝1，则 x2＝5，无解； 当[x]＝2，则 x2 ＝6，解得 x＝ 6； 当[x]＝3，则 x2 ＝7，无解． 综上 A∩B＝{－ 2， 6}． 答案：{－ 2， 6} 2．最值函数 定义 1：最大值、最小值 设 a，b∈R，记 min{a，b}为 a，b中较小的数，max{a，b}为 a， b中较大的数．若 a＝b，则 min{a，b}＝max{a，b}＝a＝b. 定义 2：最大函数、最小函数 设 f(x)，g(x)均为定义在 I 上的函数，记 min{f(x)，g(x)} 为 f(x)，g(x)中值较小的函数，max{f(x)，g(x)}为 f(x)，g(x)中值较大的函数．若 f(x)＝g(x)， 则 min{f(x)，g(x)}＝max{f(x)，g(x)}＝f(x)． [典例] 已知函数 f(x)＝x2 －2(a＋2)x＋a2 ，g(x)＝－x2 ＋2(a－2)x－a2 ＋8.设 H1(x)＝ max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}．记 H1(x)的最小值为 A，H2(x)的最大值为 B，则 A －B＝( ) A．16 B．－16 C．a2 －2a－16 D．a2 ＋2a－16 [思路分析] 理解最大、最小函数的定义，画出二次函数 f(x)，g(x)的图象，从图象上即可 得到 A，B的取值． [解析] f(x)的图象的顶点坐标为(a＋2，－4a－4)，g(x)的图 象的顶点坐标为(a－2，－4a＋12)，并且 f(x)与 g(x)的图象的顶点 都在对方的图象上，如图所示，所以 A－B＝－4a－4－(－4a＋12) ＝－16. [答案] B [点评] 本题考查了二次函数的图象和性质的应用，试题以信息的形式给出，增加了试题的 难度，同时考查了数形结合和转化化归的数学思想．解题过程中要能够结合图象特点，将问题转 化为研究函数图象的交点问题． [创新预测] 记实数 x1，x2，…，xn中的最大数为 max{x1，x2，…，xn}，最小数为 min{x1，x2，…，xn}．已 知△ABC的三边边长分别为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为ℓ＝max a b ， b c ， c a ·min a b ， b c ， c a ， 则“ℓ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A 注意到 0＜a≤b≤c，则有 a b ≤1， b c ≤1， c a ≥1，max a b ， b c ， c a ＝ c a .当倾斜度等于 1 时，△ABC 未必是等边三角形，如取 a＝b＝2，c＝3，此时 a b ＝1， b c ＝ 2 3 ， c a ＝ 3 2 ， max a b ， b c ， c a ·min a b ， b c ， c a ＝ c a · b c ＝1，即△ABC 的倾斜度等于 1，但△ABC 显然不是等边三角形． 反过来，当△ABC 为等边三角形时， a b ＝ b c ＝ c a ＝1，max a b ， b c ， c a ＝min a b ， b c ， c a ＝1，倾斜度 等于 1.故选 A. 3．有界函数 定义在区间 D 上的函数 f(x)，若满足：对任意 x∈D，存在常数 M＞0，都有|f(x)|≤M 成立， 则称 f(x)是区间 D上的有界函数，其中 M称为 f(x)在区间 D上的上界． [典例] 已知函数 f(x)＝1＋a· 1 2 x＋ 1 4 x，若函数 f(x)在[0，＋∞)上是以 3 为上界的有界 函数，求实数 a 的取值范围． [思路分析] 利用有界函数的定义，将问题转化为不等式恒成立问题，再求相应函数的最大 值和最小值． [解] 由题意知，|f(x)|≤3 在[0，＋∞)上恒成立，即－3≤f(x)≤3. 所以－4·2 x － 1 2 x ≤a≤2·2 x － 1 2 x 在[0，＋∞)上恒成立， 即 －4·2 x － 1 2 x max≤a≤ 2·2 x － 1 2 x min. 设 t＝2 x ，h(t)＝－4t－ 1 t ，p(t)＝2t－ 1 t ，且 t∈[1，＋∞)， 易知 h(t)＝－4t－ 1 t 在[1，＋∞)上单调递减， p(t)＝2t－ 1 t 在[1，＋∞)上单调递增， 所以 h(t)在[1，＋∞)上的最大值为 h(1)＝－5， p(t)在[1，＋∞)上的最小值为 p(1)＝1. 故实数 a 的取值范围为[－5,1]． [点评] 本题以有界函数为背景，考查学生解决“不等式恒成立”问题的能力，其中理解有 界函数的意义是解题的关键． [创新预测] 设函数 y＝ f(x)在 (0，＋∞)上有定义，对于给定的正数 K，定义函数 fK(x)＝ f x ，f x≤ K， K，f x ＞K， 取函数 f(x)＝ ln x＋1 e x ，恒有 fK(x)＝f(x)，则( ) A．K 的最大值为 1 e B．K 的最小值为 1 e C．K 的最大值为 2 D．K 的最小值为 2 解析：选 B 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝ ln x＋1 ex ′＝ 1 x －ln x－1 e x . 设 g(x)＝ 1 x －ln x－1， 则 g′(x)＝－ 1 x2 － 1 x ＝－ x＋1 x2 . 所以 g′(x)＜0 在(0，＋∞)上恒成立， 即 g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 又 g(1)＝1－ln 1－1＝0， 所以当 x∈(0,1)时，g(x)＞0， 即 f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增； 当 x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0， 即 f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减． 故函数 f(x)的最大值为 f(1)＝ ln 1＋1 e1 ＝ 1 e . 由 fK(x)＝f(x)恒成立可得 K≥ 1 e . 故 K 的最小值为 1 e . 三、立体几何中的临界问题 在立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等， 除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这 些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类， 加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通. [典例] 某几何体的一条棱长为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6的线 段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a＋b 的最大 值为( ) A．2 2 B．2 3 C．4 D．2 5 [解析] 本题可以以长方体为载体，设该几何体中棱长为 7的棱与此长方体的体对角线重 合，则此棱各射影分别为相邻三面的对角线，其长度分别为 6，a，b，设长方体的各棱长分别为 x，y，z，则有 x2＋y2＋z2＝7， x2 ＋y2 ＝6， x2 ＋z2 ＝a2 ， y2＋z2＝b2 ⇒a2 ＋b2 ＝8.所以 a2 ＋b2 2 ≥ a＋b 2 2 ⇒a＋b≤4，故 a＋b 的最大 值为 4. [答案] C [点评] 空间平行投影问题本质是考查三视图的有关知识，难点是需要学生有较强的空间想 象能力，因此在解决投影问题时，可以将几何体置身于长方体中，将长方体作为背景可以增强考 生的空间想象能力． [创新预测] 如图，正四面体 ABCD 的棱长为 1，棱 AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射 影构成的图形面积的取值范围是________． 解析：如题图，设正四面体 ABCD 在平面α上的射影构成的图 形面积为 S，因为 AB∥平面α，从运动的观点看，当 CD∥平面α时， 射影面积最大，此时射影图形为对角线长是 1的正方形，面积最大 值为 1 2 ；若 CD 或其延长线与平面α相交时，则当 CD⊥平面α时，射 影面积为最小，最小值为 2 4 (证明略)，所以 S∈ 2 4 ， 1 2 . 答案： 2 4 ， 1 2 1．某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整 函数 y＝[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( ) A．y＝ x 10 B．y＝ x＋3 10 C．y＝ x＋4 10 D．y＝ x＋5 10 解析：选 B 法一：特殊值法，若 x＝56，y＝5，排除 C、D，若 x＝57，y＝6，排除 A，所以 选 B. 法二：设 x＝10m＋α(0≤α≤9)，当 0≤α≤6 时， x＋3 10 ＝ m＋ α＋3 10 ＝m＝ x 10 ，当 6＜ α≤9时， x＋3 10 ＝ m＋ α＋3 10 ＝m＋1＝ x 10 ＋1，所以选 B. 2．对于定义域为 R 的函数 f(x)，若 f(x)在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点，则 称函数 f(x)为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是( ) A．f(x)＝x2＋bx－1(b∈R) B．f(x)＝2－|x－1| C．f(x)＝2 x －x2 D．f(x)＝x－sin x 解析：选 D 因为 f(x)＝x2 ＋bx－1(b∈R)的零点即为方程 x2 ＋bx－1＝0 的根，所以Δ＝b2 ＋4＞0，且方程x2 ＋bx－1＝0有一正根一负根，故函数f(x)＝x2 ＋bx－1(b∈R)是“含界点函数”； 令 2－|x－1|＝0，得 x＝3 或 x＝－1，故 f(x)＝2－|x－1|在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞) 上均有零点，即 f(x)为“含界点函数”； 作出 y＝x2 和 y＝2 x 的图象，可知 f(x)＝2 x －x2 在区间(－∞，0)和区间(0，＋∞)上均有零点， 故 f(x)＝2x－x2是“含界点函数”； 因为 f(x)＝x－sin x 在 R 上是增函数，且 f(0)＝0，故 f(x)＝x－sin x 不是“含界点函数”． 3．下列四个函数：①y＝2x；②y＝2 x ；③y＝x2 ；④y＝xsin x；⑤y＝ x x2 ＋x＋1 中，属于有界 泛函数的序号是________． 