【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试51圆与方程作业
考点测试51 圆与方程
高考概览
考纲研读
1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程
2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系
3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题
4．初步了解用代数方法处理几何问题的思想
一、基础小题
1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案 A
解析 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知 ＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1．故选A．
2．若点P(1，1)为圆C：(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
答案 D
解析 圆心C(3，0)，kPC＝－，则kMN＝2，所以弦MN所在直线的方程为y－
1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．故选D．
3．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
答案 B
解析 圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为O1(1，0)，半径r1＝1；圆O2：x2＋y2－4y＝0的圆心为O2(0，2)，半径r2＝2．由于1<|O1O2|＝<3，故两圆相交．故选B．
4．经过三点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)的圆的面积是( )
A．π B．2π C．3π D．4π
答案 D
解析 如图，根据A，B，C三点的坐标可以得出AC＝BC＝2，AB＝4，所以AC⊥BC，所以AB为过A，B，C三点的圆的直径，且该圆的圆心坐标为(1，0)，圆的半径为2，所以圆的面积为S＝πR2＝π×22＝4π．故选D．
5．对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上三个选项均有可能
答案 C
解析 直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，又02＋(－1)2－2×0－2＝－1<0，得点A在圆内，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交，故选C．
6．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
0，所以原点在圆外．故选B．
7．若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2，则a的值为( )
A．2 B．±2 C．1 D．±1
答案 B
解析 设圆x2＋y2＝a2的圆心为O，半径r＝|a|，将x2＋y2＝a2与x2＋y2＋ay－6＝0联立，可得a2＋ay－6＝0，即公共弦所在的直线方程为a2＋ay－6＝0，原点O到直线a2＋ay－6＝0的距离为，根据勾股定理可得a2＝3＋2，解得a＝±2．故选B．
8．过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________．
答案 x＋y－3＝0
解析 由题意知，当∠ACB最小时，圆心C(3，4)到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为＝1，所以直线l的斜率为－＝－1，因此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0．
二、高考小题
9．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2，6] B．[4，8]
C．[，3] D．[2，3]
答案 A
解析 ∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴A(－2，0)，B(0，－2)，则|AB|＝2．
∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，圆心为(2，0)，∴圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d1＝＝2，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[，3
]，则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2，6]，故选A．
10．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵cos2θ＋sin2θ＝1，∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2，0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1，0)到直线x＝2的距离即为d的最大值．故选C．
11．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．
答案 2
解析 根据题意，圆的方程可化为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆的圆心为(0，－1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得圆心到直线的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2．
12．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上的第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若·＝0，则点A的横坐标为________．
答案 3
解析 解法一：设A(a，2a)，a>0，则C，a，∴圆C的方程为x－2＋(y－a)2＝＋a2，由得
∴·＝(5－a，－2a)·，2－a＝＋2a2－4a＝0，∴a＝3或a＝－
1，又a>0，∴a＝3，∴点A的横坐标为3．
解法二：由题意易得∠BAD＝45°．设直线DB的倾斜角为θ，则tanθ＝－，∴tan∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3，∴kAB＝－tan∠ABO＝－3．∴AB的方程为y＝－3(x－5)，由得xA＝3．
13．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________．
答案 4
解析 由题意可知直线l过定点(－3，)，该定点在圆x2＋y2＝12上，不妨设点A(－3，)，由于|AB|＝2，r＝2，所以圆心到直线AB的距离为d＝＝3，又由点到直线的距离公式可得d＝＝3，解得m＝－，所以直线l的斜率k＝－m＝，即直线l的倾斜角为30°．
如图，过点C作CH⊥BD，垂足为H，所以|CH|＝2，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝＝4．
14．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
答案 [－5，1]
解析 因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5)．
因为A(－12，0)，B(0，6)，
所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，＝(－x，6－)或＝(－x，6＋)．
因为·≤20，先取P(x， )进行计算，
所以(－12－x)(－x)＋(－)(6－)≤20，即2x＋5≤ ．
当2x＋5≤0，即x≤－时，上式恒成立；
当2x＋5>0，即x>－时，(2x＋5)2≤50－x2，
解得－5≤x≤1，故x≤1．
同理可得P(x，－)时，x≤－5．
又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1．
故点P的横坐标的取值范围为[－5，1]．
设P(x，y)，
则＝(－12－x，－y)，
＝(－x，6－y)．
∵·≤20，
∴(－12－x)(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，
即2x－y＋5≤0．
