【数学】2018届一轮复习人教A版9-9直线与圆锥曲线学案

【数学】2018届一轮复习人教A版9-9直线与圆锥曲线学案

‎§9.9　直线与圆锥曲线 考纲展示►　‎ ‎1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的思想方法．‎ ‎2．了解圆锥曲线的简单应用．‎ ‎3．理解数形结合的思想．‎ 考点1　直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．‎ 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.‎ ‎(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C________；‎ Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C________；‎ Δ<0⇔直线与圆锥曲线C________.‎ ‎(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是________；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________．‎ 答案：(1)相交　相切　相离 ‎(2)平行　平行或重合 ‎[典题1]　(1)[2017·甘肃兰州检测]若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)‎ A．至多一个 B．2 ‎ C．1 D．0‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴ ＞2，‎ ‎∴m2＋n2＜4.‎ ‎∴＋＜＋＝1－m2＜1，‎ ‎∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，‎ ‎∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．‎ ‎(2)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　由得 ‎(1－k2)x2－4kx－10＝0.‎ 设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，‎ B(x2，y2)，‎ 则 解得－＜k＜－1.‎ 即k的取值范围是.‎ ‎[点石成金]　直线与圆锥曲线的位置关系的两种判定方法及两个关注点 ‎(1)判定方法 ‎①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．‎ ‎②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．‎ ‎(2)关注点 ‎①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．‎ ‎②判断直线与圆锥曲线的位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．‎ 考点2　弦长问题 圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝·|y1－y2|‎ ‎＝·.‎ ‎[典题2]　[2017·贵阳摸底]如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＝4.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．‎ ‎[解]　(1)由题意知，e＝＝，‎2a＝4.‎ 又a2＝b2＋c2，‎ 解得a＝2，b＝，‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)①当两条弦中的一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知，|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．‎ ‎②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则直线CD的方程为y＝－(x－1)．‎ 将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理，得 ‎(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝.‎ 同理，|CD|＝＝.‎ 所以|AB|＋|CD|＝＋ ‎＝＝，‎ 解得k＝±1，‎ 所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.‎ ‎[点石成金]　处理弦长问题的两个注意点 ‎(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；‎ ‎(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.‎ 过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．‎ 答案：y2＝3x 解析：分别过点A，B作AA1，BB1垂直于l，且垂足分别为A1，B1，‎ 由|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，‎ ‎∴∠BCB1＝30°，‎ 又|AA1|＝|AF|＝3，‎ ‎∴|AC|＝2|AA1|＝6，‎ ‎∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，‎ ‎∴F为线段AC的中点．‎ 故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线的方程为y2＝3x.‎ 考点3　中点弦问题 ‎[考情聚焦]　弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 由中点弦确定直线方程 ‎[典题3]　[2017·江西九校联考]已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为________．‎ ‎[答案]　x＋2y－3＝0‎ ‎[解析]　解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由消去y，得 ‎(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，‎ 又∵x1＋x2＝2，∴＝2，‎ 解得k＝－.‎ ‎∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，‎ 即x＋2y－3＝0.‎ 解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则 ‎①－②得 ＋＝0，‎ ‎∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，‎ ‎∴＋y1－y2＝0，‎ ‎∴k＝＝－.‎ ‎∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，‎ 即x＋2y－3＝0.‎ 角度二 由中点弦确定曲线方程 ‎[典题4]　[2017·福建福州质检]抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为(　　)‎ A．y＝2x2 B．y2＝2x C．x2＝2y D．y2＝－2x ‎[答案]　B ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 抛物线方程为y2＝2px，‎ 则 两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，解得p＝1，‎ ‎∴抛物线C的方程为y2＝2x.‎ 角度三 由中点弦解决对称问题 ‎[典题5]　[2015·浙江卷]已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．‎ ‎[解]　(1)由题意知m≠0，‎ 可设直线AB的方程为y＝－x＋b.‎ 由消去y，得 x2－x＋b2－1＝0.‎ 因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0.①‎ 将线段AB的中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②‎ 由①②得m<－或m>.‎ 故实数m的取值范围为∪.‎ ‎(2)令t＝∈∪，‎ 则|AB|＝·，‎ 且O到直线AB的距离为d＝ .‎ 设△AOB的面积为S(t)，所以 S(t)＝|AB|·d＝ ≤ ，‎ 当且仅当t2＝时等号成立．‎ 故△AOB面积的最大值为.‎ ‎[点石成金]　处理中点弦问题常用的求解方法 ‎(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．‎ ‎(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.‎ ‎[方法技巧]　求解与弦有关问题的两种方法 ‎(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合韦达定理，建立等式关系或不等式关系．‎ ‎(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．‎ ‎[易错防范]　判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点 ‎(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线也相交于一点．‎ ‎(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2013·新课标全国卷Ⅰ]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)‎ A. ＋＝1 B. ＋＝1‎ C. ＋＝1 D. ＋＝1‎ 答案：D 解析：直线AB的斜率k＝＝，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则 ‎①－②，得＝－·.‎ 即k＝－×，‎ ‎∴＝.③‎ 又a2－b2＝c2＝9，④‎ 由③④得a2＝18，b2＝9.‎ ‎∴椭圆E的方程为＋＝1，故选D.‎ ‎2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案：D 解析：易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1) ，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝sin 30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝.‎ ‎3．[2016·江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；‎ ‎②求p的取值范围．‎ ‎(1)解：抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为，‎ 由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．‎ 因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.‎ ‎①证明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)‎ 因为P和Q是抛物线C上的相异两点，‎ 所以y1≠y2，‎ 从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，‎ 化简得p＋2b>0.‎ 方程(*)的两根为y1,2＝－p±，从而y0＝＝－p.‎ 因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.‎ 因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．‎ ‎②解：因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，‎ 所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.‎ 由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，‎ 所以p<.‎ 因此，p的取值范围是.‎ ‎4．[2016·山东卷]平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎①求证：点M在定直线上；‎ ‎②直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．‎ ‎(1)解：由题意知，＝，‎ 可得a2 ＝4b2，‎ 因为抛物线E的焦点F，‎ 所以b＝，a＝1，‎ 所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.‎ ‎(2)①证明：设P(m>0)．‎ 由x2＝2y，可得y′＝x，‎ 所以直线l的斜率为m.‎ 因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，‎ 即y＝mx－.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．‎ 联立方程 得(‎4m2‎＋1)x2－‎4m3‎x＋m4－1＝0.‎ 由Δ>0，得0

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