2013-2017高考数学分类汇编-文科 第二章 函数 第6节 函数的图像及应用

2013-2017高考数学分类汇编-文科 第二章 函数 第6节 函数的图像及应用

第二章 函数 第 6 节 函数的图像及应用 题型 30 识图（知式选图、知图选式） 1. （2013 山东文 9） 函数 的图象大致为（ ）. 1.分析 结合给出的函数图象，代入特殊值，利用排除法求解. 解析 当 时， ，排除 C. 当 时， ，排除 B；或利用 为奇函数，图象关于原点对称， 排除 B. 当 时， ，排除 A.故选 D. 2．(2013 福建文 5）函数 （ ）. 2.分析 根据函数图象上的特殊点及奇偶性，利用排除法判断. 解析 ，当 时， ，即 过点 ，排 除 B，D. 因为 ，所以 是偶函数，其图象关于 轴 对称，故选 A. 3.（2013 湖北文 5）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后 π ππ π DCBA xO y O x yy xOO x y cos siny x x x= + x π= 2 1 0y = > x π= − 2 1y = − cos siny x x x= + x = π 0y = −π < ( ) ( )2ln 1f x x= + 的图像大致是 ( ) ( )2ln +1f x x x= ∈R， 0x = ( )0 ln1 0f = = ( )f x ( )0,0 ( ) ( ) ( ) ( )2 2ln 1 ln 1f x x x f x − = − + = + =  ( )f x y 为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是（ ）. 3.分析 先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断. 解析 距学校的距离应该逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时 距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故选 C. 4. （2013 江西文 10） 如图.已知 ，圆心在 上、半径为 的圆 在 时与 相 切 于 点 ， 圆 沿 以 的 速 度 匀 速 向 上 移 动 ， 圆 被 直 线 所 截 上 方 圆 弧 长记为 ，令 ，则 与时间 （ ，单位： ）的函数 的图像大致 为（ ）. 4.分析 通过圆心角 将弧长 与时间 联系起来. 解析 圆半径为 ，设弧长 所对的圆心角为 ，则 ，如图所示， ，即 距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 A． B．C． D．时间 时间时间 时间O OO O 距学校的距离 1 2l l⊥ 1l 1m O 0t = 2l A O 1l 1m / s 2l x cosy x= y t 0 x 1  s ( )y f t= α x t 1 x α xα = cos 12 t α = − ，则 .其图象为开口向 上，在 上的一段抛物线.故选 B. 5. (2013 浙江文 8）已知函数 的图像是下列四个图像之一，且其导函数 的图像如右图所示，则该函数的图像是（ ）. 5.分析 根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况. 解析 从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小， 时最大，所以函数 的 图象的变化率也先增大后减小，在 时变化率最大.A 项，在 时变化率最小，故错 误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误.B 项正确. 故选 B. 6.（2014 浙江文 8）在同一直角坐标系中，函数 ， 的图像可 能是（ ）. cos 12 x t= − ( ) ( ) ( )2 22cos 2cos 1 2 1 1 2 1 1 0 12 xy x t t t= = − = − − = − − ≤ ≤ [ ]0,1 ( )y f x= ( )'y f x= 0x = ( )f x 0x = 0x = ( ) ( )0af x x x= > ( ) logag x x= O 1-1 x y D.C.B.A. O 1-1 x yy x-1 1OO 1-1 x yy x-1 1O α 2 1-t l1 1 l2 7.（2014 福建文 8）若函数 的图像如图所示，则下列函数图像 正确的是（ ）. 8.（2014 江西文 10）在同一平面直角坐标系中，函数 的图像不可能的是（ ）. 9.（2014 福建文 12）在平面直角坐标系中，两点 ， 间的“ 距离” 定义为 则平面内与 轴上两个不同的定点 的“ 距离”之和 等于定值（大于 ）的点的轨迹可以是（ ）. 10.（2016 全国乙文 9）函数 在 的图像大致为（ ）. A. B. C. D. 10. D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项. 解析 设 ，由 ，可排除 A（小于 ），B（从趋势上 超过 ）； 1111 1 OO OO yyyy xxxx logay x= ( )0, 1a a> ≠且 xyO xyO xyO xyOA. B. C.113 xy a−= 1 1 ay x= 11 D. -1-3( )ay x= − ( )logay x= − 2 2 3 22 ( )2 ay ax x y a x ax x a a= − + = − + + ∈R与 xyO xyO xyO xyOA. B. C. D. ( )1 1 1P x y， ( )2 2 2P x y， L− 1 2 1 2 1 2PP x x y y= − + − x 1 2,F F L− 1 2F F xyO y1F xO xO xOA. B. C. D.2F 1F 2F 1F 2F 1F 2Fy y 22 e xy x= − [ ]2,2− ( ) 22 e xf x x= − ( ) ( )22 8 e 0,1f = − ∈ 0 1 -2 2 1 O x y -2 2 1 O x y -2 2 1 O x y -2 2 1 O x y xyO1 3logay x= 又 时， ， ，所以 在 上不 是单调函数，排除 C.故选 D. 评 注 排 除 B 选 项 的 完 整 论 述 ， 设 = ， 则 . 由 ， ，可知存在 使得 且 时 ，所以 在 是减函数，即 时 切线斜率随 的增大而减小，排除 B. 11.（2016 浙江文 3）函数 的图像是（ ）. A. B. C. D. 11. D 解析 易知 为偶函数，所以它的图像关于 轴对称，排除 A，C 选项；当 ，即 时， ，排除 B 选项，故选 D. 12.（2017 全国 1 文 8）函数 的部分图像大致为（ ）. 12.