2020届二轮复习（理）专题五第1讲直线与圆学案
专题五 解析几何
第1讲 直线与圆
「考情研析」 1.考查直线间的平行和垂直的条件，与距离有关的问题． 2.考查直线与圆相切和相交的问题，与直线被圆所截得的弦长有关的问题.
核心知识回顾
1.直线的斜率
直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其倾斜角为α，则斜率k＝＝tanα.
2．直线的两种位置关系
3．三种距离公式
(1)两点间的距离：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ .
(2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则两平行线的距离d＝.
4．圆的方程
(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)一般方程：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心是，半径r＝.
5．直线与圆的位置关系
设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.
d与r的关系
直线与圆的关系
d>r
相离
d＝r
相切
d
0.
1．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为＝<2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个，选C.
2．(2019·宜宾市高三第二次诊断)过直线3x－4y－14＝0上一点P作圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝9的切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB面积最小时，直线AB的方程是( )
A．4x－3y＋2＝0 B．3x－4y＋2＝0
C．3x－4y－2＝0 D．4x－3y－2＝0
答案 B
解析 根据题意，圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝9的圆心C为(－1,2)，半径r＝3；点P为直线3x－4y－14＝0上一点，PA，PB为圆C的切线，则PA⊥CA，PB⊥CB，
则有|PA|＝|PB|
＝ ＝ ，
则S四边形PACB＝2S△PCA＝2××|CA|×|PA|＝3，
则当|PC|取得最小值时，四边形PACB面积最小，此时CP与直线3x－4y－14＝0垂直，
且|CP|＝＝5，则C到直线AB的距离d＝，
又由CP⊥AB，则直线AB与直线3x－4y－14＝0平行，设直线AB的方程为3x－4y－m＝0，
则d＝＝，解得m＝－2或－20(舍去)，则直线AB的方程为3x－4y＋2＝0.故选B.
3．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是( )
A．(x－)2＋(y－1)2＝4
B．(x－)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4
答案 D
解析 (x－2)2＋y2＝4的圆心为(2,0)，其关于y＝x对称的点为(x，y)，则解得x＝1，y＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4，故选D.
考向3 直线与圆、圆与圆的位置关系
例3 (1)(2019·东北三省高三第二次模拟)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案 D
解析 x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2,0)，半径为2.x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2,0)，半径为1.圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.
(2)一条光线从点(1，－1)射出，经y轴反射后与圆(x－2)2＋y2＝1相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意可知，反射光线必过(－1，－1)点，设反射光线斜率为k，则反射光线为kx－y＋k－1＝0，由题意可知<1，∴00)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
答案 A
解析 由题意知，点P在以原点O(0,0)为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在圆C上，所以只要两个圆有交点即可．圆心C(3,4)到O(0,0)的距离为5，所以|m－2|≤5≤m＋2，解得3≤m≤7，即m的最大值为7.故选A.
2．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则k＝( )
A．± B．±
C. D.
答案 A
解析 圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(2,3)，半径r＝2，圆心(2,3)到直线y＝kx＋3的距离d＝，∵直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，∴由勾股定理得r2＝d2＋2，即4＝＋3，解得k＝±.故选A.
3．(2019·朝阳区高三第一次模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2，若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线l1，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是( )
A．[0,2－)∪(2＋，＋∞)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，0)
D．[0，＋∞)
答案 D
解析 圆心C(2,0)，半径r＝，设P(x，y)，因为两切线l1⊥l2，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知PA⊥AC，PB⊥BC，|PA|＝|PB|，所以四边形PACB
为正方形，所以|PC|＝2，则有(x－2)2＋y2＝4，即点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆.
直线l：y＝kx－2过定点(0，－2)，直线方程即kx－y－2＝0，只要直线l与P点的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即d＝≤2，解得k≥0，即实数k的取值范围是[0，＋∞)．故选D.
真题押题
『真题模拟』
1．(2019·厦门模拟)“C＝2”是“点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3，则有＝3，解得C＝2或C＝－10，故“C＝2”是“点(1，)到直线x＋y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，选B.
