2018届二轮复习函数与导数函数的图象与性质专题突破讲义学案文（全国通用）
第 1 讲 函数的图象与性质
1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．
2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合
的思想解决问题．
3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数
也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．
热点一 函数的性质及应用
1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步
骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
2．奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性
相反．
(2)在公共定义域内：
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；
②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；
③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．
(3)若 f(x)是奇函数且在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0.
(4)若 f(x)是偶函数，则 f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶
函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称．
3．周期性
定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足 f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，
则其一个周期 T＝|a|.
常见结论：
(1)f(x＋a)＝－f(x)⇒函数 f(x)的最小正周期为 2|a|，a≠0.
(2)f(x＋a)＝
1
f(x)⇒函数 f(x)的最小正周期为 2|a|，a≠0.
(3)f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于 x＝
a＋b
2 对称．
例 1 (1)(2017·山东)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝f(x－2)．若当 x∈[－
3,0]时，f(x)＝6－x，则 f(919)＝________.
答案 6
解析 ∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即 f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为 6 的周期函数，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又 f(x)是定义在 R 上的偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝6，即 f(919)＝6.
(2)(2017 届安徽省池州市东至县联考)已知函数 f(x)＝2 016x＋log2 016( x2＋1＋x)－2 016－
x，则关于 x 的不等式 f(3x＋1)＋f(x)>0 的解集为( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C.(－∞，－
1
4) D.(－
1
4，＋∞)
答案 D
解析 f(－x)＝2 016－x－2 016x＋log2 016( (－x)2＋1－x)，其中 log2 016( x2＋1－x)＝log2 016
( 1
x2＋1＋x)
＝－log2 016( x2＋1＋x)，则 f(－x)＝－f(x)，所以函数是奇函数，并且函数是单调递增函
数．那么原不等式等价于 f(3x＋1)>－f(x)⇔f(3x＋1)>f(－x)，
即 3x＋1>－x⇒x>－
1
4，故选 D.
思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的
函数值．
(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成 f(x1)
0 时，f(x)＝－x3＋6x2－9x＋a，则－f(－x)＝－
3
2
4 2(log 5) (log 3) (2 )f f f< <
x3－6x2－9x－a，即－x3－6x2－9x－a＝2(x<0)有两个实数根，即 a＝－x3－6x2－9x－2(x<0)
有两个实数根．画出 y＝－x3－6x2－9x－2(x<0)的图象如图所示，由图可知当 a＝2 时有两个
解．
思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方
面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这
是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函
数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函
数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数
的定义域内研究函数的极值和最值．
跟踪演练 2 (1)(2017·全国Ⅰ)函数 y＝
sin 2x
1－cos x的部分图象大致为( )
答案 C
解析 令 f(x)＝
sin 2x
1－cos x，
∵f(1)＝
sin 2
1－cos 1＞0，f(π)＝
sin 2π
1－cos π＝0，
∴排除选项 A，D.
由 1－cos x≠0，得 x≠2kπ(k∈Z)，
故函数 f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝
sin(－2x)
1－cos(－x)＝－
sin 2x
1－cos x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选 C.
(2)已知函数 f(x)＝
ax3
3 ＋
ax－x2＋3
2 ，g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)．在同一直角坐标系中，
函数 f′(x)与 g(x)的图象不可能是( )
答案 B
解析 因为 f(x)＝
ax3
3 ＋
ax－x2＋3
2 ，
所以 f′(x)＝ax2－x＋
a
2，
若 a＝0，则选项 D 是正确的，故排除 D.
若 a<0，选项 B 中的二次函数的判别式 Δ＝1－4a·
a
2＝1－2a2<0，所以 a2>
1
2，又 a<0，所以 a<
－
2
2 .
二次函数 f′(x)的图象的对称轴为 x＝
1
2a.
三次函数 g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a，
所以 g′(x)＝3a2x2－4ax＋1＝3a2(x－
1
a )(x－
1
3a)，
令 g′(x)>0，得 x<
1
a或 x>
1
3a，
令 g′(x)<0，得
1
a
1
2a，
所以选项 B 的图象错误，故选 B.
热点三 基本初等函数的图象和性质
1．指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分 01
两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．
2．幂函数 y＝xα 的图象和性质，主要掌握 α＝1,2,3，
1
2，－1 五种情况．
例 3 (1)(2017·深圳调研)设 a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则 a，b，c 大小关系正
确的是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
答案 B
解析 根据指数函数和对数函数的增减性知，因为 0log0.30.3
＝1，c＝log30.2a>c，故选 B.
