- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】2018届一轮复习人教A版第9章第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 [深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源 [五年考情] 考点 2016年 2015年 2014年 2013年 2012年 计数原理、排列组合 9,5分(理) 14,4分(理) 14,4分(理) 6,5分(理) 二项式定理 5,5分(理) 11,4分(理) 14,4分(理) 随机事件的概率与古典概型 12,4分(理) 19(1),7分(理) 12,4分(文) 19(1),7分(理) 12,4分(文) 条件概率、二项分布、离散型随机变量的分布列、均值与方差 9,5分(理) 12,4分(理) 19(2),7分(理) 19(2),7分(理) [重点关注] 综合近5年浙江卷高考试题,我们发现高考主要考查排列组合,二项式定理、随机事件的概率、古典概型、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差.主要考查对基础知识与基本方法的应用意识,考查转化与化归思想及运算求解能力. 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( ) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.( ) (3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( ) (4)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数有( ) A.30 B.20 C.10 D.6 D [从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两数和为偶数可分为两类:①取出的两数都是偶数,共有3种方法;②取出的两数都是奇数,共有3种方法,故由分类加法计数原理得共有N=3+3=6种.] 3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有( ) A.30个 B.42个 C.36个 D.35个 C [∵a+bi为虚数,∴b≠0,即b有6种取法,a有6种取法, 由分步乘法计数原理知可以组成6×6=36个虚数.] 4.如图911,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) 图911 A.24 B.18 C.12 D.9 B [分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路程.] 5.现有4种不同的颜色要对如图912所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有________种. 图912 48 [按A→B→C→D顺序分四步涂色,共4×3×2×2=48种不同的着色方法.] 分类加法计数原理 (1)三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( ) A.4种 B.6种 C.10种 D.16种 (2)(2017·杭州二中月考)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为( ) A.14 B.13 C.12 D.10 (1)B (2)B [(1)分两类:甲第一次踢给乙时,满足条件有3种方法(如图), 同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法. 由分类加法计数原理,共有3+3=6种传递方法. (2)①当a=0时,有x=-,b=-1,0,1,2,有4种可能; ②当a≠0时,则Δ=4-4ab≥0,ab≤1, (ⅰ)当a=-1时,b=-1,0,1,2,有4种可能; (ⅱ)当a=1时,b=-1,0,1,有3种可能; (ⅲ)当a=2时,b=-1,0,有2种可能. ∴有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13个.] [规律方法] 1.第(2)题常见的错误: (1)想当然认为a≠0; (2)误认为a≠b. 2.分类标准是运用分类计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准. (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复. [变式训练1] 从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 D [以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8. 以4为首项的等比数列为4,6,9. 把这4个数列的顺序颠倒,又得到另外的4个数列, ∴所求的数列共有2(2+1+1)=8个.] 分步乘法计数原理 (1)(2017·浙江舟山模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( ) 【导学号:51062322】 A.C·45种 B.A·54种 C.C·A种 D.C·54种 (2)有六名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有________种不同的报名方法. (1)D (2)120 [(1)有两个年级选择甲博物馆共有C种情况,其余四个年级每个年级各有5种选择情况, 故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C×54种. (2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,由分步乘法计数原理,得共有报名方法6×5×4=120种.] [规律方法] 1.利用分步乘法计数原理应注意:(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的.(2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都完成才算完成这件事. 2.在第(1)题中,除仅有两个年级选择甲博物馆外,其余4个年级易错误认为有45种选择方法.导致错选A项. [变式训练2] (1)设集合A={-1,0,1},B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数为________. (2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同的分法的种数为________.(用数字作答) (1)10 (2)8 [(1)易知A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}, ∴x有2种取法,y有5种取法, 由分步乘法计数原理,A*B的元素有2×5=10个. (2)第1步把甲、乙分到不同班级有A=2种分法. 第2步分丙、丁:①丙、丁分到同一班级有2种分法,②丙、丁分到两个不同的班级有A=2种分法. 由计数原理,不同的分法为2×(2+2)=8种.] 两个计数原理的综合应用 (1)(2017·杭州调研)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对∀x∈A,y∈B,x查看更多