如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，
∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，
∴点P在上．
由得F点的横坐标为1．
又D点的横坐标为－5，
∴P点的横坐标的取值范围为[－5，1]．
三、模拟小题
15．(2018·合肥质检)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
答案 B
解析 当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有＝1，解得k＝－，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选B．
16．(2018·湖南长沙模拟)已知⊙O：x2＋y2＝1，A(0，－2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B．－∞，－∪，＋∞
C．－∞，－∪，＋∞
D．－，
答案 B
解析 点B在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线，设切线的斜率为k，由点斜式得切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，
由圆心到切线的距离等于半径，得＝1，解得k＝±，∴切线方程为y＝±x－2，和直线y＝2的交点坐标为－，2，，2，
∴要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是－∞，－∪，＋∞．故选B．
17．(2018·广东茂名模拟)若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[2－，1] B．[2－，2＋]
C．， D．[0，＋∞)
答案 B
解析 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，则圆心坐标为(2，2)，半径为3．
由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2可得，圆心到直线l：ax＋by＝0的距离d≤3－2＝，即≤，则a2＋b2＋4ab≤0 ①，若a＝0，则b＝0，不符合题意，故a≠0且b≠0，则①可化为1＋2＋≤0，由于直线l的斜率k＝－，所以1＋2＋≤0可化为1＋2－≤0，解得k∈[2－，2＋ ]，故选B．
18．(2018·天津河西一模)若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________．
答案 8
解析 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，∴|C1C2|＝5．又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8．
19．(2018·湖北八市联考)已知a∈R，直线l1：x＋2y＝a＋2和直线l2：2x－y＝2a－1分别与圆E：(x－a)2＋(y－1)2＝9相交于点A，C和点B，D，则四边形ABCD的面积是________．
答案 18
解析 依题意，圆E的圆心坐标为E(a，1)，发现E∈l1，E∈l2，即直线l1，l2都过圆心，故|AC|＝|BD|＝6．又k1·k2＝－1，即l1⊥l2．故所求面积为×62＝18．
20．(2018·衡阳二模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1：x2＋y2＝9，圆O2：x2＋(y－6)2＝16，在圆O2内存在一定点M，过点M的直线l被圆O1，圆O2截得的弦分别为AB，CD，且＝，则定点M的坐标为________．
答案 0，
解析 当直线l的斜率不存在时，设l：x＝x0，－3＜x0＜3．则|AB|＝2，|CD|＝2，从而有＝2，解得x0＝0，即定点M在圆心O1与O2连线上，且yM∈[2，10]，即M(0，yM)，yM∈[2，10]；当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋b．则|AB|＝2，|CD|＝2，从而有＝2，解得b＝或b＝－18．直线l过定点(0，b)，且点M在圆O2内，故b＝，即M0，．
一、高考大题
1．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8．
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解 (1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝．
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝．
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1．
因此l的方程为y＝x－1．
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5．
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144．
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
解 (1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，
由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4．
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4．
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB，
故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，
x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，
圆M的半径r＝．
由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0．
由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4，
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－．
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，
圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10．
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，
圆M的方程为2＋2＝．
3．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
解 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为
5．
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以00)．
因为圆C经过A，B两点，所以
2＋－b2＝－2＋－b2，
即＋－b＋b2＝＋－b＋b2，解得b＝4．
又易知r2＝2＋－42＝，
所以圆C的方程为x2＋(y－4)2＝．
(2)当直线l的斜率不存在时，由l与C相切得l的方程为x＝±，此时直线l与C1交于P，Q两点，不妨设P点在Q点的上方，
则P，，Q，－或P－，，Q－，－，则·＝0，所以OP⊥OQ，满足题意．
当直线l的斜率存在时，易知其斜率不为0，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将直线l的方程与圆C1的方程联立，得
消去y，整理得(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，
则Δ＝4k2m2－4(1＋k2)(m2－1)＝4(k2－m2＋1)>0，
即1＋k2>m2，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝，
又OP⊥OQ，所以·＝0，
即x1x2＋y1y2＝＋＝0，
故2m2＝1＋k2，满足Δ>0，符合题意．
因为直线l：y＝kx＋m与圆C：x2＋(y－4)2＝相切，
所以圆心C(0，4)到直线l的距离d＝＝，
即m2－8m＋16＝，
故m2－8m＋16＝m2，解得m＝2，
故1＋k2＝2×22，得k＝±．
故直线l的方程为y＝±x＋2．
综上，直线l的方程为x＝±或y＝±x＋2．
