河北省衡水中学2020届高三第一次联合考试数学文科试题

河北省衡水中学2020届高三第一次联合考试数学文科试题

河北衡水中学2020届全国高三第一次联合考试 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则中元素的个数是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法依次表示出集合，再求出交集，再判断元素个数．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，有3个元素，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查用列举法表示集合，考查集合的交集运算，属于基础题．‎ ‎2.已知复数z满足z（1+i）＝1+3i，其中i是虚数单位，设是z的共轭复数，则的虚部是（ ）‎ A. i B. ‎1 ‎C. ﹣i D. ﹣1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复数代数形式的除法运算求出，再根据共轭复数的定义写出，从而得出的虚部．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，则虚部为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查共轭复数的定义及复数的虚部，属于易错题．‎ ‎3.等差数列{an}中，Sn为{an}的前n项和，若a2，a4是关于x的一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个根，则S5＝（ ）‎ A. 5 B. ‎10 ‎C. 12 D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦达定理得，再利用等差数列的性质即可得出结论．‎ ‎【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个根，‎ ‎∴由韦达定理得，‎ 由等差数列的性质得，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质与前项和的计算，属于基础题．‎ ‎4.若f（x）＝ex+ae﹣x是定义在R上的奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（ ）‎ A. y＝﹣x B. y＝x C. y＝﹣2x D. y＝2x ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数是定义在上的奇函数得，求出函数的解析式，再求出 ‎，从而可求出切线方程．‎ ‎【详解】解：∵函数是定义在上的奇函数，‎ ‎∴，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查奇函数的定义及性质，考查利用函数的导数求曲线在某点处的切线方程，属于基础题．‎ ‎5.已知⊙O的半径为1，A，B为圆上两点，且劣弧AB的长为1，则弦AB与劣弧AB所围成图形的面积为（ ）‎ A. sin1 B. cos‎1 ‎C. sin D. cos ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先求出圆心角，再求出扇形的面积和△的面积，从而得出结论．‎ ‎【详解】解：设的半径为，劣弧所对的圆心角为，弧长为，‎ 由弧长公式得，‎ ‎∴弦与劣弧所围成图形的面积，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，考查三角形的面积公式，属于基础题．‎ ‎6.某校为提高学生的身体素质，实施“每天一节体育课”，并定期对学生进行体能测验在一次体能测验中，某班甲、乙、丙三位同学的成绩（单位：分）及班内排名如表（假定成绩均为整数）现从该班测验成绩为94和95的同学中随机抽取两位，这两位同学成绩相同的概率是（ ）‎ 成绩/分 班内排名 甲 ‎95‎ ‎9‎ 乙 ‎94‎ ‎11‎ 丙 ‎93‎ ‎14‎ A. 0.2 ‎B. ‎0.4 ‎C. 0.5 D. 0.6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得出成绩为95分的有2人，94分的有3人，本题是古典概型，求出事件包含的基本事件数以及基本事件的总数，从而求出答案．‎ ‎【详解】解：由表格可知，该班成绩为95分的有2人，94分的有3人，‎ ‎∴从这5名同学中随机抽取2名同学，‎ 基本事件总数为，‎ 这两位同学成绩相同包含的基本事件数是，‎ ‎∴这两位同学成绩相同的概率，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，考查排列、组合问题，属于基础题．‎ ‎7.已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F‎1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设，由题意知△是直角三角形，利用且恰好为正三角形，求出、，根据双曲线的定义求得，之间的关系，则双曲线的离心率可得．‎ ‎【详解】解：连接， 设，‎ 则由题意可得是直角三角形，‎ 由恰好为正三角形得，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质．考查数形结合的思想的运用，属于基础题．‎ ‎8.某校高一组织五个班的学生参加学农活动，每班从“农耕”“采摘““酿酒”野炊”“饲养”五项活动中选择一项进行实践，且各班的选择互不相同．