解析 由题意知， ，所以 的图像关于直线 对称，选项 C 正确，选项 D 错误，又 ，在 上 单调递增，在 上单调递减，选项 A，B 错误.故选 C. ( )0,2x∈ ( ) 4 exf x x′ = − ( ) ( ) ( )0 1 4 e 0f f′ ′⋅ = − − < ( )f x ( )0,1 ( )g x ( )f x′ ( ) 4 exg x′ = − ( )1 0g′ > ( )2 0g′ < ( )0 1,2x ∈ ( )0 0g x′ = ( )0 ,2x x∈ ( ) 0g x′ < ( )f x′ ( )0 ,2x ( )0 ,2x x∈ ( )f x x 2siny x= 2siny x= y 2 π 2x = π 2x = ± max 1y = sin 2 1 cos xy x = − (2 ) ln(2 ) ln ( )f x x x f x− = − + = ( )f x 1x = ( ) 1 1 2(1 ) (0 2)2 (2 ) xf x xx x x x −′ = − = < <− − (0,1) [ )1,2 A. x y 1 1 π-π O x y 1 1 π-π O B. C. x y 1 1 π-π O D. O-π π1 1 y x 1 x y π 2 - π 2 OO - π 2 π 2 y x 11 x y π 2- π 2 O 1 π 2- π 2 O y x 13.（2017 全国 3 文 7）函数 的部分图像大致为（ ）. A． B． C． D． 13.解析 令 ，则有 ，所以排选项 A，C；又当 时， ， ，所以排除选项 B.故选 D. 评注 函数的解析式与图形表示问题是高考的一个必考点，此类问题大多围绕函数的性质来 考查，只要方法正确，一般不太会出错.解题时一般用特例+排除法可以快速求解. 题型 31 作函数的图像 ——暂无 题型 32 函数图像的应用 一、求方程根的个数、函数零点的个数、函数图像交点的个数问题或已知方程根的个数及 函数零点的个数、函数图像交点的个数，求参数的取值范围问题. 二、求解函数的零点所在的区间或利用函数图像特征研究函数零点的整体性质 三、利用函数的零点确定参数的取值范围 四、解函数不等式 五、利用函数图像求函数的最值 1. (2013 湖南文 6）函数 的图像与函数 的图像的交点个数为 （ ）. A. B. C. D. 1.分析 作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解. 解析 ，在同一平面直角坐标系内画出函 数 与 的图象（如图所示）.由图可得两个函数 2 sin1 xy x x = + + 1x = ( )1 1 1 sin1 2f = + + > x → +∞ sin 0x x → y → +∞ ( )f x x= ln ( ) 2 4 4g x x x= − + 0 1 2 3 ( ) ( )22 4 4 2g x x x x= − + = − ( ) lnf x x= ( ) ( )22g x x= − g(x)=(x-2)2 f(x)=lnx 2 4 6 54321O x y 的图象有 个交点.故选 C. 2. （2013 湖北文 8） 为实数， 表示不超过 的最大整数，则函数 在 上为（ ）. A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数 2.分析 首先理解题意，画出函数的图象. 解析 函数的图象（图象略）在两个整数之间都是斜率为 的线段（不含终点），故选 D. 3. (2013 安徽文 8）函数 的图象如图所示，在区间 上可找到 个不 同的数 ，使得 ， 则 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 3. 解析 同理科卷 8 题.答案 B. 4. (2013 安徽文 10）已知函数 有两个极值点 ，若 关 于 的方程 的不同实根个数是（ ）. A. B. C. D. 4. 分析 先求给定函数的导函数，由极值点的定义及题意，得出 或 ， 再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数. 解析 因为 ，函数 的两个极值点为 ，则 ， ， 所 以 ， 是 方 程 的 两 根 ， 所 以 解 关 于 的 方 程 ，得 或 .由上述可知函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，又 ，如图所 示，由数形结合可知 时有两个不同实根， 有一个实根，所以不同实根 的个数为 .故选 A. 2 x [ ]x x ( ) [ ]f x x x= − R 1 ( )y f x= [ ]a b， ( )2n n≥ 1 2 nx x x， ， ， ( ) ( ) ( )1 2 1 2 n n f x f x f x x x x = = = n { }2 3， { }2 3 4，， { }3 4， { }3 4 5，， ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + 1 2x x， ( )1f x x ( )( ) ( )23 2 0f x af x b+ + = 3 4 5 6 ( ) 1f x x= ( ) 2f x x= ( ) 23 2f x x ax b′ = + + ( )f x 1 2,x x ( )1 0f x′ = ( )2 0f x′ = 1x 2x 23 2 0x ax b+ + = x ( )( ) ( )2 3 2 0f x af x b+ + = ( ) 1f x x= ( ) 2f x x= ( )f x ( ) ( )1 2, , ,x x−∞ +∞ ( )1 2,x x ( )1 1f x x= < 2x ( ) 1f x x= ( ) 2f x x= 3 O ba x y xyO1 3logay x= 5．(2013 福建文 12）设函数 的定义域为 ， 的极大值点，以下结 论一定正确的是（ ）. A． B． 是 的极小值点 C． 是 的极小值点 D． 是 的极小值点 5. 分析 不妨取函数 ，则 ，易判断 为 的极大值点，但显然 不是最大值，故排除 A. 解析 因为 ，易知， 为 的极 大值点，故排除 B； 又 ，易知， 为 的极大值 点，故排除 C； 因为 的图象与 的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得 应为函数 的极小值点.故 D 正确. 6. （2013 四川文 10） 设函数 （ ， 为自然对数的底数），若存 在 使 成立，则 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 6.分析 由 得 ， 都在 的图象上为突破口解 决. 