【数学】2020届一轮复习人教B版数系的扩充与复数学案

【数学】2020届一轮复习人教B版数系的扩充与复数学案

‎《数系的扩充与复数》全章复习与巩固 ‎ ‎ ‎【学习目标】 ‎ ‎1. 了解引进复数的必要性，了解数集的扩充过程；‎ ‎2. 理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；理解复数相等的充要条件；‎ ‎3. 了解复数的代数表示法及其几何意义；‎ ‎4. 掌握进行复数代数形式的四则运算法则，了解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义. 注意在不同数集中运算法则的联系和区别.‎ ‎【知识网络】‎ ‎【要点梳理】 ‎ 要点一：复数的基本知识 ‎1、虚数单位，规定它的平方等于，即.‎ 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.‎ ‎2、形如（）的数叫做复数，记作：（）；‎ 当b=0时，是实数；‎ 当b≠0时，叫做虚数；‎ 当a=0且b≠0时，叫做纯虚数.‎ ‎3、两个复数相等的充要条件：若，则.‎ ‎4、复数的几何意义： ‎ 复数复平面内的点 平面向量 ‎5、复数的模：设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.‎ 即.‎ 要点诠释：（1）的周期性：如果n∈N，则有：，，，；‎ ‎（2）复数的共轭复数，记为；‎ ‎（3）.‎ 要点二：复数的运算 设，（），则：‎ 要点诠释：（1）设ω＝，则，，，，，(n∈N+)等；‎ ‎（2）复数求解计算时，要灵活利用i、ω的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i、ω的计算问题． 比如；；；‎ ‎（3）作复数除法运算时，有如下技巧：．‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：复数的概念及运算 例1. 化简下列式子：‎ ‎（1）； （2） ．‎ ‎【解析】 （1）‎ ‎；‎ ‎（2）‎ ‎．‎ ‎【总结升华】灵活利用及的特点进行计算．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】i是虚数单位，计算 ( )‎ ‎ A．-l B．1 C．-i D．i ‎【答案】 A ‎【变式2】复数等于 ( )‎ ‎ A．i B．-i C．1 D．-1‎ ‎【答案】 D ‎【解析】 ．‎ ‎【变式3】已知复数，则________·‎ ‎【答案】 -2i 例2. 已知，(a∈R)分别对应向量，（O为原点），若向量所对应的复数为纯虚数，求a的值．‎ ‎【解析】 设向量对应的复数为z，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ‎ ‎．‎ ‎∵ z为纯虚数，‎ ‎∴ 即 ‎∴ ．‎ ‎【总结升华】 讨论复数z为实数、虚数、纯虚数、非纯虚数应从定义入手．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】设(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是-1，则z2的虚部为________．‎ ‎ 【答案】 1‎ ‎ 【解析】 ，，‎ ‎ ，由复数相等得．‎ ‎ 【变式2】 设a，b为实数，若复数，则( )‎ A．， B．a＝3，b＝l C．＝， D．a＝1，b＝3‎ ‎【答案】 A ‎【解析】‎ 故选A． ‎ 类型二：复数的几何意义 例3. 已知复数，，，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．‎ ‎【解析】设复数、、所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个点D对应的复数为(x，y∈R)，‎ ‎∴ 对应的复数为 ‎，‎ 对应的复数为．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ，‎ 即 解得 ‎∴ 点D对应的复数为．‎ ‎【总结升华】本题主要考查复数的几何意义．利用，求点D对应的复数，也可利用原点O恰好是正方形ABCD的中心来解．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知复平面上的ABCD中，对应的复数为6+8i，对应的复数为-4+6i，求向量对应的复数．‎ ‎【答案】如图所示，ABCD中，设对角线AC、BD的交点为E，则点E为AC、BD的中点，由复数加减法的几何意义可得 所以对应的复数为，‎ 所以向量对应的复数为．‎ 例4. 复数且，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．‎ ‎【解析】．‎ ‎ 由，得． ①‎ ‎ ∵ 复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，‎ ‎∴ ．‎ 把代入上式化简得|b|＝1． ②‎ 又∵ z对应的点在第一象限.‎ ‎∴ a＜0，b＜0．‎ 由①②得 故所求值为，．‎ ‎ 【总结升华】要确定实数a，b的值，需列出含a，b的两个方程条件|z|＝4易使用；对于正三角形这个条件，使用方法较多，本题转化为边长相等，即．‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】复数在复平面上对应的点位于( )‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ 【答案】 A ‎【解析】 ．‎ ‎∴ 复数z在复平面内的对应点为，在第一象限．故选A．‎ ‎【变式2】若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )‎ ‎ A．E B．F C．G D．H ‎ 【答案】 D ‎【解析】 由题中图示可知，‎ ‎∴ ，再结合题中图示知点H表示2-i，故选D．‎ 类型三：复数与方程 例5. 已知2+ai，b+i是实系数一元二次方程的两根，求p，q.‎ A．p＝-4，q＝5 B．p＝4，q＝5 C．p＝4，q＝-5 D．p＝-4，q＝-5‎ ‎【思路点拨】抓住实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数来解题.‎ ‎ 【解析】 因为2+ai，b+i)是实系数一元二次方程的两个根，‎ 所以2+ai与b+i互为共轭复数，‎ 所以a＝-1，b＝2，‎ 所以实系数一元二次方程的两个根是2±i，‎ 所以p＝-[(2+i)+(2-i)]＝-4，q＝(2+i)(2-i)＝5．‎ ‎ 【总结升华】本题考查实系数一元二次方程有虚根时两根互为共轭复数的特点，以及根与系数的关系．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】在复数集中解方程.‎ ‎【答案】，‎ ‎∴，‎ ‎∴原方程的根为.‎ 例6. 已知Z∈C，解方程．‎ ‎ 【思路点拨】本题介绍对的熟练应用，来求得.‎ ‎【解析】 ∵ ，把方程变形为， ①‎ ‎ 两边取模得．‎ 整理得．‎ 解得或．‎ ‎ 将其代入①得或．‎ ‎ ∴ z＝-1或z＝-1+3i．‎ ‎【总结升华】对于含的方程，基本解法：（1）设(x，y∈R)，利用复数相等的条件求x，y；（2）若由（1）困难，则看能否能求出，然后代回去再解. 本题可以也可以用方法求解.‎ 举一反三：‎ ‎【变式】已知Z∈C，解方程．‎ ‎【答案】令(x，y∈R)，‎ 则原方程化为：，‎ ‎∴由复数相等的条件有 解得或 ‎∴原方程的解为，.‎