已知1班不选“农耕”“采摘”；2班不选“农耕”“酿酒”；如果1班不选“酿酒”，那么4班不选“农耕”；3班既不选“野炊”，也不选“‎ 农耕”；5班选择“采摘”或“酿酒”则选择“饲养”的班级是（ ）‎ A. 2班 B. 3班 C. 4班 D. 5班 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题的关键是找出1，2，3，5班都不选农耕，则只有4班选农耕，再根据逆否命题的真假性，可得1班选酿酒，所以5班只有选采摘，逐一选择可得出结果．‎ ‎【详解】解：由题意，1，2，3，5班都不选农耕，则只有4班选农耕，‎ 根据逆否命题，1班选酿酒，所以5班只有选采摘，‎ 只剩下“野炊”和“饲养”，‎ 因3班既不选“野炊”，‎ 故选择“饲养”的班级是3班．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查合情推理能力，以及逆否命题的真假性的判断能力，属于基础题．‎ ‎9.下列关于函数的说法，正确的是（ ）‎ A. 是函数f（x）的一个极值点 B. f（x）在区间[0，]上是增函数 C. 函数f（x）在区间（0，π）上有且只有一个零点 D. 函数f（x）的图象可由函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度得到 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数解析式，然后再逐一判断选项即可．‎ ‎【详解】解：函数，‎ 当时，，所以不是函数的一个极值点，所以A不正确；‎ 当时，函数取得最大值，所以函数在区间上不是增函数，所以B不正确；‎ 由得，则，所以在区间上有两个零点，，所以C不正确；‎ 由函数的图象向左平移个单位长度得到，所以正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及三角函数的简单性质的应用，属于基础题．‎ ‎10.瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数V、棱数E及面数F满足等式V﹣E+F＝2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，它是由12块黑色正五边形面料和20块白色正六边形面料构成的．20世纪80年代，化学家们成功地以碳原子为顶点组成了该种结构，排列出全世界最小的一颗“足球”，称为“巴克球（Buckyball）”．则“巴克球”的顶点个数为（ ）‎ A. 180 B. ‎120 ‎C. 60 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设巴克球顶点数、棱数及面数，计算出面数和棱数即可求出顶点数．‎ ‎【详解】解：依题意，设巴克球顶点数、棱数及面数，‎ 则，‎ 每条棱被两个面公用，故棱数，‎ 所以由得：，解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题为阅读型题目，计算出棱数是解决问题的关键，属于基础题．‎ ‎11.已知正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1，E，F是线段AC1上的点，且AE＝EF＝FC1，分别过点E，F作与直线AC1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造平面，平面，设正方体边长为1，根据等体积法计算到平面的距离，从而可得出，分别为与平面和平面的交点，计算中间几何体的体积得出答案．‎ ‎【详解】解：‎ 构造平面，平面，则平面，平面，‎ 设正方体边长为1，则，，，‎ ‎，‎ 设到平面的距离为，则，解得，‎ 平面，同理可得平面，‎ 正方体夹在平面与之间的部分体积为，‎ ‎∴体积之比是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎12.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且异于长轴端点．点M，N在△PF‎1F2所围区域之外，且始终满足，，则|MN|的最大值为（ ）‎ A. 6 B. ‎8 ‎C. 12 D. 14‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，的中点分别为，，则，在分别以，为圆心的圆上，直线与两圆的交点△所围区域之外）分别为，时，的最大，可得的最大值为即可．‎ ‎【详解】解：设，的中点分别为，，‎ ‎，，则，在分别以，为圆心的圆上，‎ ‎∴直线与两圆的交点△所围区域之外）分别为，时，最大，‎ ‎∴的最大值为，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想，属于中档题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知非零向量满足，，则与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，，得，所以，‎ 所以夹角是．‎ ‎14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_____．‎ ‎【答案】4．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由四棱锥的三视图得到该四棱锥是四棱锥，其中，底面，是正方形，边长为3，，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长．‎ ‎【详解】解：由题意几何体的直观图如图，‎ 其中，底面，是正方形，‎ 边长为3，，，‎ 所以，，‎ 所以最长的棱长为4，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的直观图，考查四棱锥中最长棱的求法，属于基础题．‎ ‎15.