解析：当 x≠0时，①|y x|＝2≤2； ④|y x|＝|sin x|≤1；⑤|y x|＝| 1 x2 ＋x＋1|≤ 4 3 . 对于②，当 x≥4 时，2 x ≥x2 ，|y x|＝|2x x|≥|x2 x|＝|x|无界；对于③，当 x≠0时，|y x| ＝|x|无界． 故填①④⑤. 答案：①④⑤ 4．对于具有相同定义域 D的函数 f(x)和 g(x)，若存在函数 h(x)＝kx＋b(k，b 为常数)对任 给的正数 x，存在相应的 x0∈D 使得当 x∈D 且 x＞x0时，总有 x→∞时 f(x)－g(x)→0，则称直线 l：y＝kx＋b为曲线 y＝f(x)和 y＝g(x)的“分渐近线”．给出定义域均为 D＝{x|x＞1}的三组函 数如下： ①f(x)＝x2 ，g(x)＝ x； ②f(x)＝10 －x ＋2，g(x)＝ 2x－3 x ； ③f(x)＝ 2x2 x＋1 ，g(x)＝2(x－1－e －x )， 其中，曲线 y＝f(x)和 y＝g(x)存在“分渐近线”的是________．(填序号) 解析：f(x)和 g(x)存在分渐近线的充要条件是 x→∞时，f(x)－g(x)→0. 对于①：f(x)＝x2 ，g(x)＝ x，因为当 x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝ x(x x－1)→＋∞， 所以①不存在； 对于②：f(x)＝10 －x ＋2，g(x)＝ 2x－3 x ，因为当 x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝ 1 10 x ＋ 3 x →0， 所以存在分渐近线； 对于③：f(x)＝ 2x2 x＋1 ，g(x)＝2(x－1－e －x )， 当 x＞1，x→∞时，f(x)－g(x)＝ －2 1＋ 1 x ＋2＋ 2 ex →0， 因此，存在分渐近线．故存在分渐近线的是②③. 答案：②③ 5．求函数 f(x)＝ x 15 －15 x ＋1(0＜x＜100)的值域．([x]表示不大于 x的最大整数) 解：①当 0＜x＜15 时，得 0＜ x 15 ＜1， 则 x 15 ＝0，f(x)＝1. ②当 15≤x＜100 时，－1≤ －15 x ＜－ 3 20 ， 所以 f(x)＝－ x 15 ＋1， 因为 1≤ x 15 ＜ 100 15 ＝6 2 3 ，所以 x 15 ＝1,2,3,4,5,6， f(x)＝0，－1，－2，－3，－4，－5. 所以值域为{1,0，－1，－2，－3，－4，－5}． 6．已知上凸函数 f(x)在定义域内满足 f x1＋x2 2 ＞ f x1 ＋f x2 2 .若函数 y＝sin x 在(0， π)上是上凸函数，那么在△ABC 中，求 sin A＋sin B＋sin C 的最大值． 解：因为 y＝sin x 在(0，π)上是上凸函数，则 1 3 (sin A＋sin B＋sin C)≤sin A＋B＋C 3 ＝sin π 3 ＝ 3 2 ，即 sin A＋sin B＋sin C≤ 3 3 2 ，当 且仅当 sin A＝sin B＝sin C 时，即 A＝B＝C＝ π 3 时，取等号． 故 sin A＋sin B＋sin C 的最大值为 3 3 2 . 7．已知不等式 1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 n ＞ 1 2 [log2n]，其中 n 为大于 2 的整数，[log2n]表示不超过 log2n 的最大整数．设数列{an}的各项为正，且满足 a1＝b(b＞0)，an≤ nan－1 n＋an－1 ，n＝2,3,4，…. (1)证明 an＜ 2b 2＋b[log2n] ，n＝3,4,5，…； (2)试确定一个正整数 N，使得当 n＞N时，对任意 b＞0，都有 an＜ 1 5 . 解：(1)证明：因为当 n≥2 时，0＜an≤ nan－1 n＋an－1 ， 所以 1 an ≥ n＋an－1 nan－1 ＝ 1 an－1 ＋ 1 n ，即 1 an － 1 an－1 ≥ 1 n ， 于是有 1 a2 － 1 a1 ≥ 1 2 ， 1 a3 － 1 a2 ≥ 1 3 ，…， 1 an － 1 an－1 ≥ 1 n . 所有不等式两边相加可得 1 an － 1 a1 ≥ 1 2 ＋ 1 3 ＋…＋ 1 n . 由已知不等式知，当 n≥3 时，有 1 an － 1 a1 ＞ 1 2 [log2n]． 因为 a1＝b，所以 1 an ＞ 1 b ＋ 1 2 [log2n]＝ 2＋b[log2n] 2b . 所以 an＜ 2b 2＋b[log2n] . (2)因为 2b 2＋b[log2n] ＜ 2 [log2n] ，令 2 [log2n] ＜ 1 5 ， 则有 log2n≥[log2n]＞10⇒n＞2 10 ＝1 024， 故取 N＝1 024，可使当 n＞N时，都有 an＜ 1 5 . 8.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱 ABCA1B1C1的底面 ABC 位 于 平 行四边形 ACDE 中，AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°，点 B 在线 段 ED 上． (1)当点 B在何处时，平面 A1BC⊥平面 A1ABB1； (2)点 B 在线段 ED 上运动的过程中，求三棱柱 ABCA1B1C1表面积的最小值． 解：(1)由于三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，则 AA1⊥平面 ABC， 因为 BC⊂平面 ABC，所以 AA1⊥BC.而 AA1∩AB＝A，只需 BC⊥平面 A1ABB1，即 AB⊥BC，就有“平面 A1BC⊥平面 A1ABB1”． 在平行四边形 ACDE 中， 因为 AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°. 过 B 作 BH⊥AC 于 H，则 BH＝ 3. 若 AB⊥BC，有 BH2 ＝AH·CH. 由 AC＝4，得 AH＝1或 3. 两种情况下，B为 ED 的中点或与点 D重合． (2)三棱柱 ABCA1B1C1的表面积等于侧面积与两个底面积之和． 显然三棱柱 ABCA1B1C1其底面积和平面 A1ACC1的面积为定值，只需保证侧面 A1ABB1和侧面 B1BCC1面积之和最小即可． 过 B 作 BH⊥AC 于 H，则 BH＝ 3. 令 AH＝x，则侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和等于4(AB＋BC)＝4[ x2 ＋3＋ 3＋ 4－x 2 ]． 其中 x2 ＋3＋ 3＋ 4－x 2 可以表示动点(x,0)到定点(0，－ 3)和(4， 3)的距离之和，当 且仅当 x＝2 时取得最小值．所以三棱柱的表面积的最小值为 2× 1 2 ×4× 3＋4 2 ＋4×2 7＝4 3＋ 8 7＋16. 9．设 P 为椭圆 x2 25 ＋ y2 16 ＝1 长轴上一个动点，过 P 点斜率为 k的直线交椭圆于 A，B两点．若 |PA|2 ＋|PB|2 的值仅依赖于 k 而与 P 无关，求 k 的值． 解：设点 P 的坐标为(a,0)，直线方程为 x＝a＋tcos θ， y＝tsin θ 代入椭圆方程 x2 25 ＋ y2 16 ＝1 得(16cos 2θ＋25sin 2θ)t2 ＋32acos θt＋16a2 －400＝0. 所以 t1＋t2＝ －32acos θ 16cos 2θ＋25sin 2θ ，t1t2＝ 16a2 －400 16cos 2θ＋25sin 2θ . 所以|PA|2 ＋|PB|2 ＝t2 1＋t2 2＝(t1＋t2) 2 －2t1t2 ＝ －32acos θ 16cos 2θ＋25sin 2θ 2－2× 16a2－400 16cos2θ＋25sin2θ ＝32× 16cos2θ－25sin2θ a2＋400cos2θ＋625sin2θ 16cos2θ＋25sin2θ 2 . 因为|PA|2＋|PB|2的值与 P 无关就是与 a 无关，所以 16cos2θ－25sin2θ＝0，所以 k＝± 4 5 . 10．已知 m∈R，直线 l：mx－(m2 ＋1)y＝4m 和圆 C：x2 ＋y2 －8x＋4y＋16＝0. (1)求直线 l 的斜率的取值范围； (2)直线 l能否将圆 C 分割成弧长的比值为 1 2 的两段圆弧，为什么？ 解：(1)当 m＝0 时，直线 l 的斜率为 0； 当 m≠0 时，直线 l的斜率 k＝ m m2＋1 ＝ 1 m＋ 1 m . 当 m＞0 时，m＋ 1 m ≥2，所以 0＜k≤ 1 2 ；当 m＜0时， m＋ 1 m ≤－2，所以－ 1 2 ≤k＜0. 所以直线 l 的斜率的取值范围是 － 1 2 ， 1 2 . (2)法一：因为圆心 C(4，－2)到直线 l 的距离 d＝ |4m＋2 m2 ＋1 －4m| m2 ＋ m2 ＋1 2 ＝ 2 m2 ＋1 m4 ＋3m2 ＋1 . 若直线 l 能将圆 C 分割成弧长的比值为 1 2 的两段圆弧，则劣弧对的圆心角为 120°. 所以 d＝ r 2 ＝1，即 2(m2＋1)＝ m4 ＋3m2 ＋1， 化简得 3m4 ＋5m2 ＋3＝0. 而此方程无实数解，所以直线 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 1 2 的两段圆弧． 法二：因为直线 l的方程可化为：(m－4)x－(m2 ＋1)y＝0，所以直线 l 恒过点(4,0)，此点正 好是圆 C 与 x 轴的切点，由几何知识可得要使直线 l 能将圆 C 分割成弧长的比值为 1 2 的两段圆弧， 则直线 l 的倾斜角为 60°或 120°，所以直线 l 的斜率为± 3，这与 k∈ － 1 2 ， 1 2 矛盾，所以直 线 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 1 2 的两段圆弧． [考前状态调节专练] “小题提速＋保分大题”专练 120 分(12＋4＋3＋2)保分练(一) (满分：126 分 限时：90 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x＞3}，B＝{x|x≥2}，则(∁ UA)∩B＝( ) A．{x|x≤2} B．{x|x≥3} C．{x|2＜x≤3} D．{x|2≤x≤3} 解析：选 D 由条件，得∁ UA＝{x|x≤3}， ∴(∁ UA)∩B＝{x|2≤x≤3}． 2．设 i 为虚数单位，则满足条件 zi＝3＋4i 的复数 z 在复平面内所对应的点位于( ) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 解析：选 A z＝ 3＋4i i ＝ 3＋4i· －i i －i ＝4－3i，所以 z 在复平面内对应的点位于第四 象限． 3．