高中数学：含绝对值不等式的解法(含答案)

高中数学：含绝对值不等式的解法(含答案)

含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为 不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用 与 的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义： 是指数轴上点 到原点的距离； 是指数轴上 ， 两点间的距离.。 2、 与 型的不等式的解法。 当 时，不等式 的解集是 不等式 的解集是 ; 当 时，不等式 的解集是 不等式 的解集是 ; 3． 与 型的不等式的解法。 把 看作一个整体时，可化为 与 型的不等式来求解。 当 时，不等式 的解集是 不等式 的解集是 ; 当 时，不等式 的解集是 不等式 的解集是 ; 例 1 解不等式 分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ ” 看着一个整体。答案为 。(解略) （二）、定义法:即利用 去掉绝对值再解。 例 2。解不等式 。 分析:由绝对值的意义知， a≥0， a≤0。 解:原不等式等价于 ＜0 x(x+2)＜0 -2＜x＜0。 ax > ax < x x 21 xx − 1x 2x ax > ax < 0>a >x { }axaxx −<> 或, ax < { }axax <<− 0 { }Rxx ∈ ax < ∅ cbax >+ cbax <+ bax + ax < ax > 0>c cbax >+ { }cbaxcbaxx −<+>+ 或, cbax <+ { }cbaxcx <+<− 0+ { }Rxx ∈ cbxa <+ ∅ 32 <−x 2−x { }51 <<− xx ( 0), 0( 0), ( 0). a a a a a a > = = − < 2 2 x x x x >+ + a a= ⇔ a a= − ⇔ 2 x x + ⇔ ⇔ （三）、平方法:解 型不等式。 例 3、解不等式 。 解:原不等式 (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0 (3x-4)(x-2)<0 。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例 4 解不等式 。 分析:由 ， ，得 和 。 和 把实数集合分成三个区间， 即 ， ， ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。 解:当 x＜-2 时，得 ， 解得： 当-2≤x≤1 时，得 ， 解得： 当 时，得 解得： 综上，原不等式的解集为 。 说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集; (2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意 边界值。 三、几何法：即转化为几何知识求解。 例 5 对任何实数 ，若不等式 恒成立，则实数 k 的取值范围为 ( ) (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D) k≤-3 分析:设 ，则原式对任意实数 x 恒成立的充要条件是 ，于是题转 化为求 的最小值。 解: 、 的几何意义分别为数轴上点 x 到-1 和 2 的距离 - 的几何意义 为数轴上点 x 到-1 与 2 的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B）。 ( ) ( )f x g x> 1 2 3x x− > − ⇔ 2 2( 1) (2 3)x x− > − ⇔ 2 2(2 3) ( 1) 0x x− − − < ⇔ ⇔ ⇔ 4 23 x< < 1 2 5x x− + + < 01 =−x 02 =+x 1=x 2=x 2− 1 2−x 2 ( 1) ( 2) 5 x x x < − − − − + < 23 −<<− x 2 1, ( 1) ( 2) 5 x x x − ≤ ≤ − − + + < 12 ≤≤− x 1>x 1, ( 1) ( 2) 5. x x x >  − + + < 21 << x { }23 <<− xx x 1 2x x k+ − − > 1 2y x x= + − − mink y< y 1x + 2x − 1x + 2x − 四、典型题型 1、解关于 的不等式 解：原不等式等价于 ， 即 ∴ 原不等式的解集为 2、解关于 的不等式 解：原不等式等价于 3、解关于 的不等式 解：原不等式可化为 ∴ 即 解得： ∴ 原不等式的解集为 4、解关于 的不等式 解：⑴ 当 时，即 ，因 ，故原不等式的解集是空 集。 ⑵ 当 时，即 ，原不等式等价于 解得： 综上，当 时，原不等式解集为空集;当 时，不等式解集为 x 10832 <−+ xx 108310 2 <−+<− xx  <−+ −>−+ 1083 1083 2 2 xx xx ⇒  <<− −<−> 36 21 x xx 或 )3,1()2,6( −−−  x 232 1 >−x    <− ≠− 2 132 032 x x ⇒      << ≠ 4 7 4 5 2 3 x x x 212 +<− xx 22 )2()12( +<− xx 0)2()12( 22 <+−− xx 0)13)(3( <+− xx 33 1 <<− x )3,3 1(− x 1212 −<− mx )( Rm∈ 012 ≤−m 2 1≤m 012 ≥−x 012 >−m 2 1>m 1212)12( −<−<−− mxm mxm <<−1 2 1≤m 2 1>m { }mxmx <<−1 5、解关于 的不等式 解：当 时，得 ，无解 当 ，得 ，解得： 当 时，得 ，解得： 综上所述，原不等式的解集为 ， 6、解关于 的不等式 （答案： ） 解： 五、巩固练习 1、设函数 ＝ ;若 ，则 的取值范围 是 . 