已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，且，则b+c的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知等式和余弦定理，可推出，即，，又知，所以；因为三角形是锐角三角形，所以角为锐角，；由，设，用表示出，并求出的取值范围，进而得的取值范围．‎ ‎【详解】解：，且，‎ ‎，即，‎ 又由余弦定理可得，‎ 可得，即，‎ ‎，，又为锐角，，‎ ‎，，‎ 设，由余弦定理知，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ 故，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理的灵活应用和函数思想，转化思想，属于中档题．‎ ‎16.已知曲线y＝|lnx|与直线y＝m有两个不同的交点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1＜x2），设直线l1，l2分别是曲线y＝|lnx|在点P1，P2处的切线，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B．△P2AB 为等边三角形，则实数m的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数的运算性质可得，，分别求得和的导数，可得切线的斜率和切线的方程，以及，的坐标，可得等边三角形的边长，可得，进而得到的值．‎ ‎【详解】解：由曲线与直线有两个不同的交点，可得，即有，，‎ 由的导数为，可得切线的斜率为，切线的方程为，‎ 令得，即，‎ 由的导数为，可得切线的斜率为，切线的方程为，‎ 令得，即，则，‎ 由△为等边三角形，可得，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，考查直线方程的运用，属于中档题．‎ 三、解答題：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.端午节是中国传统节日之一节日期间，各大商场各种品牌的“粽子战”便悄然打响．某记者走访市场发现，各大商场粽子种类繁多，价格不一根据数据统计分析，得到了某商场不同种类的粽子销售价格（单位：元/千克）的频数分布表，如表一所示．‎ 表一：‎ 价格/（元/千克）‎ ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ 种类数 ‎4‎ ‎12‎ ‎16‎ ‎6‎ ‎2‎ 在调查中，记者还发现，各大品牌在馅料方面还做足了功课，满足了市民多样化的需求除了蜜枣、豆沙等传统馅料粽，很多品牌还推出了鲜肉、巧克力、海鲜等特色馅料粽在该商场内，记者随机对100名顾客的年龄和粽子口味偏好进行了调查，结果如表二．‎ 表二：‎ 喜欢传统馅料粽 喜欢特色馅料粽 总计 ‎40岁以下 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎40岁及以上 ‎50‎ ‎5‎ ‎55‎ 总计 ‎80‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎（1）根据表一估计该商场粽子的平均销售价（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）根据表二信息能否有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关？‎ 参考公式和数据：（其中为样本容量）‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）该商场粽子的平均销售价为21.25元/千克（2）有95%的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表一的数据计算平均数即可；‎ ‎（2）根据表二信息计算观测值，对照临界值即可得出结论．‎ ‎【详解】解：（1）根据表一的数据，‎ ‎，‎ 估计该商场粽子的平均销售价为21.25；‎ ‎（2）根据表二信息，‎ ‎，‎ 所以有的把握认为顾客的粽子口味偏好与年龄有关．‎ ‎【点睛】本题主要考查平均数的计算问题、列联表与独立性检验问题，属于基础题．‎ ‎18.已知{an}是等比数列，，且成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】（1）an＝（）n（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，可得首项和公比的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得，再由数列的裂项相消求和．‎ ‎【详解】解：（1）设是公比为的等比数列，，且成等差数列，‎ 可得，，即，‎ 解得，‎ 则；‎ ‎（2），‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．‎ ‎19.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DFPD．‎ ‎（1）求证：PB∥平面AEF；‎ ‎（2）若，求三棱锥E﹣PAD的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面；‎ ‎（2）求出，，由，求出，三棱锥的体积，由此能求出结果．‎ ‎【详解】（1）证明：四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，与交于点，平面，‎ 为的中点连接交于，点在侧棱上，且，‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ ‎，平面，‎ 平面；‎ ‎（2）解：，，‎ ‎，，‎ 由，解得，，‎ 三棱锥的体积：‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎20.