已知 sin x＋ π 3 ＝ 1 3 ，则 cos x＋cos π 3 －x 的值为( ) A．－ 3 3 B. 3 3 C．－ 1 3 D. 1 3 解析：选 B 因为 sin x＋ π 3 ＝ 1 2 sin x＋ 3 2 cos x＝ 1 3 ，所以 cos x＋cos π 3 －x ＝cos x＋ 1 2 cos x＋ 3 2 sin x＝ 3 2 cos x＋ 3 2 sin x＝ 3 3 2 cos x＋ 1 2 sin x ＝ 3 3 . 4．已知 Sn为等差数列{an}的前 n项和，a1＝－1，S6＝39，则 a3＋a4＝( ) A．13 B．26 C．39 D．52 解析：选 A 法一：由题意，得 6×(－1)＋ 6×5 2 ×d＝39(d 为公差)，解得 d＝3，所以 a3＋ a4＝－1＋2×3－1＋3×3＝13. 法二：因为 S6＝ 6 a1＋a6 2 ＝3(a1＋a6)＝39，所以 a3＋a4＝a1＋a6＝13. 5．已知 O 为坐标原点，M 是双曲线 C：x2 －y2 ＝4 上的任意一点，过点 M 作双曲线 C 的某一条 渐近线的垂线，垂足为 N，则|ON|·|MN|的值为( ) A．1 B．2 C．4 D．5 解析：选 B 因为 M 是双曲线 C：x2－y2＝4 上的任意一点，所以可设 M(x，y)，其中一条渐 近线方程为 x－y＝0，则|MN|＝ |x－y| 2 ，|OM|＝ x2 ＋y2 ，|ON|＝ |OM|2 －|MN|2 ＝ |x＋y| 2 ，所以 |ON|·|MN|＝ |x2－y2| 2 ＝2. 6．在区间[0,2]之间随机抽取一个数 x，使 x 满足不等式 2x－1≥m(m≤3)的概率为 3 4 ，则实 数 m＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选 A 由 2x－1≥m，得 x≥ m＋1 2 ，由 m≤3，得 m＋1 2 ≤2，由 x 满足不等式 2x－1≥m(m≤3) 的概率为 3 4 ，得 2－ m＋1 2 2－0 ＝ 3 4 ，解得 m＝0. 7．已知 x，y 满足 x＋y－1≥0， x－2y－4≤0， 2x－y－2≥0， 如果目标函数 z＝ y＋1 x－m 的取值范围为[0,2)，则实数 m 的取值范围为( ) A. 0， 1 2 B. －∞， 1 2 C. －∞， 1 2 D．(－∞，0] 解析：选 C 由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，而 目标函数 z＝ y＋1 x－m 的几何意义为可行域内的点(x，y)与 A(m，－1) 连线的斜率． 由 x＋y－1＝0， x－2y－4＝0 得 x＝2， y＝－1， 即 B(2，－1)． 由题意知 m＝2不符合题意，故点 A 与点 B不重合， 因而当连接 AB 时，斜率取到最小值 0， 故点 A 在直线 y＝－1 上． 由 y＝－1与 2x－y－2＝0 得交点 C 1 2 ，－1 ， 在点 A 由点 C 向左移动的过程中，可行域内的点与点 A 连线的斜率小于 2， 因而目标函数的取值范围满足 z∈[0,2)，则 m＜ 1 2 . 8．函数 y＝e |x| －x3 的大致图象是( ) 解析：选 A 易知函数 y＝e |x| －x3 为非奇非偶函数，排除 B；当 x＜0时，y＞0，排除 C；当 x ＝2 时，y＝e2－8＜0，排除 D，故选 A. 9.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注： “羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边 形 ABCD，ABFE，CDEF 均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝ 10，EF 到平面 ABCD 的距离为 3，CD 与 AB 间的距离为 10，则这个羡除的 体积是( ) A．110 B．116 C．118 D．120 解析：选 D 如图，过点 A 作 AP⊥CD，AM⊥EF，过点 B 作 BQ⊥CD， BN⊥EF，垂足分别为 P，M，Q，N，连接 PM，QN，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱 柱，底面积为 1 2 ×10×3＝15.棱柱的高为 8，体积 V＝15×8＝120. 10．若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N＝n(mod m)，例如 10＝4(mod 6)．下 面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出 n 的值 为( ) A．17 B．16 C．15 D．13 解析：选 A 当 n＞10 时，被 3 除余 2，被 5 除也余 2 的最小整数 n＝17. 11．已知三棱锥 ABCD 外接于球 O，底面△BCD 的边 CD 经过球心 O，若三棱锥 ABCD 的体积 的最大值为 64 3 ，则球 O 的表面积为( ) A．16π B．64π C. 64π 3 D. 128π 3 解析：选 B 设球的半径为 r，因为底面△BCD 的边 CD 经过球心 O，所以△BCD 为直角三角形， CD＝2r.若使三角形的面积最大，则点 B到边 CD 的距离最大即可．因为 B，C，D 三点共面，所以 最大距离为半径 r，△BCD 面积的最大值为 1 2 ×2r×r＝r2.点 A 到平面 BCD 的最大距离为 r，则三 棱锥 ABCD 的体积的最大值为 1 3 r2 ·r＝ 1 3 r3 ＝ 64 3 ，解得 r＝4，所以该球的表面积为 4π×4 2 ＝64π. 12．已知数列{an－2}是公比为 1 2 的等比数列，且 a1＝ 3 2 ，设 Tn＝ 1 2a1a2 ＋ 1 2 2a2a3 ＋…＋ 1 2 nanan＋1 (n ∈N * )，则 Tn的取值范围为( ) A. －∞， 4 21 ∪ 1 3 ，＋∞ B. －∞， 4 21 ∪ 1 3 ，＋∞ C. 4 21 ， 1 3 D. 4 21 ， 1 3 解析：选 D 因为 a1－2＝－ 1 2 ，则 an－2＝－ 1 2 n ，即 an＝2－ 1 2 n ，于是 1 2 nanan＋1 ＝ 1 2 n · 2n＋1－1 2n · 2n＋2－1 2n＋1 ＝ 2 n＋1 2 n＋1 －1 2 n＋2 －1 ＝ 1 2 n＋1 －1 － 1 2 n＋2 －1 ， 所以 Tn＝ 1 22－1 － 1 23－1 ＋ 1 23－1 － 1 24－1 ＋…＋ 1 2n＋1－1 － 1 2n＋2－1 ＝ 1 3 － 1 2 n＋2 －1 ＜ 1 3 ，当 n＝1 时，Tn取得最小值 4 21 ，故 4 21 ≤Tn＜ 1 3 . 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知双曲线 C： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，则双曲线 C的渐近线方程为________． 解析：因为双曲线的离心率为 2， 所以 e＝ c a ＝ 1＋ b a 2 ＝2，所以 b a ＝ 3， 所以双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 3x. 答案：y＝± 3x 14．已知向量 AB ―→ 与 AC ―→ 的夹角为 120°，| CB ―→ － CA ―→ |＝2，| BC ―→ － BA ―→ |＝3，若向量 AP ―→ ＝ λ AB ―→ ＋ AC ―→ ，且 AP ―→ ⊥ BC ―→ ，则实数λ的值为________． 解析：由条件可知| AB ―→ |＝2，| AC ―→ |＝3， 于是 AB ―→ · AC ―→ ＝2×3× － 1 2 ＝－3. 由 AP ―→ ⊥ BC ―→ ，得 AP ―→ · BC ―→ ＝0， 即(λ AB ―→ ＋ AC ―→ )·( AC ―→ － AB ―→ )＝0， 所以| AC ―→ | 2 ＋(λ－1) AB ―→ · AC ―→ －λ| AB ―→ | 2 ＝0， 即 9＋(λ－1)×(－3)－4λ＝0，解得λ＝ 12 7 . 答案： 12 7 15．已知函数 f(x)＝xln x＋mx2－m 在定义域内不存在极值点，则实数 m 的取值范围为 ________． 解析：依题意，f′(x)＝ln x＋1＋2mx(x＞0)， 故函数 f′(x)不存在变号零点． 令 f′(x)＝0，故 ln x＋1＋2mx＝0， 即－2m＝ ln x＋1 x ； 令 g(x)＝ ln x＋1 x ，故 g′(x)＝ －ln x x2 ， 当 0＜x＜1 时，g′(x)＞0， 所以 g(x)在(0,1)上单调递增； 当 x＞1 时，g′(x)＜0， 所以 g(x)在(1，＋∞)上单调递减， 故当 x＝1时，函数 g(x)有极大值也是最大值 1，无最小值． 所以要使函数 f(x)在定义域内不存在极值点， 则需－2m≥1，m≤－ 1 2 . 答案： －∞，－ 1 2 16．已知点 M，N是抛物线 y＝4x2 上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN＝135°， 弦 MN 的中点 P到直线 l：y＝－ 1 16 的距离记为 d，若|MN|2＝λ·d2，则λ的最小值为________． 解析：设|MF|＝m，|NF|＝n， ∵y＝－ 1 16 是抛物线 y＝4x2 的准线，∴d＝ 1 2 (m＋n)． 又|MN|2＝m2＋n2－2mncos 135°＝m2＋n2＋ 2mn ＝(m＋n)2 ＋( 2－2)mn≥(m＋n)2 ＋( 2－2)× m＋n 2 4 ＝ 2＋2 4 ×(m＋n)2 ， ∴λ＝ |MN|2 d2 ≥ 2＋2 4 × m＋n 2 m＋n 2 4 ＝ 2＋2. 当且仅当 m＝n时等号成立，故λ的最小值为 2＋2. 答案： 2＋2 三、解答题(本大题共 3 小题，共 36 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17．(本小题满分 12 分)如图，在△ABC 中，已知点 D 在 BC 边 上，且 AD ―→ · AC ―→ ＝0，sin∠BAC＝ 2 2 3 ，AB＝3 2，BD＝ 3. (1)求 AD 的长； (2)求 cos C 的值． 解：(1)因为 AD ―→ · AC ―→ ＝0，所以 AD⊥AC， 所以 sin∠BAC＝sin π 2 ＋∠BAD ＝cos∠BAD， 因为 sin∠BAC＝ 2 2 3 ，所以 cos∠BAD＝ 2 2 3 . 在△ABD 中，由余弦定理可得， BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD， 把 AB＝3 2，BD＝ 3代入上式，化简可得 AD2 －8AD＋15＝0， 解得 AD＝5 或 AD＝3. 