(2)(2017 届福建福州外国语学校期中)函数 f(x)＝Error!在 R 上单调递增，则实数 a 的取值
范围为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(2,3] D．(2，＋∞)
答案 C
解析 ∵f(x)在 R 上单调递增，
∴Error!∴21.
则 x＝log2t＝
lg t
lg 2，同理，y＝
lg t
lg 3，z＝
lg t
lg 5.
∴2x－3y＝
2lg t
lg 2 －
3lg t
lg 3 ＝
lg t(2lg 3－3lg 2)
lg 2 × lg 3
＝
lg t(lg 9－lg 8)
lg 2 × lg 3 >0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝
2lg t
lg 2 －
5lg t
lg 5 ＝
lg t(2lg 5－5lg 2)
lg 2 × lg 5
＝
lg t(lg 25－lg 32)
lg 2 × lg 5 <0，
∴2x<5z，
∴3y<2x<5z.故选 D.
(2)设函数 f(x)＝Error! (a>0 且 a≠1)．若 f(x)在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是________．
答案 [2，＋∞)
解析 函数 f(x)＝Error!(a>0，且 a≠1)．
若 f(x)在 R 上是增函数，则有Error!∴a≥2.
真题体验
1．(2017·全国Ⅲ改编)函数 y＝1＋x＋
sin x
x2 的部分图象大致为________．(填序号)
答案 ④
解析 当 x→＋∞时，
sin x
x2 →0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋
sin x
x2 →＋∞，故排除②；
当 0＜x＜
π
2 时，y＝1＋x＋
sin x
x2 ＞0，故排除①③.
故填④.
2 ． (2017· 天 津 改 编 ) 已 知 奇 函 数 f(x) 在 R 上 是 增 函 数 ． 若 a ＝ － f (log2
1
5)， b ＝
f(log24.1)，c＝f(20.8)，则 a，b，c 的大小关系为____________．
答案 c1,01 时，y＝xa 与 y＝logax 均为增函数，但 y＝xa 递增较快，排除 C；
当 01，而此时幂函数 f(x)＝xa 的图象应是增长越来越
快的变化趋势，故 C 错．
2．(2017 届甘肃肃南裕固族自治县一中月考)设函数 y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，满
足 f (x－
3
2 )＝f (x＋
1
2 )，当 x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当 x∈[－2,0]时，f(x)等于( )
A．|x＋4| B．|2－x|
C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1|
押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的
灵活性．
答案 D
解析 由 f (x－
3
2 )＝f (x＋
1
2 )，可得 f(x＋2)＝ f(x)，则当 x∈[－2，－1]时， x＋
4∈[2,3]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4＝x＋1＋3；当 x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，2－x∈[2,3]，
f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x＝3－x－1，故选 D.
3．已知函数 h(x)(x≠0)为偶函数，且当 x>0 时，h(x)＝Error!若 h(t)>h(2)，则实数 t 的取
值范围为________．
押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题
型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性
质．
答案 (－2,0)∪(0,2)
解析 因为当 x>0 时，h(x)＝Error!
易知函数 h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为函数 h(x)(x≠0)为偶函数，且 h(t)>h(2)，
所以 h(|t|)>h(2)，所以 0<|t|<2，
所以Error!即Error!
解得－21 时，ln|x|>0，y＝
2x
ln|x|>0，排除 D；
当 x<－1 时，ln|x|>0，y＝
2x
ln|x|<0，排除 C，故选 B.
6．(2017 届安徽百校论坛联考)已知函数f(x)是奇函数，当 x<0 时，f(x)＝－x2＋x.若不等式
f(x)－x≤2logax (a>0 且 a≠1)对∀x∈(0，
2
2 ]恒成立，则实数 a 的取值范围是( )
A.(0，
1
4 ] B.[1
4，1 )
C.(0，
1
2 ] D.[1
4，
1
2 ]∪(1，＋∞)
答案 B
解析 由已知得当 x>0 时，f(x)＝x2＋x，故 x2≤2logax 对∀x∈(0，
2
2 ]恒成立，即当 x∈
(0，
2
2 ]时，函数 y＝x2 的图象不在 y＝2logax 图象的上方，由图(图略)知 00 时，函数只有一个零点，而 y＝
2xsin x
4x＋1 是以 x 轴为
中心的波浪线，所以 B 排除；当 x→－∞时，y＝2x－x2－1→－∞，所以 A 排除；函数 y＝(x2
－2x)ex 的图象在 x→－∞时，y→0，在 01 的 x 的取值范围是
________．
答案 (－
1
4，＋∞)
解析 由题意知，可对不等式分 x≤0,0＜x≤
1
2，x＞
1
2三段讨论．
当 x≤0 时，原不等式为 x＋1＋x＋
1
2＞1，
解得 x＞－
1
4，∴－
1
4＜x≤0.