已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎(1)求函数的极值；‎ ‎(2)问：是否存在实数,使得有两个相异零点？若存在,求出的取值范围；若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ①当时，函数无极值.②当时,函数有极小值为,无极大值；(2)存在,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数求导,根据的不同取值范围,进行分类讨论,求出函数的极值；‎ ‎(2)根据的不同取值范围,进行分类讨论,结合、函数的极值的大小、(1)中的结论,最后求出的取值范围.‎ ‎【详解】解：(1)因为,所以.‎ ‎①当时，，‎ 所以时,,所以函数在上单调递减.‎ 此时，函数无极值.‎ ‎②当时,令，得,‎ 当时,,所以函数上单调递减；‎ 当时,,所以函数在上单调递增.‎ 此时,函数有极小值为,无极大值.‎ ‎(2)存在实数,使得有两个相异零点.‎ 由(1)知：①当时,函数在上单调递减；‎ 又,所以此时函数仅有一个零点；‎ ‎②当时，‎ 因为,则由（1）知；‎ 取,令,‎ 易得,所以在单调递减,‎ 所以,所以.‎ 此时,函数在上也有一个零点.‎ 所以,当时,函数有两个相异零点.‎ ‎③当时,,，‎ 此时函数仅有一个零点.‎ ‎④当时,,因为,则由(1)知；‎ 令函数,易得,‎ 所以所以,即.‎ 又,所以函数在上也有一个零点,‎ 所以,当时,函数有两个相异零点.‎ 综上所述,当时,函数有两个相异零点.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、零点问题,考查了分类讨论思想.‎ ‎21.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），直线l交C于A，B两点，且A，B两点与原点不重合，点M（1，2）为线段AB的中点．‎ ‎（1）若直线l的斜率为1，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）分别过A，B两点作抛物线C的切线，若两条切线交于点S，证明点S在一条定直线上．‎ ‎【答案】（1）x2＝2y（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线方程为，代入抛物线方程，消去，设，，，，运用韦达定理，以及中点坐标公式，可得，即可得到所求抛物线方程；‎ ‎（2）求得的导数，可得抛物线在，处的切线的斜率，由点斜式方程和点，满足抛物线方程，可得在，处的切线方程，联立两切线方程，相加，结合中点坐标公式，即可得到所求点所在的定直线方程．‎ ‎【详解】解：（1）设直线的方程为，代入抛物线，‎ 可得，‎ 设，，则，‎ 点为线段的中点，可得，即，‎ 则抛物线的方程为；‎ ‎（2）证明：设，，点为线段的中点，‎ 可得，，‎ 由的导数为，可得抛物线在处的切线斜率为，切线方程为，‎ 由，可得，①‎ 同理可得，②‎ ‎①②可得，‎ 即为，即．‎ 可得交点在一条定直线上．‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第2223题中任选一题作答．如果多做则按所做的第一题计分．‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（ρ﹣2cosθ）2＝5﹣4sin2θ．‎ ‎（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相切，求m的值．‎ ‎【答案】（1）直线l的普通方程为x+2y﹣4﹣‎2m＝0；曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣1＝0（2）m或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由消参法可得直线的普通方程；由，，，代入化简可得曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求得曲线表示的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件：，运用点到直线的距离公式，解方程可得所求值．‎ ‎【详解】解：（1）直线的参数方程为，为参数），‎ 可得，‎ 即直线的普通方程为，‎ 曲线的极坐标方程为，‎ 即为，‎ 由，，，‎ 可得；‎ ‎（2）由（1）可得曲线表示以为圆心，为半径的圆，‎ 由直线与曲线相切，可得圆心到直线的距离为半径，‎ 即为，解得或．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化，考查直线和圆相切的条件，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎23.已知函数f（x）＝|x+‎4m|+|x+‎2m+1﹣3|．‎ ‎（1）当m＝1时，求不等式f（x）≥7的解集；‎ ‎（2）试证明f（x）≥2．‎ ‎【答案】（1）{x|x≥1或x≤﹣6}（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入中，然后将写为分段函数的形式，再根据分别解不等式可得解集；‎ ‎（2）由绝对值三角不等式可得，从而证明结论．‎ ‎【详解】解：（1）当时，．‎ 因为，所以或，‎ 所以或，‎ 所以不等式的解集为或；‎ ‎（2）证明：‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．‎