因为 AB＞AD，所以 AD＝3. (2)在△ABD 中，由正弦定理可得， BD sin∠BAD ＝ AB sin∠ADB ， 又由 cos∠BAD＝ 2 2 3 可得 sin∠BAD＝ 1 3 ， 所以 sin∠ADB＝ AB sin∠BAD BD ＝ 6 3 . 因为∠ADB＝∠DAC＋C＝ π 2 ＋C， 所以 cos C＝cos ∠ADB－ π 2 ＝sin∠ADB＝ 6 3 . 18．(本小题满分 12 分)在如图所示的四棱锥 EABCD 中，已知四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 ABCD⊥平面 ABE，∠AEB＝90°，AE＝BE. (1)若 M 是 DE 的中点，试在 AC 上找一点 N，使得 MN∥平面 ABE，并给出证明； (2)求四棱锥 EABCD 的体积． 解：(1)连接 BD 交 AC 于点 N，则点 N即为所求． 证明如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴N 是 BD 的中点， 又 M 是 DE 的中点，∴MN∥BE， ∵BE⊂平面 ABE，MN⊄ 平面 ABE， ∴MN∥平面 ABE. (2)取 AB 的中点 F，连接 EF， ∵△ABE 是等腰直角三角形， 且 AB＝2， ∴EF⊥AB，EF＝ 1 2 AB＝1， ∵平面 ABCD⊥平面 ABE， 平面 ABCD∩平面 ABE＝AB， EF⊂平面 ABE， ∴EF⊥平面 ABCD，即 EF 为四棱锥 EABCD 的高， ∴V 四棱锥 EABCD＝ 1 3 S 正方形 ABCD·EF＝ 1 3 ×22×1＝ 4 3 . 19．(本小题满分 12 分)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行 连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表 1： 年份 x 2012 2013 2014 2015 2016 储蓄存款 y(千亿元) 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 011，z＝y－5，得到下 表 2： 时间代号 t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 (1)求 z 关于 t的线性回归方程； (2)通过(1)中的方程，求出 y 关于 x 的回归方程； (3)用所求回归方程预测到 2020 年年底，该地储蓄存款额可达多少？ 附：对于线性回归方程y ^ ＝b ^ x＋a ^ ，其中b ^ ＝错误!，a ^ ＝ y －b ^ x . 解：(1) t ＝3， z ＝2.2，错误!izi＝45，错误!2i＝55， b ^ ＝ 45－5×3×2.2 55－5×9 ＝1.2，a ^ ＝ z －b ^ t ＝2.2－3×1.2＝－1.4，∴z＝1.2t－1.4. (2)将 t＝x－2 011，z＝y－5，代入 z＝1.2t－1.4， 得 y－5＝1.2(x－2 011)－1.4，即 y＝1.2x－2 409.6. (3)∵y＝1.2×2 020－2 409.6＝14.4， ∴预测到 2020 年年底，该地储蓄存款额可达 14.4 千亿元． 四、选做题(请在第 22～23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分) 22．(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x＝3－t， y＝1＋t (t 为参数)．在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C：ρ＝2 2cos θ－ π 4 . (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C的直角坐标方程； (2)求曲线 C 上的点到直线 l的距离的最大值． 解：(1)由 x＝3－t， y＝1＋t， 消去 t 得 x＋y－4＝0， 所以直线 l 的普通方程为 x＋y－4＝0. 由ρ＝2 2cosθ－ π 4 ＝2 2cos θcos π 4 ＋sin θsin π 4 ＝2cos θ＋2sin θ， 得ρ2 ＝2ρcos θ＋2ρsin θ. 将ρ2 ＝x2 ＋y2 ，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入上式， 得 x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2. 所以曲线 C 的直角坐标方程为(x－1) 2 ＋(y－1) 2 ＝2. (2)法一：设曲线 C 上的点 P(1＋ 2cos α，1＋ 2sin α)，则点 P 到直线 l 的距离 d＝ |1＋ 2cos α＋1＋ 2sin α－4| 2 ＝ | 2 sin α＋cos α －2| 2 ＝ |2sin α＋ π 4 －2| 2 . 当 sin α＋ π 4 ＝－1 时，dmax＝2 2. 所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 2. 法二：设与直线 l 平行的直线 l′：x＋y＋b＝0(b≠－4)， 当直线 l′与圆 C 相切时， |1＋1＋b| 2 ＝ 2， 解得 b＝0或 b＝－4(舍去)， 所以直线 l′的方程为 x＋y＝0. 所以直线 l 与直线 l′的距离 d＝ |0＋4| 2 ＝2 2. 所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 2. 23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|. (1)若 f(1)＜3，求实数 a 的取值范围； (2)若 a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2. 解：(1)因为 f(1)＜3，所以|a|＋|1－2a|＜3. 当 a≤0 时，得－a＋(1－2a)＜3， 解得 a＞－ 3 2 ，所以－ 2 3 ＜a≤0； 当 0＜a＜ 1 2 时，得 a＋(1－2a)＜3， 解得 a＞－2，所以 0＜a＜ 1 2 ； 当 a≥ 1 2 时，得 a－(1－2a)＜3， 解得 a＜ 4 3 ，所以 1 2 ≤a＜ 4 3 . 综上所述，实数 a 的取值范围是 － 2 3 ， 4 3 . (2)证明：f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|≥|(x＋a－1)－(x－2a)|＝|3a－1|， 因为 a≥1，所以 f(x)≥3a－1≥2. 120 分(12＋4＋3＋2)保分练(二) (满分：126 分 限时：90 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1．已知集合 A＝{x|y＝ 4x－x2 }，B＝{x||x|≤2}，则 A∪B＝( ) A．[－2,2] B．[－2,4] C．[0,2] D．[0,4] 解析：选 B ∵A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}， ∴A∪B＝{x|－2≤x≤4}． 2．“a＝1”是“复数 z＝(a2 －1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的( ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A 若 a2 －1＋2(a＋1)i 为纯虚数，则 a2 －1＝0，a＋1≠0，所以 a＝1，反之也成立．故 选 A. 3．设直线 y＝kx 与椭圆 x2 4 ＋ y2 3 ＝1 相交于 A，B 两点，分别过 A，B向 x 轴作垂线，若垂足恰 好为椭圆的两个焦点，则 k 等于( ) A. 3 2 B．± 3 2 C．± 1 2 D. 1 2 解析：选 B 由题意可得，c＝1，a＝2，b＝ 3，不妨取 A 点坐标为 1，± 3 2 ，则直线的斜率 k＝± 3 2 . 4．如果圆 x2＋y2＝n2至少覆盖曲线 f(x)＝ 3sin πx n (x∈R)的一个最高点和一个最低点，则 正整数 n 的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B 最小范围内的最高点坐标为 n 2 ， 3 ，原点到最高点的距离为半径，即 n2 ＝ n2 4 ＋ 3，解得 n＝2. 5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．8＋4 5 B．4＋8 5 C．4＋2 3 D．8＋4 3 解析：选 A 由三视图知，该几何体是由两个相同的直三棱柱 AODEFG 和 BOFCDG 组合而成的，如图所示，则该几何体的表面积为 1 2 ×2×1＋ 1 2 ×(1 ＋2)×2＋2× 5＋ 1 2 ×(1＋2)×2＋2× 5＋ 1 2 ×2×1＝8＋4 5. 6．已知函数 f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的图象与直线 y＝－2 的两个相邻公共点之间的距离等于π，则 f(x)的单调递减区间是( ) A. kπ＋ π 6 ，kπ＋ 2π 3 ，k∈Z B. kπ－ π 6 ，kπ＋ π 3 ，k∈Z C. 2kπ＋ π 3 ，2kπ＋ 4π 3 ，k∈Z D. 2kπ－ π 12 ，2kπ＋ 5π 12 ，k∈Z 解析：选 A f(x)＝2sin ωx＋ π 6 ， 由题意得 T＝π，即 2π ω ＝π，所以ω＝2， 则 f(x)＝2sin 2x＋ π 6 . 令 π 2 ＋2kπ≤2x＋ π 6 ≤ 3π 2 ＋2kπ，k∈Z， 解得 π 6 ＋kπ≤x≤ 2π 3 ＋kπ，k∈Z， 故函数 f(x)的单调递减区间为 kπ＋ π 6 ，kπ＋ 2π 3 ，k∈Z. 7．运行如图所示的程序框图，则输出的 S值为( ) A. 2 9 －1 2 9 B. 2 9 ＋1 2 9 C. 2 10 －1 2 10 D. 2 10 2 10 ＋1 解析：选 A 由程序框图可知，输出的结果是首项为 1 2 ，公比也为 1 2 的等比数列的前 9 项和， 即为 2 9 －1 2 9 . 8．某同学进入高三后，4 次月考的数学成绩的茎叶图如图．则该同学数学成 绩的方差是( ) A．125 B．5 5 C．45 D．3 5 解析：选 C 由茎叶图知平均值为 114＋126＋128＋132 4 ＝125，∴s2＝ 1 4 [(125－114)2＋(125 －126) 2 ＋(125－128) 2 ＋(125－132) 2 ]＝45. 9．