当 0＜x≤
1
2时，原不等式为 2x＋x＋
1
2＞1，显然成立．
当 x＞
1
2时，原不等式为 2x＋2x－
1
2＞1，显然成立．
综上可知，x＞－
1
4.
10．(2017 届江西吉安一中段考)若函数 f(x)是周期为 4 的奇函数，且在[0,2]上的解析式为
f(x)＝Error! 则 f (f (41
6 ))＝________.
答案
1
4
解析 f (41
6 )＝f (－
7
6 )＝－f (7
6 )
＝－sin
7π
6 ＝
1
2，
f (1
2 )＝
1
2×(1－
1
2 )＝
1
4.
11．(2017 届云南省师范大学附属中学月考)已知函数 f(x)＝ex＋x3，若 f(x2)0，所以函数 f(x)为增函数，所以不等式 f(x2)0
时，函数 f(x)＝x＋
1
x－a 的最小值 2－a≥f(0)，即 2－a≥a2，解得－2≤a≤1.综上所述，实
数 a 的取值范围是[0,1]．
B 组 能力提高
13．(2017·全国Ⅰ)已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0,2)上单调递增
B．f(x)在(0,2)上单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
答案 C
解析 f(x)的定义域为(0,2)．
f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．
设 u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则 u＝－x2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又 y＝ln u 在其定义域上单调递增，
∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴选项 A，B 错误；
∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，
∴f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，∴选项 C 正确；
∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为 0，
∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项 D 错误．
故选 C.
14．(2017 届河北武邑中学调研)已知函数 f(x)＝
x
x－1＋sin πx 在[0,1)上的最大值为 m，在
(1,2]上的最小值为 n，则 m＋n 等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案 D
解析 f(x)＝
x
x－1＋sin πx＝1＋
1
x－1＋sin πx，
记 g(x)＝
1
x－1＋sin πx，则当 x∈[0,1)时，g(2－x)＝
1
2－x－1＋sin π(2－x)＝
1
1－x－sin
πx，即在区间[0,1)∪(1,2]上，函数 f(x)关于点(1,1)成中心对称，∴m＋n＝2，故选 D.
15．(2017 届湖北省部分重点中学联考)已知函数 f(x)＝
2x－1
2x＋1＋x＋sin x，若正实数 a，b 满
足 f(4a)＋f(b－9)＝0，则
1
a＋
1
b的最小值为________．
答案 1
解析 因为 f(－x)＝－f(x)，故由题设可得当 4a＋b＝9，即
4a
9 ＋
b
9＝1 时，则
1
a＋
1
b＝(4a
9 ＋
b
9)
(1
a＋
1
b )
＝
1
9(4＋1＋
4a
b ＋
b
a)≥
1
9(5＋4)＝1，当且仅当 b＝2a 时取等号．
16．(2017 届福建连城县二中期中)对于函数：①f(x)＝lg(|x－2|＋1)；②f(x)＝(x－2)2；
③f(x)＝cos(x＋2)．判断如下三个命题的真假：命题甲：f(x＋2)是偶函数；命题乙：f(x)在区
间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；命题丙：f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋
∞)上是增函数，能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是________．
答案 ②
解析 ①若 f(x)＝lg(|x－2|＋1)，则 f(x＋2)是偶函数，此时命题甲为真；f(x)在(－∞，2)
上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，此时命题乙为真；但 f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)
上不是单调增函数，此时命题丙为假．②f(x)＝(x－2)2，则 f(x＋2)是偶函数，此时命题甲为真；
f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，此时命题乙为真；f(x＋2)－f(x)＝4x－4
在(－∞，＋∞)上是增函数，此时命题丙为真．③若 f(x)＝cos(x＋2)，则 f(x＋2)不是偶函
数，此时命题甲为假；f(x)在(－∞，2)上不是减函数，在(2，＋∞)上不是增函数，此时命题乙为
假；f(x＋2)－f(x)在(－∞，＋∞)上不是单调增函数，此时命题丙为假，故答案为②.
