【数学】2018届一轮复习人教A版 参数方程 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 参数方程 学案

专题61 参数方程 ‎1．了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．‎ ‎3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程．‎ ‎ ‎ 一、参数方程和普通方程的互化 ‎1．参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．‎ ‎(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．‎ ‎【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ ‎2．几种常见的参数方程 ‎(1)圆的参数方程 若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(4)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)．‎ 二、直线的参数方程 利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：‎ ‎(1)t0＝；‎ ‎(2)|PM|＝|t0|＝；‎ ‎(3)|AB|＝|t2－t1|；‎ ‎(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.‎ ‎【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M‎0M|＝|t|.‎ 三、极坐标与参数方程的综合应用规律 ‎1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．‎ ‎2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．‎ 高频考点一　参数方程与普通方程的互化 ‎【例1】 已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.‎ ‎【方法规律】　(1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.‎ ‎(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，一定要保持同解变形.‎ ‎【变式探究】 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值.‎ 解　直线l的普通方程为x－y－a＝0，‎ 椭圆C的普通方程为＋＝1，‎ ‎∴椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过(3，0)，则3－a＝0，∴a＝3.‎ 高频考点二　参数方程及应用 ‎【例2】已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数).‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.‎ 解　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎【方法规律】(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题.‎ ‎(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.‎ ‎【变式探究】 平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m，0)，且倾斜角为.‎ ‎(1)求圆C和直线l的参数方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值.‎ 解　(1)由曲线C：(x－1)2＋y2＝1.‎ 得参数方程为(θ为参数).‎ 直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，‎ 得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，‎ 由题意得|m2－2m|＝1，得m＝1，m＝1＋或m＝1－.‎ 高频考点三　参数方程与极坐标方程的综合应用 ‎【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ 解　(1)曲线C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 又曲线C2：ρsin＝2.所以ρsin θ＋ρcos θ＝4.‎ 因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值.‎ d(α)＝＝，‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ ‎【方法规律】(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.‎ ‎【变式探究】 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.‎ 解　(1)圆C的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcos θ，‎ y＝ρsin θ，所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ.‎ ‎1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．‎ 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.‎ ‎（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．‎ ‎【答案】（I）圆,（II）1‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.‎ 是以为圆心，为半径的圆.‎ 将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为 ‎.‎ ‎（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组 若，由方程组得，由已知，‎ 可得，从而，解得（舍去），.‎ 时，极点也为的公共点，在上.所以.‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的方程为． ‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）由可得的极坐标方程 ‎（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 由得，‎ 所以的斜率为或.‎ ‎3.【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 ‎，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为. ……5分 ‎（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，. ‎ ‎………………8分 当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分 ‎4.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.‎ 解　椭圆C的普通方程为x2＋＝1.‎ 将直线l的参数方程代入x2＋＝1，‎ 得＋＝1，即7t2＋16t＝0，‎ 解得t1＝0，t2＝－.所以|AB|＝|t1－t2|＝.‎ 所以线段AB的长为.‎ ‎1.【2015高考湖北，理16】在直角坐标系中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 ( 为参数) ，与C相交于两点，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，所以，即；‎ 由消去得．联立方程组，解得或，‎ 即，，‎ 由两点间的距离公式得.‎ ‎2．【2015高考重庆，理15】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的普通方程为，由得，直角坐标方程为，把代入双曲线方程解得，因此交点.为，其极坐标为.‎ ‎3.【2015高考广东，理14】(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为 ，则点到直线的距离为 .‎ 【答案】．‎ ‎【解析】‎ 解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，‎ 点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．‎ 点A到直线l的距离为：=．‎ 故答案为：．‎ ‎4.【2015高考陕西，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极 轴建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的直角坐标方程；‎ ‎（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】‎ ‎（I）由，得，‎ 从而有，所以.‎ ‎(II)设，又，则，‎ 故当时，取最小值，此时点的直角坐标为.‎ ‎ 1．（2014·福建卷） (Ⅱ)选修44：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎ (Ⅱ)解：(1)直线l的普通方程为2x－y－‎2a＝0，‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，‎ 解得－2≤a≤2.‎ ‎2．（2014·重庆卷）已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．‎ ‎【答案】　【解析】由题意，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的平面直角坐标方程为y2＝4x，联立直线l与曲线C的方程，解得所以直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝＝.‎ ‎3．（2014·辽宁卷）选修44：坐标系与参数方程 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得由x＋y＝1得x2＋＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.‎ 故C的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k＝，于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得 ‎2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝.‎ ‎1.在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsin θ＋ρcos θ＝m.‎ ‎(1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系；‎ ‎(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围.‎ 解　(1)曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆；‎ 直线l的直角坐标方程为x＋y＝0，‎ 圆心C到直线l的距离为d＝＝＝r，‎ 所以直线l与圆C相切.‎ ‎(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝≤，解得－1≤m≤5.‎ 所以实数m的取值范围为[－1，5].‎ ‎2.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 ‎(θ为参数)，直线l经过点P(1，2)，倾斜角α＝.‎ ‎(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值.‎ 解　(1)由消去θ，‎ 得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ 又直线l过点P(1，2)，且倾斜角α＝.‎ 所以l的参数方程为 即(t为参数).‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，‎ 得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，‎ 所以t1t2＝－11.‎ 由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.‎ ‎3.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值.‎ 解　(1)由ρsin2θ＝4cos θ得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入y2＝4x得到t2sin2α－4tcos α－4＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别是t1，t2，‎ 则t1＋t2＝，t1t2＝－.‎ ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝＝≥4，当α＝时取到等号.‎ ‎∴|AB|min＝4，即|AB|的最小值为4.‎ ‎4.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标.‎ 解　(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1).‎ 可得C的参数方程为 (t为参数，0≤t≤π).‎ ‎(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1，0)为圆心，‎ ‎1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直，‎ 所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.故D的直角坐标为，即.‎ ‎5.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.‎ ‎(1)求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎(2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值.‎ 解　(1)由消去参数α，得＋y2＝1，‎ 即C的普通方程为＋y2＝1.‎ 由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)‎ 将代入(*)，化简得y＝x＋2，‎ 所以直线l的倾斜角为.‎ ‎(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)，‎ 代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，‎ Δ＝(18)2－4×5×27＝108＞0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－＜0，t1t2＝＞0，所以t1＜0，t2＜0，‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.‎