2．(2019·山东省高三第一次大联考)已知直线l：x－y＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1相交于O，A两点，O为坐标原点，则△COA的面积为( )
A. B.
C. D．2
答案 A
解析 由题意，直线l，圆C均过原点，△COA为等腰三角形，且|CO|＝|CA|＝1，∠OCA＝60°，所以S△COA＝|CO|·|CA|·sin∠OCA＝×12×＝.故选A.
3．(2019·唐山市第一中学高三下学期冲刺(一))过点P(－1，－1)且不垂直于y轴的直线l与圆M：x2＋y2－2x－3＝0交于A，B两点，点C在圆M上，若△ABC是正三角形，则直线l的斜率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 根据题意得，圆M：x2＋y2－2x－3＝0即(x－1)2＋y2＝4，圆心M为(1,0)，半径r＝2，设正三角形ABC的高为h，由题意知M为正三角形ABC的中心，
∴M到直线l的距离d＝h，又h＝|AB|，即d＝|AB|，∴由垂径定理可得＋d2＝r2＝4，可得|AB|＝2，∴d＝1，由题意知设直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为y＋1＝k(x＋1)，即kx－y＋k－1＝0，则有＝1，解得k＝或0(舍去)．故选D.
4．(2019·合肥市高三第二次教学质量检测)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0,1)，(0,3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k>0)关于y轴对称，则k的最小值为( )
A. B.
C．2 D．4
答案 D
解析 ∵圆C经过(0,1)，(0,3)，∴圆心在(0,1)，(0,3)的垂直平分线y＝2上，又∵圆C与x轴正半轴相切，
∴圆的半径为2.设圆心坐标为(x0,2)，x0>0，由x＋(2－3)2＝4，得x0＝，∴圆心坐标为(，2)，设OM的斜率为k0，因为k>0，所以k0<0，当k0最大时k最小，设OM：y＝k0x(k0<0)，由图可知当y＝k0x与圆相切时k0最大，此时＝2，解得k0＝－4，此时k＝4，即k的最小值为4，故选D.
5．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
答案 －2
解析 根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)，则|AB|＝＝2，
|AC|＝
＝，|BC|＝|m－3|.
∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，
∴∠BAC＝90°，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.
即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，解得m＝－2.
因此r＝|AC|＝＝.
『金版押题』
6．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－)2＋y2＝r2(r>0)引切线，若切线长的最小值为，则r的值为( )
A．2 B.
C. D．1
答案 D
解析 从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心(，0)到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心(，0)到直线y＝x＋1的距离为＝2，切线长的最小值为＝，解得r＝1或r＝－1(舍去)，选D.
7．已知P是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的最小面积为2，则k的值为( )
A．3 B．2
C．1 D.
答案 B
解析 S四边形PACB＝|PA|·|AC|＝|PA|＝＝，可知当|CP|最小，即CP⊥l时，其面积最小，由最小面积＝2得|CP|min＝，由点到直线的距离公式得|CP|min＝＝，因为k>0，所以k＝2.选B.
配套作业
一、选择题
1．与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程为( )
A．3x＋2y＋7＝0 B．3x＋2y－7＝0
C．2x－3y＋7＝0 D．3x－2y－7＝0
答案 B
解析 由题知，与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程是3(－x)－2y＋7＝0，即3x＋2y－7＝0，故选B.
2．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )
A. B.
C．8 D．2
答案 D
解析 ∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.
3．已知直线l经过圆C：x2＋y2－2x－4y＝0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为( )
A．x＋2y＋5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋3＝0
答案 C
解析 圆心C(1,2)，故kOC＝2，|OC|＝，所以l⊥OC，kl＝－，直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0，故选C.
4．(2019·芜湖市四校高二上学期期末联考)圆x2＋(y－3)2＝1上的动点P到点Q(2,3)的距离的最小值为( )
A．2 B．1
C．3 D．4
答案 B
解析 圆x2＋(y－3)2＝1上的动点P到点Q(2,3)的距离的最小值为圆心到点Q(2,3)的距离减去半径．∵圆x2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为C(0,3)，半径为r＝1，∴|CQ|－r＝2－1＝1，∴圆x2＋(y－3)2＝1上的动点P到点Q(2,3)的距离的最小值为1.故选B.