在平面内，定点 A，B，C，D 满足| DA ―→ |＝| DB ―→ |＝| DC ―→ |， DA ―→ · DB ―→ ＝ DB ―→ · DC ―→ ＝ DC ―→ · DA ―→ ＝－2，动点 P，M 满足| AP ―→ |＝1， PM ―→ ＝ MC ―→ ，则| BM ―→ | 2 的最大值是( ) A. 43 4 B. 49 4 C. 37＋6 3 4 D. 37＋2 33 4 解析：选 B 如图，由| DA ―→ |＝| DB ―→ |＝| DC ―→ |知，D为△ABC 的外心， 由 DA ―→ · DB ―→ ＝ DB ―→ · DC ―→ ＝ DC ―→ · DA ―→ 知，D 为△ABC 的垂心，所以△ABC 为正 三角形，易知其边长为 2 3.由| AP ―→ |＝1，知点 P 在以点 A 为圆心，1 为 半径 的圆上，取 AC 的中点 E，则| EB ―→ |＝3，因为 M 是 PC 的中点，所以|EM|＝ 1 2 |AP|＝ 1 2 ，当 B，E，M 三点共线时，| BM ―→ |最大，所以| BM ―→ |max＝| EB ―→ |＋ 1 2 ＝ 7 2 ，则| BM ―→ | 2 max＝ 49 4 . 10．已知实数 x，y 满足不等式组 x－y≤1， 2x＋y≥2， y≤2， 若直线 x＋y＋b＝0与不等式组表示的平面 区域无公共点，则 b 的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(－∞，－5) C．(－∞，－5)∪(－1，＋∞) D．(－5，－1) 解析：选 C 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．当 直线 x＋y＋b＝0 过点 A(1,0)时，b＝－1，其纵截距为 1；当直线 x ＋y＋b＝0过点 B(3,2)时，b＝－5，其纵截距为 5，所以当直线 x＋y ＋b＝0 与不等式组表示的可行域无交点时，b＞－1或 b＜－5. 11．记 Sn为正项等比数列{an}的前 n项和，若 S12－S6 S6 －7· S6－S3 S3 － 8＝0，且正整数 m，n 满足 a1ama2n＝2a3 5，则 1 m ＋ 8 n 的最小值是( ) A. 15 7 B. 9 5 C. 5 3 D. 7 5 解析：选 C ∵{an}是正项等比数列， 设{an}的公比为 q(q＞0)， ∴ S12－S6 S6 ＝q6 ， S6－S3 S3 ＝q3 ， ∴q6 －7q3 －8＝0，解得 q＝2， 又 a1ama2n＝2a3 5，∴a3 1·2m＋2n－2＝2(a12 4)3＝a3 12 13， ∴m＋2n＝15， ∴ 1 m ＋ 8 n ＝ 1 15 1 m ＋ 8 n (m＋2n) ＝ 17＋ 2n m ＋ 8m n 15 ≥ 17＋2 2n m · 8m n 15 ＝ 5 3 ， 当且仅当 2n m ＝ 8m n ，n＝2m，即 m＝3，n＝6 时等号成立， ∴ 1 m ＋ 8 n 的最小值是 5 3 . 12．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0，当x＞0时，xf′(x)＜2f(x)， 则使得 f(x)＞0 成立的 x 的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 解析：选 D 根据题意，设函数 g(x)＝ f x x2 (x≠0)， 当 x＞0 时，g′(x)＝ xf′ x －2f x x3 ＜0， 所以函数 g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为 f(x)为偶函数，所以 g(x)为偶函数． 又 f(1)＝0，所以 g(1)＝0， 故 g(x)在(－1，0)∪(0,1)上的函数值大于零， 即 f(x)在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零． 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．一个煤气站有 5 个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：①如 果开启 1 号阀门，那么必须同时开启 2号阀门并且关闭 5 号阀门；②如果开启 2 号阀门或者 5 号 阀门，那么要关闭 4 号阀门；③不能同时关闭 3 号阀门和 4 号阀门，现在要开启 1 号阀门，则同 时开启的 2 个阀门是________． 解析：若要开启 1号阀门，由①知，必须开启 2 号阀门，关闭 5 号阀门，由②知，关闭 4号 阀门，由③知，开启 3 号阀门，所以同时开启 2 号阀门和 3 号阀门． 答案：2 号和 3号 14．若函数 f(x)＝4sin 5ax－4 3cos 5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为 π 3 ，则实 数 a 的值为________． 解析：因为 f(x)＝8sin 5ax－ π 3 ，依题意有， T 2 ＝ π 3 ，所以 T＝ 2π 3 .又因为 T＝ 2π 5|a| ，所以 2π 5|a| ＝ 2π 3 ，解得 a＝± 3 5 . 答案：± 3 5 15．已知双曲线 C： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c，直线 y ＝ 3 3 (x＋c)与双曲线的一个交点 P 满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率 e 为________． 解析：∵直线 y＝ 3 3 (x＋c)过左焦点 F1，且其倾斜角为 30°，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°， ∴∠F2PF1＝90°，即 F1P⊥F2P.∴|PF2|＝ 1 2 |F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|·sin 60°＝ 3c，由双曲线 的定义得 2a＝|PF1|－|PF2|＝ 3c－c，∴双曲线 C的离心率 e＝ c a ＝ c 3c－c 2 ＝ 3＋1. 答案： 3＋1 16．已知函数 f(x)＝ 1－|x＋1|，x＜1， x2 －4x＋2，x≥1， 则函数 g(x)＝2|x|f(x)－2 的零点个数为 ________． 解析：由 g(x)＝2 |x|f(x)－2＝0，得 f(x)＝2 1－|x| ， 画出 y＝ 1－|x＋1|，x＜1， x2 －4x＋2，x≥1 与 y＝2 1－|x| 的图象如图所示，可知它们有 2个交点，所以零点有 2个． 答案：2 三、解答题(本大题共 3 小题，共 36 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17．(本小题满分12分)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1＋a，数列{bn}满足bn＝2－log2a 3 n. (1)求常数 a 的值； (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解：(1)当 n＝1 时，a1＝S1＝22＋a＝4＋a， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2 n＋1 ＋a－(2 n ＋a)＝2 n ， ∵{an}为等比数列，∴a2 2＝a1·a3， 即(2 2 ) 2 ＝(4＋a)·2 3 ，解得 a＝－2. (2)由(1)知 an＝2 n ，则 bn＝2－log22 3n ＝2－3n， ∵bn＋1－bn＝－3 对一切 n∈N * 都成立， ∴{bn}是以－1为首项，－3为公差的等差数列， ∴Tn＝nb1＋ n n－1 2 d＝ n－3n2 2 . 18．(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 PABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝2 3，AC∩BD ＝F.且△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为 AD 的中点，G 为△PAD 的重心． (1)求证：GF∥平面 PDC； (2)求三棱锥 GPCD 的体积． 解：(1)证明：法一：连接 AG 交 PD 于 H，连接 CH. 由四边形 ABCD 为梯形，AB∥CD 且 AB＝2DC， 知 AF FC ＝ 2 1 ， 又 E 为 AD 的中点，G 为△PAD 的重心， ∴ AG GH ＝ 2 1 ， 在△ACH 中， AG GH ＝ AF FC ＝ 2 1 ，故 GF∥HC. 又 HC⊂平面 PCD，GF⊄ 平面 PCD， ∴GF∥平面 PDC. 法二：过 G 作 GK∥PD 交 AD 于 K，连接 KF，GF，如图所示． 由△PAD 为正三角形，E为 AD 的中点，G 为△PAD 的重心， 得 DK＝ 2 3 DE， ∴DK＝ 1 3 AD， 又由四边形 ABCD 为梯形，AB∥CD，且 AB＝2DC， 得 AF FC ＝ 2 1 ，∴FC＝ 1 3 AC. ∴在△ADC 中，KF∥DC， ∵GK∩KF＝K，PD∩DC＝D， ∴平面 GKF∥平面 PDC， 又 GF⊂平面 GKF，∴GF∥平面 PDC. (2)法一：∵平面 PAD⊥平面 ABCD，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为 AD 的中点， ∴PE⊥AD，BE⊥AD，PE⊥平面 ABCD，且 PE＝3. 由(1)知 GF∥平面 PDC， ∴VG PCD＝VFPCD＝VPCDF＝ 1 3 ×PE×S△CDF. 又由四边形 ABCD 为梯形，AB∥CD，且 AB＝2DC＝2 3，知 DF＝ 1 3 BD＝ 2 3 3 . 由△ABD 为正三角形，得∠CDF＝∠ABD＝60°， ∴S△CDF＝ 1 2 ×CD×DF×sin∠BDC＝ 3 2 ， ∴VPCDF＝ 1 3 ×PE×S△CDF＝ 3 2 ， ∴三棱锥 GPCD 的体积为 3 2 . 法二：由平面 PAD⊥平面 ABCD，△PAD 与△ABD 均为正三角形，E为 AD 的中点， 得 PE⊥AD，BE⊥AD，PE⊥平面 ABCD，且 PE＝3， ∵PG＝ 2 3 PE，∴VG PCD＝ 2 3 VEPCD＝ 2 3 VPCDE＝ 2 3 × 1 3 ×PE×S△CDE， 由△ABD 为正三角形，得∠EDC＝120°， ∴S△CDE＝ 1 2 ×CD×DE×sin∠EDC＝ 3 3 4 . ∴VPCDE＝ 1 3 ×PE×S△CDE＝ 1 3 ×3× 3 3 4 ＝ 3 3 4 ， ∴三棱锥 GPCD 的体积为 2 3 VPCDE＝ 2 3 × 3 3 4 ＝ 3 2 . 