2、已知 ，若关于 的方程 有实根，则 的取值范围 是 ． 3、不等式 的实数解为 ． 4、解下列不等式 ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ； ⑸ ； ⑹ （ ） 5、若不等式 的解集为 ，则实数 等于 （ ） 6、若 ，则 的解集是（ ） x 1312 ++<−− xxx 3−x    ++<−− > 1312 2 1 xxx x 2 1>x 4 3(− )2 1 x 521 ≥++− xx ),2[]3,( +∞−−∞  )2(,312)( −++−= fxxxf 则 2)( ≤xf x a∈R x 2 1 04x x a a+ + − + = a 12 1 ≥+ + x x 4 3 2 1x x− > + | 2 | | 1|x x− < + | 2 1| | 2 | 4x x+ + − > 4 | 2 3| 7x< − ≤ 241 <−−x aax <−2 a R∈ 62 <+ax ( )1,2− a .A 8 .B 2 .C 4− .D 8− x R∈ ( )( )1 1 0x x− + > 且 且 7、 对任意实数 ， 恒成立，则 的取值范围是 ； 对任意实数 ， 恒成立，则 的取值范围是 ； 若关于 的不等式 的解集不是空集，则 的取值范围是 ； 8、不等式 的解集为（ ） 9、解不等式： 10、方程 的解集为 ，不等式 的解集是 ； 12、不等式 的解集是（ ） 11、不等式 的解集是 12、 已知不等式 的解集为 ，求 的值 13、解关于 的不等式：①解关于 的不等式 ；② 14、不等式 的解集为（ ）. 　　 　　 　　 15、 设集合 ， ，则 等于 ( ) 16、不等式 的解集是 ． 17、设全集 ，解关于 的不等式： （参考答案） 1、 6 ； ； 2、 3、 .A { }0 1x x≤ < .B { 0x x < 1}x ≠ − .C { }1 1x x− < < .D { 1x x < 1}x ≠ − ( )1 x | 1| | 2 |x x a+ + − > a ( )2 x | 1| | 3|x x a− − + < a ( )3 x | 4 | | 3|x x a− + + < a xx 3102 ≤− .A { }| 2 10x x≤ ≤ .B { }| 2 5x x− ≤ ≤ .C { }| 2 5x x≤ ≤ .D { }| 10 5x x≤ ≤ 221 >−+− xx xx x xx x 3 2 3 2 22 + +=+ + x x x x −>− 22 x 0)21( >− x .A )2 1,(−∞ .B )2 1,0()0,( −∞ .C ),2 1( +∞ .D )2 1,0( 3 5 2 9x≤ − < .A ( ) ( ), 2 7,−∞ − +∞ .B [ ]1,4 .C [ ] [ ]2,1 4,7−  .D ( ] [ )2,1 4,7−  ax ≤− 2 )0( >a { }cxRx <<−∈ 1| ca 2+ x x 31 <−mx ax <−+ 132 )( Ra ∈ 1 | 1| 3x< + < .A (0,2) .B ( 2,0) (2,4)−  .C ( 4,0)− .D ( 4, 2) (0,2)− − { }2 2,A x x x R= − ≤ ∈ { }21,2 ≤≤−−== xxyyB ( )RC A B .A R .B { }, 0x x R x∈ ≠ .C { }0 .D ∅ 2 1 1x x− − < U R= x 1 1 0x a− + − > ( )x R∈ ∅ ]4,0[ )2 3,2()2,( −−−−∞  4、⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 当 时， ；当 时，不等式的解集为 5、C 6、D 7、⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； 8、C 9、 10、 ； 11、D 12、 15 13、① 当 时， ；当 时， ；当 时， ② 当 ，即 时，不等式的解集为 ； 当 ，即 时，不等式的解集为 ； 14、D 15、B 16、 ， 17、当 ，即 时，不等式的解集为 ； 当 ，即 时，不等式的解集为 ； 当 ，即 时，不等式的解集为 ；   >< 23 1 xxx 或   > 2 1xx   >−< 12 1 xxx 或   ≤<−<≤− 52 7 2 12 xxx 或 { }7315 <<−<<− xxx 或 0>a { }axax 22 <<− 0≤a ∅ 3a 7>a   >< 2 5 2 1 xaxx 或 { }023 >≤<− xxx 或 { }02 <> xxx 或 0=m Rx∈ 0>m mxm 42 <<− 0+a 1−>a   −<<− 122 axax 01≤+a 1−≤a ∅ 0( )2 01 >− a 1< 2或 01 =− a 1=a { }1≠xx 01 <− a 1>a R