解析 若存在 使 成立，则 ， 都在 的图象上. ( )f x R ( ) ( )0 0 0x x f x≠ 是 ( ) ( )0,x f x f x∀ ∈R  0x− ( )f x− 0x− ( )f x− 0x− ( )f x− − ( ) 3 3f x x x= − ( ) ( )( )3 1 1f x x x′ = − + 0 1x = − ( )f x ( )0f x ( ) ( ) ( )( )3 3 , 3 1 1f x x x f x x x′− = − + − = − + − 0 1x− = ( )f x− ( ) ( ) ( )( )3 3 , 3 1 1f x x x f x x x′− = − + − = − + −   0 1x− = ( )f x− − ( )f x− − ( )f x 0x− ( )f x− − ( ) exf x x a= + − a∈R e [ ]01b∈ ， ( )( )f f b b= a [ ]1 e， [ ]11 e+， [ ]e 1 e+， [ ]01， ( )( )f f b b= ( )( ),A b f b ( )( ),A f b b′ ( )y f x= [ ]0,1b∈ ( )( )f f b b= ( )( ),A b f b ( )( ),A f b b′ ( )y f x= x2 x1 x2 x1 y xO 又 在 上 单 调 递 增 ， 所 以 ， 即 ，所以 ，所以 . 所 以 在 上 有 解 ， 即 在 上 有 解 ， 所 以 ， .令 ， ，则 ， ，所以 在 上单调递增，又 ，所以 ，即 ， 故选 A. 7. (2013 安徽文 14）定义在 上的函数 满足 .若当 时， ，则当 时， . 7.分析 由于当 时解析式已知，且已知 可设 则 整体代入求解. 解析 设 则 所以 . 又因为 所以 . 8.（2013 江苏 13）在平面直角坐标系 中，设定点 ， 是函数 （ ） 图象上一动点，若点 之间的最短距离为 ，则满足条件的实数 的所有值为 . 8.分析 设出 点坐标，然后将 表示为 点坐标的函数，通过换元求出 的最小值， 结合已知条件即可求得 的值. 依题意可设 ， . 令 ，则 且 . 若 ，则当 时， 取最小值 ，令 ，解得 ； 若 ， 则 当 时 ， 取 最 小 值 ， 令 ( ) exf x x a= + − [ ]0,1 ( )( ) 0A A A Ax x y y′ ′− − ≥ ( )( ) ( )( ) 0f b b b f b− − ≥ ( )( )2 0f b b− ≤ ( )f b b= ( )f x x= [ ]0,1x∈ ex x a x+ − = [ ]0,1 2exa x x= + − [ ]0,1x∈ ( ) 2exx x xϕ = + − [ ]0,1x∈ ( ) e 1 2 0xx xϕ′ = + − ≥ [ ]0,1x∈ ( )xϕ [ ]0,1 ( ) ( )0 1, 1 eϕ ϕ= = ( ) [ ]1,exϕ ∈ [ ]1,ea∈ R ( )f x ( ) ( )1 2f x f x+ = 0 1x≤ ≤ ( ) ( )1f x x x= − 1 0x− ≤ ≤ ( )f x = 0 1x≤ ≤ ( ) ( )1 2 ,f x f x+ = 1 0,x− ≤ ≤ 0 1 1,x +≤ ≤ 1 0,x− ≤ ≤ 0 1 1,x +≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1f x x x x x+ = + − + = − +   ( ) ( )1 2 ,f x f x+ = ( ) ( ) ( )1 1 2 2 f x x xf x + += = − xOy ),( aaA P xy 1= 0>x AP， 22 a P PA P PA a ( )1, 0P x xx      > ( ) 2 2 2 1PA x a ax  = − + −   2 2 2 1 12 2x a x ax x  = + − + +   1x tx + = 2t ≥ 2 2 22 2 2PA t at a= − − + ( )2 2 2t a a= − + − 2a≥ t a= 2PA 2 2a − ( )22 2 2 2a − = ( )10 10a a= = − 舍去 2a < 2t = 2PA 22 4 2a a− + ，解得 . 综上，满足条件的所有 的值为 和 . 9.（2014 新课标Ⅰ文 12）已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 10.（2014 重庆文 10）已知函数 内有且仅有两个不同的零 点，则实数 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 11.（2014 湖北文 9）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， . 则函 数 的零点的集合为（ ）. A. B. C. D. 12. （ 2014 江 西 文 4 ） 已 知 函 数 ， 若 ， 则 （ ）. A. B. C. D. 13. （2014 安徽文 9）若函数 的最小值 ，则实数 a 的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 13. 分析 本题考查绝对值函数的最值. 解析 依几何性质得，当 时， 取得最小值， ， 解得 或 .故选 D. ( )222 4 2 2 2a a− + = 1a = − ( )3a = 舍去 a 1− 10 3 2( ) 3 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x > a (2, )+∞ (1, )+∞ ( , 2)−∞ − ( , 1)−∞ − 1 3 ( 10]( ) ( ) ( ) 11]1 (01] xf x g x f x mx mx x x  − ∈ −= = − − −+  ∈ ， ，，且 在（ ， ， ， m 9 1( 2] (0 ]4 2 − − ， ， 11 1( 2] (0 ]4 2 − − ， ， 9 2( 2] (0 ]4 3 − − ， ， 11 2( 2] (0 ]4 3 − − ， ， ( )f x R 0x ( ) 2= 3f x x x− ( ) ( ) + 3g x f x x= − { }1 , 3 { }3, 1,1, 3− − { }2 7 ,1, 3− { }2 7 , 1, 3− − 2 , 0( ) ( ) 2 , 0 x x a xf x a x−  ⋅= ∈ < R≥ [ ( 1)] 1f f − = =a 1 4 1 2 1 2 ( ) 1 2f x x x a= + + + 3 5 8 1− 5 1− 4− 4− 8 2 ax = − ( )f x 1 32 2 2 a a ax f  = − − = − + =   4a = − 8 14.（2014 北京文 6）已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间 是（ ）. A. B. C. D. 14. 