19．(本小题满分 12 分)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类选修课程的选 课意向进行调查．现从高一年级学生中随机抽取 180 名学生，其中男生 105 名；在这 180 名学生 中选择社会科学类的男生、女生均为 45 名． (1)试问：从高一年级学生中随机抽取 1 人，抽到男生的概率约为多少？ (2)根据抽取的 180 名学生的调查结果，完成下面 2×2 列联表．并判断能否在犯错误的概率 不超过 0.025 的前提下认为科类的选择与性别有关？ 选择自然科学类 选择社会科学类 总计 男生 女生 总计 附：K2 ＝ n ad－bc 2 a＋b c＋d a＋c b＋d ，其中 n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解：(1)从高一年级学生中随机抽取 1人，抽到男生的概率约为 105 180 ＝ 7 12 . (2)根据统计数据，可得 2×2 列联表如下： 选择自然科学类 选择社会科学类 总计 男生 60 45 105 女生 30 45 75 总计 90 90 180 ∴K2 ＝ 180× 60×45－30×45 2 105×75×90×90 ＝ 36 7 ≈5.143＞5.024. ∴在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下可以认为科类的选择与性别有关． 四、选做题(请在第 22～23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分) 22．(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系下，直线 l： x＝1＋ 2 2 t， y＝ 2 2 t (t 为参数)，以原点 O为极点，以 x轴的非负半轴为极轴，取相同长度单位建 立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ－4cos θ＝0. (1)写出直线 l的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|AB|的值． 解：(1)直线 l的普通方程为 x－y－1＝0. 由ρ－4cos θ＝0，得ρ2 －4ρcos θ＝0，则 x2 ＋y2 －4x＝0，即(x－2) 2 ＋y2 ＝4， 所以曲线 C 的直角坐标方程为(x－2) 2 ＋y2 ＝4. (2)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得 2 2 t－1 2 ＋ 2 2 t 2 ＝4，即 t2 － 2t－3＝0， 设方程 t2－ 2t－3＝0的两根分别为 t1，t2， 则 t1＋t2＝ 2，t1t2＝－3， 所以|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t2 2 －4t1t2＝ 14. 23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|x－a|. (1)若 a＝1，解不等式：f(x)≥4－|x－1|； (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2]， 1 m ＋ 1 2n ＝a(m＞0，n＞0)，求 mn 的最小值． 解：(1)当 a＝1 时，不等式为|x－1|≥4－|x－1|， 即|x－1|≥2， ∴x－1≥2或 x－1≤－2， 即 x≥3 或 x≤－1， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (2)f(x)≤1⇔|x－a|≤1⇔－1≤x－a≤1⇔a－1≤x≤a＋1， ∵f(x)≤1 的解集为[0,2]， ∴ a－1＝0， a＋1＝2， 解得 a＝1. ∴ 1 m ＋ 1 2n ＝1≥2 1 2mn (m＞0，n＞0)， ∴mn≥2，当且仅当 m＝2，n＝1 时取等号． ∴mn 的最小值为 2. 120 分(12＋4＋3＋2)保分练(三) (满分：126 分 限时：90 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1．已知复数 z＝ 15i 3＋4i ，则 z的虚部为( ) A．－ 9 5 i B. 9 5 i C．－ 9 5 D. 9 5 解析：选 D z＝ 15i 3＋4i ＝ 15i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝ 15 25 (4＋3i)＝ 12 5 ＋ 9 5 i，故选 D. 2．已知 a，b 是平面向量，若|a|＝ 6，|b|＝ 3，(a＋2b)⊥(2a－b)，则 a·b 的值为( ) A．－2 B．－1 C．2 D．3 2 解析：选 A 由题意可得(a＋2b)·(2a－b)＝0，即 2a2 ＋3a·b－2b2 ＝0，也即 3a·b＝－6， 故 a·b＝－2. 3．若 tan α＝ 3 4 ，则 cos 2α＋2sin 2α＝( ) A. 64 25 B. 48 25 C．1 D. 16 25 解析：选 A ∵tan α＝ 3 4 ， ∴cos 2α＋2sin 2α＝ cos 2α＋4sin αcos α sin 2α＋cos 2α ＝ 1＋4tan α tan 2α＋1 ＝ 1＋4× 3 4 9 16 ＋1 ＝ 64 25 . 4．若 x，y 满足 x＋y－3≥0， ax－y＋3≥0， y≥0， 且 z＝y－x的最小值为－6，则 a 的值为( ) A．－1 B．1 C．－ 1 2 D. 1 2 解析：选 C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分 所示，当 a≥0 时，易知 z＝y－x无最小值，故 a＜0，平移直 线 y＝x，当直线经过点 A 时， z＝y－x 有最小值， 联立 y＝0， ax－y＋3＝0， 解得 A － 3 a ，0 ，zmin＝0＋ 3 a ＝－6，解得 a＝－ 1 2 . 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．24＋6π B．12π C．24＋12π D．16π 解析：选 A 由三视图可知，该几何体是由一个棱长为 2 的正方体与 6 个半径为 1 的半球构 成的组合体，该组合体的表面由 6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的 6 个表面正方形挖 去半球底面圆构成，所以 6 个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和 S1等于 3个球的表面积， 即 S1＝3×4π×1 2 ＝12π；正方体的 6 个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为 S2＝6(2 2 － π×1 2 )＝24－6π.所以该组合体的表面积为 S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π. 6．已知四面体 PABC 中，PA＝4，AC＝2 7，PB＝BC＝2 3，PA⊥平面 PBC，则四面体 PABC 的外接球半径为( ) A．2 2 B．2 3 C．4 2 D．4 3 解析：选 A ∵PA⊥平面 PBC，AC＝2 7，PA＝4， ∴PC＝2 3，∴△PBC 为等边三角形， 设其外接圆半径为 r，则 r＝2， 又球心 O 在底面 PBC 的投影即为△PBC 的外心， ∴外接球半径为 r2＋ PA 2 2 ＝2 2. 7．执行如图所示的程序框图，若输出的 n＝9，则输入的整数 P 的最小值是( ) A．50 B．77 C．78 D．306 解析：选 C 模拟程序框图的运行过程，如下： n＝1，S＝0，输入 P，S＝0＋2＝2，n＝2，S≤P， S＝2＋2 2 ＝6，n＝3，S≤P， S＝－6＋23＝2，n＝4，S≤P， S＝2＋2 4 ＝18，n＝5，S≤P， S＝－18＋2 5 ＝14，n＝6，S≤P， S＝14＋2 6 ＝78，n＝7，S≤P， S＝－78＋2 7 ＝50，n＝8，S≤P， S＝50＋2 8 ＝306，n＝9，S>P， 终止循环，输出 n＝9， 所以 P 的最小值为 78. 8．函数 y＝ x2 ln |x| |x| 的图象大致是( ) 解析：选 D 易知函数 y＝ x2ln |x| |x| 是偶函数，可排除 B，当 x＞0 时，y＝xln x，y′＝ln x ＋1，令 y′＞0，得 x＞e －1 ，所以当 x＞0 时，函数在(e －1 ，＋∞)上单调递增，结合图象可知 D 正确，故选 D. 9.函数 y＝f(x)＝2sin(ωx＋φ) ω＞0，－ π 2 ＜φ＜ π 2 的部分图 象如图所示，关于函数 y＝f(x)(x∈R)，有下列命题： ①y＝f(x)的图象关于直线 x＝ π 6 对称； ②y＝f(x)的图象可由 y＝2sin 2x 的图象向右平移 π 6 个单位长度得 到； ③y＝f(x)的图象关于点 π 6 ，0 对称； ④y＝f(x)在 － π 12 ， 5π 12 上单调递增． 其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 C 依题意可得 T＝2× 11π 12 － 5π 12 ＝π， 故 T＝ 2π ω ＝π，解得ω＝2，所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)， 由 f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象经过点 5π 12 ，2 ， 可得 2sin2× 5π 12 ＋φ＝2，即 sin 5π 6 ＋φ ＝1， 又－ π 2 ＜φ＜ π 2 ，故φ＝－ π 3 ， 即 f(x)＝2sin 2x－ π 3 . 因为 f π 6 ＝2sin 2× π 6 － π 3 ＝0， 所以①错误，③正确； y＝2sin 2x 的图象向右平移 π 6 个单位长度得到 y＝2sin 2x－ π 6 ＝2sin 2x－ π 3 的图象，② 正确； 由 2kπ－ π 2 ≤2x－ π 3 ≤2kπ＋ π 2 ，k∈Z， 得 kπ－ π 12 ≤x≤kπ＋ 5π 12 ，k∈Z， 取 k＝0，得－ π 12 ≤x≤ 5π 12 ， 即 y＝f(x)在 － π 12 ， 5π 12 上单调递增，④正确． 10．今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日 增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( ) A．