5．集合A＝{(x，y)|x2＋y2－2mx＋m2≤4}，B＝{(x，y)|x2＋y2＋2x－2my≤8－m2}，若A∩B＝A，则实数m的范围是( )
A．[－1,0] B．(－1,0)
C．[0,1] D．(0,1)
答案 A
解析 设A，B表示的两圆的圆心分别为C1，C2，由A∩B＝A，得A⊆B，则圆(x－m)2＋y2＝4与圆(x＋1)2＋(y－m)2＝9的关系是内切或内含，则|C1C2|＝≤3－2，得m2＋m≤0，即－1≤m≤0.
6．已知点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是( )
A．k∈R B．k<
C．－0，即－0.∵k2＋k＋9＝2＋>0恒成立，∴k的取值范围是.
7．(2019·内江、眉山等六市高三第二次诊断)若直线x－my＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(－1,0) D．(－2,0)
答案 D
解析 圆与直线联立整理得(1＋m2)y2－2m(m＋1)y＋m2＋2m＝0.∵直线与圆相交且有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，Δ＝4m2(m＋1)2－4(m2＋2m)(m2＋1)＝－8m>0，得m<0.∵圆(x－1)2＋y2＝1上的点都在y轴右侧及原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限．
∴y1y2＝<0，解得－20)，设p：00)上至多有两个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，又圆心(1,0)到直线的距离d＝＝2，则r<2＋1＝3，所以00)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有·≥－2，那么k的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．[，2)
C．[，＋∞) D．[，2)
答案 B
解析 根据题意得，圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2，设圆心到直线x＋y－k＝0的距离为d，若直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，则d＝＝<2，则有k<2.设与的夹角即∠AOB＝θ，若·≥－2，即|OA|·|OB|·cosθ≥－2，变形可得cosθ≥－，则θ≤.当θ＝时，d＝1，若θ≤，则d＝≥1，解得k≥，则k的取值范围为[，2)．故选B.
二、填空题
12．已知圆M：x2＋y2＋2x＋2y－5＝0，此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________．
答案 x＋y＝0
解析 ∵圆M：x2＋y2＋2x＋2y－5＝0，∴圆心M的坐标为(－1，－)，∴kOM＝＝，∴此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线的斜率k＝－，∴该弦所在的直线方程为y＝－ x，即x＋y＝0.
13．已知P(2,0)为圆C：x2＋y2－2x＋2my＋m2－7＝0(m>0)内一点，过点P的直线AB交圆C于A，B两点，若△ABC面积的最大值为4，则正实数m的取值范围为________．
答案 ≤m＜
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋m)2＝8，则圆心坐标为(1，－m)，半径r＝2，S△ABC＝r2sin∠ACB＝4sin∠ACB，当∠ACB＝90°时，△ABC的面积取得最大值4，此时△ABC为等腰直角三角形，AB＝r＝4，则点C到直线AB的距离等于2，故2≤PC<2，即2≤<2，∴4≤1＋m2<8，即3≤m2<7，∵m>0，∴≤m<.
14．(2019·宜宾市高三第二次诊断)已知直线l1：3x＋y－6＝0与圆心为M(0,1)，半径为的圆相交于A，B两点，另一直线l2：2kx＋2y－3k－3＝0与圆M交于C，D两点，则AB的中点坐标为________，四边形ACBD
面积的最大值为________．
答案 5
解析 以M(0,1)为圆心，半径为的圆的方程为x2＋(y－1)2＝5，联立解得A(2,0)，B(1,3)，∴AB的中点坐标为.直线l2：2kx＋2y－3k－3＝0恒过定点，要使四边形的面积最大，只需直线l2过圆心即可，即CD为直径，此时AB垂直CD，|AB|＝＝，∴四边形ACBD面积的最大值为S＝·|AB|·|CD|＝××2＝5.