解 析 因 为 ， ， ， ， 所 以 包 含 零 点 的 区 间 是 ，故选 C. 15.（2014 湖北文 9）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， . 则函 数 的零点的集合为（ ）. A. B. C. D. 16.（2014 新课标Ⅰ文 12）已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 17.（2014 浙江文 10）如图所示，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击 训练. 已知点 到墙面的距离为 ，某目标点 沿墙面上的射线 移动，此人为了准 确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小（仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所 成角）.若 ，则 的最大值是（ ）. A． B． C． D． 18.（2014 江苏 10）已知函数 ，若对于任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围是 ． 19. （ 2014 江 苏 13 ） 已 知 是 定 义 在 上 且 周 期 为 的 函 数 ， 当 时 ， ．若函数 在区间 上有 个零点（互不相同），则 ( ) 2 6 logf x xx = − ( )f x ( )0,1 ( )1,2 ( )2,4 ( )4,+∞ ( ) 21 6 log 1 6 0f = − = > ( ) 22 3 log 2 2 0f = − = > ( ) 23 2 log 3 0f = − > ( ) 2 6 34 log 4 2 04 2f = − = − < ( )f x ( )2,4 ( )f x R 0x ( ) 2= 3f x x x− ( ) ( ) + 3g x f x x= − { }1 , 3 { }3, 1,1, 3− − { }2 7 ,1, 3− { }2 7 , 1, 3− − 3 2( ) 3 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x > a (2, )+∞ (1, )+∞ ( , 2)−∞ − ( , 1)−∞ − ABC A A AB P CM P A P θ θ 15m, 25m, 30AB AC BCM= = ∠ =  tanθ 30 5 30 10 4 3 9 5 3 9 ( ) 2 1f x x mx= + − [ ], 1x m m∈ + ( ) 0f x < m ( )f x R 3 [ )0,3x ∈ ( ) 2 12 2f x x x= − + ( )y f x a= − [ ]3,4− 10 P M C B A 实数 的取值范围是 ． 20．（2014 湖北文 15）如图所示，函数 的图像由两条射线和三条线段组成． 若 ， ，则正实数 的取值范围为　　　　． 21.（2014 新课标Ⅰ文 15）设函数 ，则使得 成立的 的取值 范围是 . 22.（2014 福建文 15）函数 的零点个数是 . 23. （2014 天津文 14）已知函数 ，若函数 恰 有 个零点，则实数 的取值范围为_______. 24.（2014 江苏 19）已知函数 ，其中 是自然对数的底数． （1）求证： 是 上的偶函数； （2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围； （3）已知正数 满足：存在 ，使得 成立．试比较 与 的大小，并证明你的结论． 25.（2014 重庆文 19）（本小题满分 12 分） 已知函数 ，其中 ，且曲线 在点 处的切线垂 直于直线 . （1）求 的值； （2）求函数 的单调区间和极值. 26．（2014 安徽文 20）（本小题满分 13 分） a ( )y f x= x∀ ∈R ( ) ( )> 1f x f x − a 1 1 3 e , 1 ( ) , 1 x x f x x x − <=   ≥ ( ) 2f x ≤ x ( ) 2 2 0 2 6 ln 0 x xf x x x x  −=  − + > ≤， ， ( ) 2 5 4 , 0 2 2 , 0 x x x f x x x  + +=  − >  ( )y f x a x= − 4 a ( ) e ex xf x −= + e ( )f x R x ( ) e 1xmf x m− + −≤ ( )0,+∞ m a [ )0 1,x ∈ +∞ ( ) ( )3 0 0 03f x a x x< − + 1ea− e 1a − 2 3ln4)( −−+= xx axxf a∈R )(xfy = (1 (1))f， xy 2 1= a )(xf 第 15 图 O ( )y f x= y xa−2a−3a− a 2a 3a a a− 设函数 ，其中 . （1）讨论 在其定义域上的单调性； （2）当 时，求 取得最大值和最小值时的 的值. 26. 解析 （1） 的定义域为 ， .令 ，得 ， ， ，所以 . 当 或 时 ， ； 当 时 ， . 故 在 和 内单调递减，在 内单调递增. （2）因为 ，所以 ， . （i）当 时， ，由（I）知， 在 上单调递增，所以 在 和 处分别取得最小值和最大值. （ii）当 时， .由（I）知， 在 上单调递增，在 上单调递减， 因 此 在 处 取 得 最 大 值 . 又 ， ， 所 以 当 时， 在 处取得最小值；当 时， 在 和 处取得最小 值；当 时， 在 处取得最小值； 评注 本题考查利用导数求函数的单调区间和最大（小）值，同时考查分类讨论的思想，分 类讨论的关键是确定分类的标准. 27.（2014 江西文 18）（本小题满分 12 分） 已知函数 ，其中 . （1）当 时，求 的单调递增区间； （2）若 在区间 上的最小值为 ，求 的值. 28.