12 日 B．16 日 C．8日 D．9 日 解析：选 D 由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为 an＝103＋13(n－1) ＝13n＋90. 驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为 bn＝97－ 1 2 (n－1)＝－ 1 2 n＋ 195 2 ， 二马相逢时所走路程之和为 2×1 125＝2 250， 所以 n a1＋an 2 ＋ n b1＋bn 2 ＝2 250， 即 n 103＋13n＋90 2 ＋ n 97－ 1 2 n＋ 195 2 2 ＝2 250， 化简得 n2 ＋31n－360＝0，解得 n＝9 或 n＝－40(舍去)． 11．已知 A，B是双曲线 C： x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若在双曲线上存在点 P 满足 2| PA ―→ ＋ PB ―→ |≤| AB ―→ |，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是( ) A．(1,2] B．[2，＋∞) C．(1， 2] D．[ 2，＋∞) 解析：选 B 如图，设点 P 是双曲线左支上的点，并设双曲线左顶 点为 E，则 2| PA ―→ ＋ PB ―→ |≤| AB ―→ |，可化为 4| PO ―→ |≤2c(2c 为双曲线的 焦距)，| PO ―→ |≤ 1 2 c，易证| PO ―→ |≥a，于是 a≤ 1 2 c，所以 e≥2. 12．若关于 x的方程 2x3 －3x2 ＋a＝0 在区间[－2,2] 上仅有一个实 根，则实数 a 的取值范围为( ) A．(－4,0]∪[1,28) B．[－4,28] C．[－4,0)∪(1,28] D．(－4,28) 解析：选 C 设函数 f(x)＝2x3 －3x2 ＋a， f′(x)＝6x2 －6x＝6x(x－1)，x∈[－2,2]． 令 f′(x)＞0，得－2≤x＜0或 1＜x≤2， 令 f′(x)＜0，得 0＜x＜1， ∴f(x)在(0,1)上单调递减， 在[－2,0)，(1,2]上单调递增． 又 f(－2)＝－28＋a，f(0)＝a， f(1)＝－1＋a，f(2)＝4＋a， ∴－28＋a≤0＜－1＋a或 a＜0≤4＋a， 即 a∈[－4,0)∪(1,28]． 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．某单位有员工 90 人，其中女员工有 36 人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量 为 15 的样本，则男员工应抽取的人数是________． 解析：男员工应抽取的人数为 90－36 90 ×15＝9. 答案 9 14．已知函数 f(x)＝alog2x＋blog3x＋2 016，f 1 2 017 ＝4，则 f(2 017)＝________. 解析：设 F(x)＝f(x)－2 016，则 F 1 x ＝alog2 1 x ＋blog3 1 x ＝－(alog2x＋blog3x)＝－F(x)， 所以 F(2 017)＝－F 1 2 017 ＝－(4－2 016)＝2 012，f(2 017)＝F(2 017)＋2 016＝4 028. 答案：4 028 15．已知直线 l 与抛物线 y2 ＝4x 相交于不同的两点 M，N，且 OM ―→ · ON ―→ ＝－4，O 是坐标原 点，则直线 l 必过定点________． 解析：设 l：x＝ky＋b，代入抛物线 y2 ＝4x， 消去 x 得 y2－4ky－4b＝0， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1＋y2＝4k，y1y2＝－4b， OM ―→ · ON ―→ ＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋b)(ky2 ＋b)＋y1y2 ＝k2y1y2＋bk(y1＋y2)＋b2 ＋y1y2 ＝－4bk2 ＋4bk2 ＋b2 －4b＝b2 －4b＝－4， ∴b＝2，∴直线 l 过定点(2,0)． 答案：(2,0) 16．设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，对任意 x∈R，都有 f(x)＝f(x＋4)，且当 x∈[－ 2,0]时，f(x)＝ 1 2 x－1，若在区间(－2,6]内关于 x 的方程 f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有 3 个 不同的实数根，则 a 的取值范围是________． 解析：设 x∈[0,2]，则－x∈[－2,0]， ∴f(－x)＝ 1 2 －x －1＝2 x －1， ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数， ∴f(x)＝f(－x)＝2 x －1. ∵对任意 x∈R，都有 f(x)＝f(x＋4)， ∴当 x∈[2,4]时，(x－4)∈[－2,0]， ∴f(x)＝f(x－4)＝ 1 2 x－4 －1； 当 x∈[4,6]时，(x－4)∈[0,2]， ∴f(x)＝f(x－4)＝2 x－4 －1. ∵在区间(－2,6]内关于 x 的方程 f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有 3 个不同的实数根， ∴函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝loga(x＋2)的图象在区间(－2,6]内恰有 3个不同的交点， 作出两个函数的图象如图所示， 易知 loga 6＋2 ＞3， loga 2＋2 ＜3， 解得 2 2 3 ＜a＜2，即 3 4＜a＜2， 因此所求 a 的取值范围是( 3 4，2)． 答案：( 3 4，2) 三、解答题(本大题共 3 小题，共 36 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17．(本小题满分 12分)在△ABC中，内角 A，B，C对应的边长分别为 a，b，c，已知 c acos B－ 1 2 b ＝a2 －b2 . (1)求角 A； (2)若 a＝ 3，求 b＋c的取值范围． 解：(1)由 c acos B－ 1 2 b ＝a2 －b2 ，cos B＝ a2 ＋c2 －b2 2ac ， 得 a2 ＋c2 －b2 －bc＝2a2 －2b2 ，∴a2 ＝b2 ＋c2 －bc. ∵a2 ＝b2 ＋c2 －2bccos A，∴cos A＝ 1 2 . ∵A∈(0，π)，∴A＝ π 3 . (2)法一：∵ a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2， ∴b＝2sin B，c＝2sin C. ∴b＋c＝2sin B＋2sin C ＝2sin B＋2sin(A＋B) ＝2sin B＋2sin Acos B＋2cos Asin B ＝2sin B＋2× 3 2 cos B＋2× 1 2 sin B ＝3sin B＋ 3cos B ＝2 3sin B＋ π 6 . ∵B∈ 0， 2π 3 ，∴B＋ π 6 ∈ π 6 ， 5π 6 ， ∴sin B＋ π 6 ∈ 1 2 ，1 ， ∴b＋c∈( 3，2 3 ]． 法二：∵a＝ 3，∴a2＝b2＋c2－2bccos A， 即 3＝b2 ＋c2 －bc＝(b＋c)2 －3bc. ∵bc≤ b＋c 2 2 ， ∴3≥(b＋c)2－3 b＋c 2 2， ∴(b＋c)2 ≤12，即 b＋c≤2 3. 当且仅当 b＝c＝ 3时，取等号． ∵b＋c＞a＝ 3，∴b＋c∈( 3，2 3 ]． 18．(本小题满分 12 分)在平面四边形 ABCD(图①)中，△ABC 与△ABD 均为直角三角形且有公 共斜边 AB，设 AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC 沿 AB 折起，构成如图②所示的三棱 锥 C′ABD. (1)当 C′D＝ 2时，求证：平面 C′AB⊥平面 DAB； (2)当 AC′⊥BD 时，求三棱锥 C′ABD 的高． 解：(1)证明：当 C′D＝ 2时， 取 AB 的中点 O，连接 C′O，DO， 在 Rt△AC′B，Rt△ADB 中，AB＝2，则 C′O＝DO＝1， ∵C′D＝ 2， ∴C′O2 ＋DO2 ＝C′D2 ，即 C′O⊥OD， 又 C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB⊂平面 ABD，OD⊂平面 ABD，∴C′O⊥平面 ABD， ∵C′O⊂平面 C′AB，∴平面 C′AB⊥平面 DAB. (2)当 AC′⊥BD 时，由已知 AC′⊥BC′， ∵BC′∩BD＝B，∴AC′⊥平面 BDC′， ∵C′D⊂平面 BDC′，∴AC′⊥C′D，△AC′D为直角三角形， 由勾股定理得，C′D＝ AD2－AC′2 ＝ 3－2＝1， 而在△BDC′中，BD＝1，BC′＝ 2， ∴△BDC′为直角三角形，S△BDC′＝ 1 2 ×1×1＝ 1 2 . 三棱锥 C′ABD 的体积 V＝ 1 3 ×S△BDC′×AC′＝ 1 3 × 1 2 × 2＝ 2 6 . S△ABD＝ 1 2 ×1× 3＝ 3 2 ， 设三棱锥 C′ABD 的高为 h， 则由 1 3 ×h× 3 2 ＝ 2 6 ，解得 h＝ 6 3 . 故三棱锥 C′ABD 的高为 6 3 . 19．(本小题满分 12 分)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府 为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水 量标准 x(吨)，用水量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费，为了了解全市居 民用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100 位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照 [0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中 a 的值； (2)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x(吨)，估计 x的值，并说明理由； (3)已知平价收费标准为 4元/吨，议价收费标准为 8 元/吨．当 x＝3 时，估计该市居民的月 平均水费．