高一必修1典例选讲及配套习题 第7讲 一元二次不等式

高一必修1典例选讲及配套习题 第7讲 一元二次不等式

第 7 讲 一元二次不等式 一【学习目标】 1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。 三【典例精析】 例 1.解下列不等式： （1） ；（2）－x2+2x－3x＞0；（3）x2－4x+4＞0. 例 2.解不等式 . 例 3.设全集为 ，已知 ，求 。 例 4.解关于 x 的不等式 x2－ax－2a2＜0. 例 5.若不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|－3＜x＜4}，求不等式 bx2＋2ax－c－3b＜0 的解集． 例 6.已知 ， 。 （1）若 B A，求 的取值范围； 22 3 2 0x x+ − < ( )( )( )21 2 1 0x x x x+ − + + > R ( ) ( ){ }2 3 1A x x x x x= + ≤ − + R A { }2 3 2 0A x x x= − + ≤ ( ){ }2 1 0B x x a x a= − + + ≤ a （2）若 A∩B 是单元素集合，求 取值范围。 三【过关精练】 一、选择题： 1．已知 a＞b，c＞d，且 a，b，c，d 均不为 0，那么下列不等式成立的是（ ） A．ac＞bd B．ad＞bc C．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d 2．给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞｜b｜⇒a2＞b2；③a＞b⇒a3＞b3； ④｜a｜＞b⇒a4＞b4，其中正确的命题是（ ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．集合 A＝｛x｜x2＜16＝｝，集合 B＝｛x｜x2－x－6≥0｝，则 A∩B＝（ ） A．［3，4］） B．（－4，－2）］ C．（－4，－2）］∪［3，4］） D．［－2，3］ 4．若不等式 ax2＋bx－2＞0 的解集为｛x｜－2＜x＜－ 1 4｝,则 a，b 的值分别是（ ） A．a＝－8，b＝－10 B．a＝－1，b＝9 C．a＝－4，b＝－9 D．a＝－1，b＝2 5．不等式 x2＋ax＋4＜0 的解集为空集，则 a 的取值范围是（ ） A．［－4，4］ B．（－4，4） C．（－∞，－4）］∪［4，＋∞］） D．（－∞，－4）∪（4，＋∞） 二、填空题： 6．不等式 1＋ｘ－6ｘ2＞0 的解集为 ． 7．不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4＜0，对一切实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围 是 8．设实数 a，b，c 满足 b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则 a，b，c 的大小关系是 ． 三、解答题： 9．已知集合 A＝｛x｜x2－3x－10≤0｝，集合 B＝｛x｜p＋1≤x≤2p－1｝，若 B A，求实数 P 的取值范围． a ⊆ 10．若实数 a≠0，解关于 x 的二次不等式（x－2）（ax－2）＞0． 11.不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1<0 的解集为 R，求 a 的取值范围。 12.已知全集 U=R，A={x|x2-x-6>0},B={x|x2+2x-8>0},C= {x|x2-4ax+3a<0},若 A∩B C，求实数 a 的取值范围。 参考答案 例 1 解：（1）原不等式等价于 2x2-3x-2>0，∴原不等式的解集是 . （2）原不等式等价于:x2-2x+3<0 由△＜0，知原不等式解集为 . （3）△=0，方程 x2－4x+4=0 有等根 ，∴原不等式的解集为{x|x∈R，且 x≠2}。 例 2 解：∵对一切 x∈R 恒有 x2+x+1＞0，∴原不等式等价于(1+x)(2-x)＞0 ⊆ ( )1, 2,2  −∞ − +∞    φ 1 2 2x x= = －1＜x＜2. ∴原不等式的解集为（－1，2）. 