（2014 四川文 19）(本小题满分 12 分) 设等差数列 的公差为 ，点 在函数 的图像上 . （1）求证：数列 为等比数列； 2 3( ) 1 (1 )f x a x x x= + + − − 0a > ( )f x [0,1]x∈ ( )f x x ( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) 21 2 3f x a x x′ = + − − ( ) 0f x′ = 1 1 4 3 3 ax − − += 2 1 4 3 3 ax − + += 1 2x x< ( ) ( )( )1 23f x x x x x′ = − − − 1x x< 2x x> ( ) 0f x′ < 1 2x x x< < ( ) 0f x′ > ( )f x ( )1, x−∞ ( )2 ,x +∞ ( )1 2,x x 0a > 1 0x < 2 0x > 4a  2 1x  ( )f x [ ]0,1 ( )f x 0x = 1x = 0 4a< < 2 1x < ( )f x [ ]20, x [ ]2 ,1x ( )f x 2 1 4 3 3 ax x − + += = ( )0 1f = ( )1f a= 0 1a< < ( )f x 1x = 1a = ( )f x 0x = 1x = 0 4a< < ( )f x 0x = xaaxxxf )44()( 22 ++= 0 ( )f x [ ]1,1− ( )g a ( )g a [ ]1,1x∈ − ( ) ( ) 4f x g a + 3( ) 2 3f x x x= − ( )f x [ 21]− ， (1 )P t， ( )y f x= ( 1 2) (210) (0 2)A B C− ，， ， ， ， ( )y f x= ( ) 32 3f x x x= − ( ) 26 3f x x′ = − ( ) 0f x′ = 2 2x = − 2 2x = ( )2 10f − = − 2 22f  − =    2 22f   = −    ( )1 1f = − ( )f x [ ]2,1− 2 22f  − =    ( )1,P t ( )y f x= ( )0 0,x y 3 0 0 02 3y x x= − 2 06 3k x= − ( )( )2 0 0 06 3y y x x x− = − − ( )( )2 0 0 06 3 1t y x x− = − − 3 2 0 04 6 3 0x x t− + + = ( ) 3 24 6 3g x x x t= − + + ( )1,P t ( )y f x= ( )g x ( ) ( )212 12 12 1g x x x x x′ = − = − ( )g x ( )g x′ 所以， 是 的极大值， 是 的极小值. 当 ，即 ，此时 在区间 和 上分别至多有 1 个零 点，所以 至多有 2 个零点. 当 ，即 时，此时 在区间 和 上分别至多有 1 个零 点，所以 至多有 2 个零点. 当 且 ，即 时，因为 ， ， 所以 分别在区间 ， 和 上恰有 1 个零点.由于 在区间 和 上单调，所以 分别在区间 和 上恰有 1 个零点. 综上可知，当过点 存在 3 条直线与曲线 相切时， 的取值范围是 . （III）过点 存在 3 条直线与曲线 相切；过点 存在 2 条直线与曲 线 相切；过点 存在 1 条直线与曲线 相切. 评注 本题主要考查导数的几何意义、导数的应用及函数方程问题，考查学生运用导数研究 函数性质的能力，考查了函数与方程，等价转化等思想方法. 31.（2014 大纲文 21）（本小题满分 12 分） 函数 . （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）若 在区间 是增函数，求 a 的取值范围. 32.（2014 福建文 22）（本小题满分 12 分） 已知函数 （ 为常数）的图像与 轴交于点 ，曲线 在点 处 x ( ),0−∞ 0 ( )0,1 1 ( )1,+∞ ( )g x′ + 0 − 0 + ( )g x  3t +  1t +  ( )0 3g t= + ( )g x ( )1 1g t= + ( )g x ( )0 3 0g t= +  3t − ( )g x ( ],1−∞ ( )1,+∞ ( )g x ( )1 1 0g t= +  1t − ( )g x ( ),0−∞ [ )0,+∞ ( )g x ( )0 0g > ( )1 0g < 3 1t− < < − ( )1 7 0g t− = − < ( )2 11 0g t= + > ( )g x [ )1,0− [ )0,1 [ )1,2 ( )g x ( ),0−∞ ( )1,+∞ ( )g x ( ),0−∞ [ )1,+∞ ( )1,P t ( )y f x= t ( )3, 1− − ( )1,2A − ( )y f x= ( )2,10B ( )y f x= ( )0,2C ( )y f x= 3 2( ) +3 3 ( 0)f x ax x x a= + ≠ ( )f x ( )f x (1 2)， ( ) exf x ax= − a y A ( )y f x= A 的切线斜率为 . （1）求 的值及函数 的极值； （2）求证：当 时， ; （3）求证：对任意给定的正数 ，总存在 ，使得当 时，恒有 33. （2014 广东文 21）(本小题满分 14 分) 已知函数 . （1） 求函数 的单调区间； （2） 当 时，试讨论是否存在 ，使得 . 34.（2014 天津文 19）（本小题满分 14 分） 已知函数 . （1）求 的单调区间和极值； （2）若对于任意的 ，都存在 ，使得 ，求 的取 值范围. 35．（2014 湖北文 21）（本小题满分 14 分） 为圆周率， 为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）求 ， ， ， ， ， 这 个数中的最大数与最小数. 36.（2014 四川文 21）(本小题满分 14 分) 已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数. （1）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值； （2）若 ，函数 在区间 内有零点，求证： . 37.（2014 新课标Ⅰ文 21）（本小题满分 12 分） 设函数 ，曲线 在点 处的切线斜率 为 . （1）求 ； 1− a ( )f x 0x > 2 exx < c 0x 0( , )x x∈ +∞ exx c< ( ) ( )3 21 13f x x x ax a= + + + ∈R ( )f x 0a < 0 1 10, ,12 2x    ∈       ( )0 1 2f x f  =    ( ) ( )2 32 0 ,3f x x ax a x= − > ∈R ( )f x ( )1 2,x ∈ +∞ ( )2 1,x ∈ +∞ ( ) ( )1 2 1f x f x⋅ = a π e 2.718 28=  ( ) ln xf x x = 3e e3 πe eπ π3 3π 6 ( ) 2e 1xf x ax bx= − − − ,a b ∈ R e 2.71828= ⋅⋅⋅ ( )g x ( )f x ( )g x [ ]0,1 ( )1 0f = ( )f x ( )0,1 e 2 1a− < < ( ) 21ln 2 af x a x x bx −= + − ( )1a ≠ ( )y f x= ( )( )1, 1f 0 b （2）若存在 ，使得 ，求 的取值范围. 38. （2014 新课标Ⅱ文 21）（本小题满分 12 分） 已知函数 ，曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐 标为 . （1）求 ； （2）求证：当 时，曲线 与直线 只有一个交点. 39.