(同一组中的数据用该组区间的中点值代替) 解：(1)由频率分布直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋ 0.04)×0.5＝1，解得 a＝0.30. (2)∵前 6组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88＞0.85， 而前 5 组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73＜0.85， ∴2.5＜x＜3. 由 0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得 x＝2.9. 因此，估计月用水量标准为 2.9 吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． (3)设居民月用水量为 t吨，相应的水费为 y 元，则 y＝ 4t，0＜t≤3， 3×4＋ t－3× 8，t＞3， 即 y＝ 4t，0＜t≤3， 8t－12，t＞3. 由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，得居民每月的水费数据分组与频率分布表如 下： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 分组 [0，2) [2，4) [4，6) [6，8) [8， 10) [10， 12) [12， 16) [16， 20) [20，24] 频率 0.04 0.08 0.15 0.20 0.26 0.15 0.06 0.04 0.02 根据题意，该市居民的月平均水费估计为 1×0.04＋3×0.08＋5×0.15＋7×0.20＋9×0.26＋11×0.15＋14×0.06＋18×0.04＋ 22×0.02＝8.42(元)． 四、选做题(请在第 22～23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分) 22．(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C1的极坐 标方程为ρ2 (3＋sin 2θ)＝12，曲线 C2 的参数方程为 x＝1＋tcos α， y＝tsin α (t 为参数)，α∈ 0， π 2 . (1)求曲线 C1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线； (2)设曲线 C2与曲线 C1的交点为 A，B，P(1,0)，当|PA|＋|PB|＝ 7 2 时，求 cos α的值． 解：(1)由ρ2(3＋sin2θ)＝12 得 x2 4 ＋ y2 3 ＝1，该曲线是椭圆． (2)将 x＝1＋tcos α， y＝tsin α， 代入 x2 4 ＋ y2 3 ＝1， 得(4－cos2α)t2＋6tcos α－9＝0， 所以 t1＋t2＝ －6cos α 4－cos2α ，t1t2＝ －9 4－cos2α ， 由直线参数方程的几何意义， 设|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|， 所以|PA|＋|PB|＝|t1－t2|＝ t1＋t2 2－4t1t2＝ 12 4－cos 2α ＝ 7 2 ，所以 cos 2α＝ 4 7 . 因为α∈ 0， π 2 ，所以 cos α＝ 2 7 7 . 23．(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 (1)如果关于 x的不等式|x＋1|＋|x－5|≤m 的解集不是空集，求实数 m 的取值范围； (2)若 a，b 均为正数，求证：aabb ≥abba . 解：(1)由 y＝| x＋1|＋|x－5|＝ －2x＋4，x≤－1， 6，－1＜x＜5， 2x－4，x≥5， 可知|x＋1|＋|x－5|≥6，故要使 不等式|x＋1|＋|x－5|≤m 的解集不是空集，只需 m≥6. 所以实数 m 的取值范围为[6，＋∞)． (2)证明：因为 a，b 均为正数，所以要证 aabb ≥abba ， 只需证 aa－bbb－a≥1，整理得 a b a－b≥1. 当 a≥b 时，a－b≥0， a b ≥1，可得 a b a－b ≥1， 当 a＜b 时，a－b＜0,0＜ a b ＜1，可得 a b a－b＞1， 故 a，b 均为正数时， a b a－b≥1， 当且仅当 a＝b时等号成立， 故 aabb ≥abba 成立． 120 分(12＋4＋3＋2)保分练(四) (满分：126 分 限时：90 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1．已知集合 P＝{0，m}，Q＝{x|2x2 －7x＋5≤0，x∈Z}，若 P∩Q≠∅ ，则 m＝( ) A．1 B．2 C．1或 5 2 D．1 或 2 解析：选 D 依题意得 Q＝{x|(2x－5)(x－1)≤0，x∈Z}＝ x1≤x≤ 5 2 ，x∈Z ＝{1,2}，因为 P∩Q≠∅ ，P＝{0，m}，所以 m＝1 或 m＝2. 2．复数 2－i 3 1－ 2i ＝( ) A．i B．－i C．1 D．－1 解析：选 A 2－i 3 1－ 2i ＝ 2＋i 1－ 2i ＝ 2＋i 1＋ 2i 1－ 2i 1＋ 2i ＝ 3i 3 ＝i. 3．设{an}是公差不为零的等差数列，满足 a2 5＋a2 6＝a2 7＋a2 8，则该数列的前 12 项和等于( ) A．－10 B．－5 C．0 D．5 解析：选 C 法一：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d(d≠0)，由 a2 5＋a2 6＝a2 7＋a2 8，得(a1 ＋4d)2＋(a1＋5d)2＝(a1＋6d)2＋(a1＋7d)2，整理得 2a1＋11d＝0，即 a1＋a12＝0，所以 S12＝ 12 a1＋a12 2 ＝0. 法二：由 a2 5＋a2 6＝a2 7＋a2 8，得 a2 5－a2 7＝a2 8－a2 6，即(a5＋a7)(a5－a7)＝(a8＋a6)(a8－a6)．因为{an} 是公差不为零的等差数列，设其公差为 d(d≠0)，则 2a6×(－2d)＝2a7×2d，即 a6＋a7＝0，所以 S12＝ 12 a1＋a12 2 ＝6(a6＋a7)＝0. 4．由函数 g(x)＝4sin xcos x 的图象向左平移 π 3 个单位长度得到函数 f(x)的图象，则 f π 8 ＝( ) A. 6＋ 2 3 B. 6－ 2 3 C. 6－ 2 2 D. 6＋ 2 2 解析：选 C 函数 g(x)＝4sin xcos x＝2sin 2x 的图象向左平移 π 3 个单位得到 y＝ 2sin 2x＋ 2π 3 的图象， 即 f(x)＝2sin 2x＋ 2π 3 .故 f π 8 ＝2sin 2× π 8 ＋ 2π 3 ＝2sin π 4 ＋ 2π 3 ＝2 sin π 4 cos 2π 3 ＋cos π 4 sin 2π 3 ＝2 2 2 × － 1 2 ＋ 2 2 × 3 2 ＝ 6－ 2 2 . 5．已知向量 a＝(2,4)，b＝(－1，x)，若 a⊥(a－b)，则 x＝( ) A．2 B．2.5 C．5 D．5.5 解析：选 D 因为 a＝(2,4)，b＝(－1，x)，所以 a－b＝(3,4－x)，因为 a⊥(a－b)，所以 a·(a －b)＝2×3＋4(4－x)＝0，解得 x＝5.5. 6.如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的体积是 ( ) A. 10π 3 B．4π C．6π D．12π 解析：选 A 这个空间几何体的下半部分是一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱，上半部分是 一个底面半径为 2，高为 1 的圆锥，故其体积为π×12×2＋ 1 3 π×22×1＝ 10π 3 . 7.《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，如图是赵爽的弦图及 注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及 一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积分别称朱实、黄实，利用 2×勾×股＋(股－勾)2 ＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简得勾 2 ＋股 2 ＝弦 2 .设勾股形中勾股比为 1∶ 3，若向弦图内随机抛 掷 3 000 颗图钉，则落在黄色图形内的图钉数约为( 3≈1.732)( ) A．134 B．268 C．402 D．536 解析：选 C 设大正方形的边长为 2，由图中直角三角形的两直角边长之比为 1∶ 3，可得小 正方形的边长为 3－1，所以小正方形与大正方形的面积比值为 3－1 2 4 ＝1－ 3 2 ，所以落在 小正方形内的图钉数为 1－ 3 2 ×3 000≈ 1－ 1 2 ×1.732 ×3 000＝402. 8．在[－4,4]上随机取一个实数 m，能使函数 f(x)＝x3 ＋mx2 ＋3x 在 R 上单调递增的概率为 ( ) A. 1 4 B. 3 8 C. 5 8 D. 3 4 解析：选 D 由题意，得 f′(x)＝3x2 ＋2mx＋3，要使函数 f(x)在 R 上单调递增，则 3x2 ＋2mx ＋3≥0 在 R 上恒成立，即Δ＝4m2－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率为 3－ －3 4－ －4 ＝ 3 4 . 9．已知圆 C 与直线 y＝x 及 x－y－4＝0 都相切，圆心在直线 y＝－x 上，则圆 C 的方程为 ( ) A．(x＋1) 2 ＋(y－1) 2 ＝2 B．(x＋1) 2 ＋(y＋1) 2 ＝2 C．(x－1) 2 ＋(y－1) 2 ＝2 D．(x－1) 2 ＋(y＋1) 2 ＝2 解析：选 D 由题意知 x－y＝0 和 x－y－4＝0之间的距离为 |4| 2 ＝2 2，所以 r＝ 2.又因为 x＋y＝0 与 x－y＝0，x－y－4＝0 均垂直，所以由 x＋y＝0 和 x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)， 由 x＋y＝0 和 x－y－4＝0 联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆 C 的标准 方程为(x－1) 2 ＋(y＋1) 2 ＝2. 10．函数 f(x)＝ 1 x ＋ln |x|的图象大致为( ) 解析：选 B 因为 f(1)＝1，排除 A项；当 x>0 时，f(x)＝ 1 x ＋ln x，f′(x)＝－ 1 x2 ＋ 1 x ＝ x－1 x2 ， 所以当 0查看更多