例 3 解： . 故 .∴ 例 4 解：方程 x2－ax－2a2＝0 的判别式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根 x1＝2a， x2＝－a. (1)若 a＞0，则－a＜x＜2a，此时不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}； (2)若 a＜0，则 2a＜x＜－a，此时不等式的解集为{x|2a＜x＜－a}； (3)若 a＝0，则原不等式即为 x2＜0，此时解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为 当 a＞0 时，{x|－a＜x＜2a}； 当 a＜0 时，{x|2a＜x＜－a}； 当 a＝0 时，∅. 解：∵ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|－3＜x＜4}，∴a＜0 且－3 和 4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根， 由根与系数的关系得Error!即Error!∴不等式 bx2＋2ax－c－3b＜0 可化为－ax2＋2ax＋15a＜0，即 x2－2x－15＜0， 故所求的不等式的解集为{x|－3＜x＜5}． 例 6 解：易得 A=[1，2]；而 。 （1）若 B A，利用数轴，得 的取值范围是 ； （2）若 A∩B 是单元素集合，利用数轴，A∩B 只能是集合{1}. ∴ 的取值范围是 。 一、选择题： 1.D；2.B；3.C；4.C；5.A. 二、填空题： 6．｛x｜－ 1 3＜ｘ＜ 1 2＝＝｝；7．（－2，2）＝］；8．c≥b＞a． 提示：∵c－b＝4－4a＋a2＝（2－a）2≥0，∴c≥b． 2b＝（b＋c）－（c－b）＝2a2＋2，∴b＝a2＋1． b－a＝a2－a＋1＝（a－ 1 2）2＋ 3 4＞0，∴b＞a．故 c≥b＞a． 三、解答题： 9．解：由 x2－3x－10≤0，得－2≤x≤5，A＝［－2，5］． ①若 B＝φ，则 B≤A，这时 p＋1＞2p－1，即 p＜2． ②若 B≠φ，则{p＋1 ≤ 2p－1 p＋1 ≥ －2 2p－1 ≤ 5 ⇒2≤p≤3． 综上可知，P 的取值范围是 p≤3． ( )( )1 2 0x x⇔ + − > ⇔ ( ) ( )2 3 1x x x x+ ≤ − + 22 1 0x x⇔ − − ≤ 1 12 x⇔ − ≤ ≤ 1 ,12A  = −   ( )1, 1,2R A  = −∞ − +∞    ( )( ){ }1 0B x x x a= − − ≤ a [ )1,2 a ( ],1−∞ 10．解：方程（x－2）（ax－2）＝0 的两根为 2 和 a 2, （1）当 a＜0 时，2＞ a 2，∴原不等式的解集为｛x｜ a 2＜x＜2＝＝｝． （2）当 0＜a＜1 时，2＜ a 2，∴原不等式的解集为｛x｜x＜2 或 x＞ a 2＝｝． （3）当 a＝1 时，原不等式变为（x－2）2＞0，∴解集为｛x｜x≠2 且 x∈R＝＝｝． （4）当 a＞1 时，2＞ a 2，原不等式的解集为｛x｜x＜ 2 a或 a＞2＝＝｝． 综上所述，原不等式的解集 当 a＜0 时，为｛x｜ a 2＜x＜2＝＝｝；当 a＜1 时，为｛x｜x＜2 或 x＞ a 2＝｝； 当 a＝1 时，为｛x｜x≠2 且 x∈R＝＝｝；当 a＞1 时，为｛x｜x＜ 2 a或 a＞2＝＝｝． 11.解：当 a2-1=0 时，只有 a=1,才有 x∈R.当 a2-1≠0 时，由 a2-1<0 及△＝ （a-1）2+4(a2-1)=5a2-2a-3<0 得 ，综上所述： . 12.解：A=(-2,3),B=(－∞,-4) (2,+∞),A∩B=(2,3),C={x|(x-a)(x-3a)<0}, 当 a<0 时,C=(3a,a),A∩B C 不可能成立 当 a>0 时，C=(a,3a),由 A∩B C 得： 3 15 a− < < 3,15a  ∈ −    ⊆ ⊆ [ ]1,2a ∈