（2014 陕西文 21）（本小题满分 14 分） 设函数 . （1）当 （e 为自然对数的底数）时，求 的极小值； （2）讨论函数 零点的个数； （3）若对任意 ， 恒成立，求 m 的取值范围. 40.（2015 天津文 8）已知函数 ，函数 ， 则函数 的零点的个数为（ ）. A. 2 B. 3 C.4 D.5 40. 解析 当 时， ，此时方程 的小于零的零 点为 ； 当 时， ，方程 无零点； 当 时， ，方程 大于 零点有一个.故选 A. 评注 函数与方程. 41.（2015 江苏 13）已知函数 ， ，则方程 实根的个数为 ． 0 1x ≥ ( )0 1 af x a < − a ( ) 3 23 2f x x x ax= − + + ( )y f x= ( )0,2 x 2− a 1k < ( )y f x= 2y kx= − ( ) ln mf x x mx = + ∈R， em = ( )f x ( ) ( ) 3 xg x f x′= − 0b a> > ( ) ( ) 1f b f a b a − <− ( ) ( )2 2 , 2, 2 , 2, x x f x x x  −=  − >  ( ) ( )3 2g x f x= − − ( ) ( )y f x g x= − 0x < ( ) 22f x x− = ( ) ( ) 21f x g x x x− = − − + 1 5 2x += − 0 2x  ( )2 2 2f x x x− = − − = ( ) ( ) 2 2f x g x x x− = − + = 2x > ( )2 2 2 4f x x x− = − − = − ( ) ( ) ( )2 22 7 3 3f x g x x x x x− = − + − = − − 2 ( ) lnf x x= ( ) 2 0, 0 1 4 2, 1 x g x x x <=  − − >  ( ) ( ) 1f x g x+ = 41. 解析 解法一（逐步去绝对值）： 当 时， ， 故 ， （舍）或 ，即在 上有一解为 ． 当 时， ，故 ， ， ①当 时， ， 不妨设 ， 对 恒成立， 故 单调递减， ， ， 根据绝对值函数的性质分析，在 上有一解； ②当 时， ， 不妨设 ，则 对 恒成立， 故 单调递增， ，又 ， 根据绝对值函数的性质分析，在 上有两解． 综上所述：方程 实根的个数为 ． 解法二（直接去绝对值）：设 ， 则 ，下仿照解法一分析． 或者通过分析 的解亦可． 解法三（图像转化）：因为 ， 所以 ，从而 ， 即 或 ． 先分别画出 与 的图形，如图所示： 得 到 图 形 中 弯 折 、端 点 部 位 的 具 体 值 ，然 后 分 别 研 究 1 0 1x<  ( ) ( )f x g x+ = ln 0 ln 1x x+ = = ln 1x = ± ex = 1 ex = ( ]0,1 1 ex = 2° 1x > ln 0x > ( ) ln lnf x x x= = ( ) ( ) 2ln 4 2 1f x g x x x+ = + − − = 1 2x< < 2ln 2 1x x− + = ( ) 2ln 2h x x x= − + ( ) 21 1 2' 2 0xh x xx x −= − = < ( )1, 2x ∈ ( )h x ( ) ( )min 2 ln 2 2 ln 2 1 1 1h x h= = − = − − < − ( ) ( )max 1 1h x h= = ( )1, 2x ∈ 2x  2ln 6 1x x+ − = ( ) 2ln 6m x x x= + − ( ) 1' 2 0m x xx = + > [ )2,x ∈ +∞ ( )m x ( ) ( )min 2 ln 2 2 ln 2 1 1 1h x h= = − = − − < − ( )6 12e e 1m = > [ )2,x ∈ +∞ ( ) ( ) 1f x g x+ = 4 ( ) ( ) ( )h x f x g x= + ( ) 2 2 ln , 0 1 ln 2 , 1 2 ln 6 2 x x h x x x x x x x − < = + − < <  + −   ( ) 1h x = ± ( ) ( ) 1f x g x+ = ( ) ( ) 1f x g x+ = ± ( ) ( )1g x f x= ± − ( ) ( )1g x f x= − ( ) ( )1g x f x= − − ( )f x ( )g x x y -1 -2 -3 -1 6541 2 3 4 32 1 f(x) g(x) O 与 的图像，如下图所示（绿色点表示交点），易见共有 个交点． 图形分析 图形分析 评注 本题考查函数的零点，函数的零点问题一般从函数的零点、方程的根、图像的交点角 度解决，从方程的角度分析此题侧重去绝对值的步步考查，从函数的零点分析此题侧重对图 像中部分点的精确取值．同样的零点求解问题，此题难度明显高于去年． 42.（2015 安徽文 14） 在平面直角坐标系 中，若直线 与函数 的图 像只有一个交点，则 的值为 . 42. 解 析 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 ， 作 出 与 的大致图像，如图所示. 由题意，可知 ，所以 . 评注 考查函数与方程. 43.（2015 湖南文 14）若函数 有两个零点， 则实数 的取值范围是 . 43.解析 由函数 有两个零点， 从而可得函数 与函数 的图像有两个 交点，函数 的图像如图所示， 结合函数的图像可得，当 时符合条件. 44. （ 2016 全 国 甲 文 12 ） 已 知 函 数 满 足 ， 若 函 数 ( ) ( )1g x f x= − ( ) ( )1g x f x= − − 4 ( ) ( )1g x f x= − ( ) 1 ( )g x f x= − − xOy 2y a= 1y x a= − − a 2y a= 1y x a= − − 2 1a = − 1 2a = − ( ) 2 2xf x b= − − b ( ) 2 2xf x b= − − 2 2xy = − y b= 2 2xy = − 0 2b< < ( )( )f x x∈R ( ) (2 )f x f x= − -1 y=x-a-1 y=2a O y x 1 2 1O y x x y 65 4 321 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 g(x)=1-f(x) g(x) 1-f(x) O x y 654321 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 -1-f(x) g(x)g(x)=-1-f(x) O 与 图 像 的 交 点 为 ， 则 （ ）. A. B. C. D. 44. B 解析 ，其图像关于 对称， 的根 图 像 关 于 对 称 ， 故 ， ， ， ， 相 加 得 ，故 .故选 B. 45.（2016 天津文 14）已知函数 在 上单调 递减，且关于 的方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是 _________. 45. 解析 由 在 上单调递减可知 ，解得 ，所以 . 又方程 恰有两个不相等的实数解，可知 ，得 . 抛物线 与直线 相切时，得 或 （舍）. 因此 的取值范围是 . 46.（2017 天津文 8）已知函数 ，设 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 46.解析 由不等式 ，得 ， . 2 2 3y x x= − − ( )y f x= ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , ,m mx y x y x y…， ， ， 1 m i i x = =∑ 0 m 2m 4m ( ) 2 2 3f x x x= − − = ( )21 4x − − 1x = ( )f x y= 1x = 1 12 mx x+ = 2 1 12 mx x −+ =  12 2 12 m mx x + + = 1 2 2 2 mx x x m+ + + = 1 m m i x m = =∑ 2 (4 3) 3 , 0( ) ( 0, 1) log ( 1) 1, 0a x a x a xf x a a x x  + − + <= > ≠ + + 且  R x | ( ) | 2 3 xf x = − a 1 2,3 3     ( )f x R 3 4 0 3 1,0 1 a a a −  < <   1 3 3 4a  1 1 1 23 a −  | ( ) | 2 3 xf x = − 3 2a << 1 2 3 3a < < 2 3 34 )(y x a x a−+ += 2 3 xy = − 2 3a = 17 12a = a 1 2,3 3     ( ) | | 2, 1 2 , 1 x x f x x xx + <=  +  a ∈ R x ( ) 2 xf x a+ R a [ ]2,2− 2 3,2 −  2,2 3 −  2 3,2 3 −  ( ) 2 xf x a+ ( ) ( )2 xf x a f x− +  ( ) ( )2 2 x xf x a f x− − −  只需要计算 在 上的最大值和 在 上的最小值即可. 当 时， （当 时取等号）， （当 时取等号），所以 ； 当 时， = （当 时取等号）， （当 时取等号），所以 . 综上， ，即 的取值范围是 .故选 A． 47..（2017 浙江 17）已知 ，函数 在区间 上的最大值是 5， 则 的取值范围是 . 47.解析 设 ，则 ， . 解 法 一 ： 可 知 的 最 大 值 为 ， 即 或 ， 解得 或 ，所以 ．则 的取值范围是 . 解法二：如图所示，当 时， 成立； 当 时， 成立； 当 时， 成立，即 . 则 的取值范围是 . 函数的综合 2015 年多的章节 题型 函数与数列的综合 ( ) ( ) 2 xg x f x= − − | | 2 , 12 3 2 , 12 xx x x xx − − − <=  − −  R ( ) ( ) 2 xh x f x= − | | 2 , 12 2 , 12 xx x x xx  + − <=   +  R 1x < ( ) | | 2 22 xg x x= − − − − =0x ( ) 2 22 xh x x= + −  =0x 2 2a−   1x 3 2( ) 2g x x x = − − 3 2 2 32 x x  − + −   2 3= 3x ( )h x = 2 22 22 2 x x x x + ⋅ = =2x 2 3 2a−   2 2a−   a [ ]2,2− a∈R ( ) 4f x x a ax = + − + [ ]1 4， a 4t x x = + ( )f t t a a= − + [ ]4,5t ∈ ( )f t { }max (4), (5)f f (4) 4 5 (5) 5 5 f a a f a a  = − + = = − +  (4) 4 5 (5) 5 5 f a a f a a  = − + = − + =  4.5 5 a a =    4.5 5 a a      4.5a a ( ],4.5−∞ 0a < ( ) 5f t t a a t= − + =  0 a t<  ( ) 0 5f t a t a t= − + − =  a t> ( ) 5f t t a a a t a= − + = − +  4.5a a ( ],4.5−∞ at 540 1.（2015 福建文 16）若 是函数 的两个不同的零点， 且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值 等于________． 2.解析 由韦达定理得 ， ，又 ，则 ， . 当 ， 适当排序后成等比数列时， 必为等比中项，故 . 当适当排序后成等差数列时， 必不是等差中项. 若 是等差中项时， ，解得 ； 若 是等差中项时， ，解得 . 综上所述， ， ，所以 . 题型 函数与不等式的综合 1.（2015 山东文 8）若函数 是奇函数，则使 成立的 的取值范围为 （ ）. A. B. C. D. 1.解析 因为 为奇函数，所以对定义域内的每一个 ，均有 ， 即 .整理得 ，所以 ， 所以 .令 ，得 . 所以 ，所以 .故选 C. 2.（2015 全国 II 文 12）设函数 ，则使得 成立 的 的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 2.解析 由题意知 ，即 为偶函数.因为 ， 所以 在 上是增函数，所以使 成立的条件是 ,a b ( ) ( )2 0, 0f x x px q p q= − + > > , , 2a b − p q+ a b p+ = ab q= 0, 0p q> > 0a > 0b > ,a b 2− 2− 44,ab q b a = = = 2− a 42 2a a = − 1, 4a b= = 4 a 8 2aa = − 4, 1a b= = 5a b p+ = = 4ab = 9p q+ = 2 1( ) 2 x xf x a += − ( ) 3f x > x ( 1)−∞ −， ( 1 0)− ， (0 1)， (1 )+ ∞， ( )f x x ( ) ( )f x f x− = − 2 1 2 1 2 2 x x x xa a − − + += −− − ( )( )1 2 2 2 0x xa −− + + = 1a = ( ) 2 1 2 1 x xf x += − 2 1 32 1 x x + >− 2 2 02 1 x x − <− 1 2 2x< < 0 1x< < ( ) ( ) 2 1ln 1 1f x x x = + − + ( ) ( )2 1f x f x> − x 1 13 ,     ( )1 13, , −∞ +∞    1 1 3 3, −   1 1 3 3, ,   −∞ − +∞       ( ) ( )f x f x− = ( )f x ( ) ( )22 1 2 1 1 xf x x x ′ = ++ + ( )f x [ )0 + ∞， ( ) ( )2 1f x f x> − .所以 ，解之得 .故选 A. 题型 函数中的创新题 1.（2015 四川文 15）已知函数 ， （其中 ）.对于不相等的 实数 ，设 ， ，现有如下命题： ①对于任意不相等的实数 ，都有 ； ②对于任意的 及任意不相等的实数 ，都有 ； ③对于任意的 ，存在不相等的实数 ，使得 ； ④对于任意的 ，存在不相等的实数 ，使得 . 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号). 1.解析 ①由 得 . 令 ，则 ，故 不单调. 当 时， 为单调递减函数，不符合题意. 当 时， ,由于 是值域为 的单调递增函数， 故必存在一个 ，使得 .且当 时， .当 时， .即 不单调.所以①正确. ②由 得 . 令 ，则 ， 即对任意的 ， 不单调.取 ，则 .此时对任意的 ， 都不单 调.所以不一定有 .②错误. ③若 ，则 ，即 . 令 ，则 不单调. ( ) ( )2 1f x f x> − 2 1x x> − 1 13 x< < ( ) 2xf x = ( ) 2g x x ax= + a∈R 1 2,x x ( ) ( )1 2 1 2 f x f xm x x −= − ( ) ( )1 2 1 2 g x g xn x x −= − 1 2,x x 0m > a 1 2,x x 0n > a 1 2,x x m n= a 1 2,x x m n= − ( ) ( )1 2 1 2 f x f xm x x −= − ( ) ( )1 1 2 2f x mx f x mx− = − ( ) ( ) 2xF x f x mx mx= − = − ( ) ( )1 2F x F x= ( )F x 0m ≤ ( )F x 0m > ( ) 2 ln 2xF x m′ = − 2 ln 2xy = ( )0,+∞ 0x ( )0 0F x′ = ( )00,x x∈ ( ) 0F x′ < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0F x′ > ( )F x ( ) ( )1 2 1 2 g x g xn x x −= − ( ) ( )1 1 2 2g x nx g x nx− = − ( ) ( ) ( )2 2G x g x nx x ax nx x a n x= − = + − = + − ( ) ( )1 2G x G x= a ( )G x 0a = ( ) 2G x x nx= − n ( )G x 0n > m n= ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 f x f x g x g x x x x x − −=− − ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2f x g x f x g x− = − ( ) ( ) ( ) 22xH x f x g x x ax= − = − − ( )H x 令 ，得 要有根. 令 则 ，是值域为 的增函数.所以存在 ， 使得 . 所以 在 单调递减，在 上单调递增，存在最小值. 因此，对于任意的 ， 不一定有根.所以③错误. ④.若 ，则 ， 即 . 令 ，则 不单调. 令 ，得 要有根.而 是值域为 的减函数，所以 一定会有根.所以对任意的 ，存在不相等的实 数 ，使得 .④正确.所以真命题为①④. 2. （ 2016 四 川 文 15 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 当 不 是 原 点 时 ， 定 义 的 “ 伴 随 点 ” 为 ，当 是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题： ①若点 的“伴随点”是点 ，则点 的“伴随点”是点 .②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. ③若两点关于 轴对称，则他们的“伴随点”关于 轴对称.④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点” 一定共线. 其中的真命题是 . 2. ②③ 解析 对于①，若令 则其伴随点为 ，而 的伴随点为 ，而不是 ，故错误； 对于②，令单位圆上点的坐标为 ，其伴随点为 仍在单位圆 上，故②正确； 对于③，设曲线 关于 轴对称，则 对曲线 表示同一曲 ( ) 2 ln 2 2 0xH x x a′ = − − = 2 ln 2 2xa x= − 2 ln 2 2 ,xy x= − ( )22 ln 2 2xy′ = − ( )2,− +∞ 0x ( )0 22 ln 2 2 0x − = 2 ln 2 2xy x= − ( )0, x−∞ ( )0 ,x +∞ a 2 ln 2 2xa x= − m n= − 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x x x x x − −= −− − 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x+ = + ( ) ( ) ( ) 22xR x f x g x x ax= + = + + ( )R x ( ) 2 ln 2 2 0xR x x a′ = + + = 2 ln 2 2xa x= − − 2 ln 2 2xy x= − − ( ),−∞ +∞ 2 ln 2 2xa x= − − a 1 2,x x m n= − ( , )P x y P 2 2 2 2,y xP x y x y  −  + +  P A A′ A′ A x y (1,1),A 1 1,2 2A  ′ −   1 1,2 2A  ′ −   ( )1 1− −， P (cos ,sin )P x x (sin , cos )P x x′ − ( , ) 0f x y = x ( , ) 0f x y− = ( , ) 0f x y = 线，其伴随曲线分别为 与 也表示同一 曲线，又因为其伴随曲线分别为 与 的图像关于 轴对称，所以③正确； 对于④，直线 上取点得，其伴随点 消参后轨迹是圆，故④错 误.所以正确的序号为②③. 2 2 2 2, 0y xf x y x y  − = + +  2 2 2 2, 0y xf x y x y  − − = + +  2 2 2 2, 0y xf x y x y  − = + +  2 2 2 2, 0y xf x y x y  − − = + +  y y kx b= + 2 2 2 2,y x x y x y  −  + + 