江苏省启东市2019-2020学年高一第二学期期末调研测试数学试题

江苏省启东市2019-2020学年高一第二学期期末调研测试数学试题

‎2019 ～2020学年第二学期期末调研测试 ‎ 高一数学试题 ‎ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1． 已知集合，则 ‎2． 已知向量，且，则x＝‎ ‎3．已知一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只白球， 2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是 ‎4．已知，则a， b， c的大小关系是 ‎5．为了估计加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下表；‎ 若零件数x与加工时间y具有线性相关关系，且线性回归方程为，则a＝‎ A． 1‎ B． 0．8‎ C． 1．09‎ D． 1．5‎ ‎6．已知直线l经过两点 ，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是 ‎7．下列可能是函数（e是自然对数的底数）的图象的是 ‎8．已知函数在（0，π）上恰有两个不同的零点，则ω的值是 A． 1‎ B． 2‎ С． 3‎ D． 4‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9． 已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是 A．函数的图象过原点 B．函数是偶函数 C．函数是单调减函数 D．函数的值域为R ‎10．某人射箭9次，射中的环数依次为： 7， 8， 9， 7， 6， 9， 8， 10， 8，关于这组数据，下列说法正确的是 A．这组数据的众数是8‎ B．这组数据的平均数是8‎ C．这组数据的中位数是6‎ D．这组数据的方差是 ‎11． 已知直线l：，其中，下列说法正确的是 A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直 B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0‎ C．直线l过定点(0，1)‎ D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 ‎12．已知在三棱锥P—ABC中， AP， AB， AC两两互相垂直， AP＝5cm， AB＝4cm，AC＝3cm，点O为三棱锥P—ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法正确的是 A．三棱锥P—ABC的体积为10 cm3‎ B．直线BC与平面PAC所成角的正切值为 C．球O的表面积为50πcm2‎ D． OD⊥PA 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．式子的值是________‎ ‎14．已知为锐角，则________‎ ‎15．已知直线x－y＋1＝0与圆相切，则a的值是________‎ ‎16． “辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V等于其上底的面积S、中截面（过几何体高的中点平行于底面的截面）的面积S0的4倍、下底的面积S'之和乘以高h的六分之一，即 ‎ ．已知函数的图象过点， 与直线x＝0，y＝1及y＝2围成的封闭图形绕y轴旋转一周得到一个几何体，则k－m＝________，利用“辛普森（Simpson）公式"可估算该几何体的体积V ＝________ （第一空2分，第二空3分）‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17． （本小题满分10分）‎ 已知的夹角为．‎ 求：；‎ ‎（2） ．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要，某校高一、高二、高三年级分别有学生1200名、1080名、720名．为了解全校学生的视力情况，学校在6月6日“全国爱眼日”采用分层抽样的方法，抽取50人测试视力，并根据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图。‎ ‎（1） 求从高一年级抽取的学生人数；‎ ‎（2）试估计该学校学生视力不低于4．8的概率；‎ ‎(3)从视力在[4．0，4．4)内的受测者中随机抽取2人，求2人视力都在[4．2，4．4）内的概率．‎ ‎19． （本小题满分12分）‎ 如图，在长方体中，已知AB＝AD＝1，AA1＝2．‎ ‎（1）求证：BD⊥平面A1ACC1；‎ ‎(2)求二面角的正切值． ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在锐角△ABC中，设角A， B， C所对的边长分别为a， b， c，且．‎ ‎（1）求B的大小；‎ ‎（2）若，点D在边AC上，________，求BD的长．‎ 请在①AD＝DC； ② ∠DBC＝∠DBA； ③BD⊥AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．‎ ‎（注：如果选择多个条件分别解答， 则按第一个解答计分）．‎ ‎21． （本小题满分12分）‎ 已知圆关于直线对称 ‎（1）求实数a的值；‎ ‎(2)设直线与圆C交于点A，B，且．‎ ‎①求k的值；‎ ‎②点P（3，0），证明：x轴平分∠APB．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）， g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，‎ 且．‎ ‎(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；‎ ‎（2）设函数，若对任意实数x， 恒成立，求实数a的取值范围．‎ 数学参考答案与评分建议 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。‎ ‎1~4 C C D B 5~8 B A C B 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎9. AD 10. ABD 11. AC 12. ABC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. 6‎ ‎14．‎ ‎15．1‎ ‎16． 1， 四、解答题：本大题共6小题，共计70分． ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 已知，，与的夹角为． ‎ 求：（1）；‎ ‎（2）．‎ 解：（1） ‎ ‎ ……2分 ‎． ……5分 ‎（2）‎ ‎ ……7分 ‎． ……10分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要．某校高一、高二、高三年级分别有学生1 200名、‎ ‎1 080名、720名．为了解全校学生的视力情况，学校在6月6日“全国爱眼日”采用分层抽样的方法，抽取50人测试视力，并根据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求从高一年级抽取的学生人数；‎ ‎（第18题）‎ ‎      （2）试估计该学校学生视力不低于4.8的概率；‎ ‎（3）从视力在内的受测者中随机抽取 ‎2人，求2人视力都在内的概率．‎ 解：（1）高一年级抽取的学生人数为：‎ ‎．‎ 答：从高一年级抽取的学生人数为20． ……2分 ‎　　   （2）由频率分布直方图，得，‎ 所以． ……4分 所以抽取50名学生中，视力不低于4.8的频率为，‎ 所以该校学生视力不低于4.8的概率的估计值为． ……6分 ‎ （3）由频率分布直方图，得 视力在内的受测者人数为，记这2人为，‎ ‎ 视力在内的受测者人数为，记这3人为．‎ ‎……8分 ‎ 记“抽取2人视力都在内”为事件A，‎ ‎ 从视力在内的受测者中随机抽取2人，所有的等可能基本事件共有10个，‎ 分别为 ‎ ‎ ，‎ ‎　　　　　 则事件A包含其中3个基本事件：， ……10分 ‎ 根据古典概型的概率公式，得．‎ 答：2人视力都在内的概率为． ……12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ A A1‎ D1‎ B1‎ C1‎ C B D ‎（第19题）‎ 如图，在长方体中，已知，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正切值．‎ 解：（1）因为为长方体，‎ 所以平面．‎ ‎　　　 因为平面，所以． ……2分 ‎　　　 因为，所以为正方形．‎ 所以． ……4分 ‎　　　　　 又因为，平面，‎ A A1‎ D1‎ B1‎ C1‎ C B D ‎（第19题）‎ O 所以平面． ‎ ‎ ……6分 ‎   （2）设，连接． ‎ ‎　　　　　 由（1）知，平面．‎ 因为平面，所以． ‎ ‎ ……8分 又由（1）知，，‎ ‎　　　 所以为二面角的平面角． ……10分 ‎　　　　　 在中，，，‎ 所以，‎ ‎　　　　　 所以二面角的正切值为． ……12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求B的大小；‎ ‎（2）若AB2，BC，点D在边AC上， ，求BD的长．‎ 请在①ADDC；②∠DBC∠DBA；③BD⊥AC这三个条件中选择一个，补充在上面 的横线上，并完成解答．‎ ‎（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）．‎ 解：（1）在△ABC中，由正弦定理，及得，‎ ‎． …2分 因为△ABC为锐角三角形，所以，所以．‎ 所以. ……4分 又因为，所以. ……6分 ‎（2）若选①. ‎ 法一：在△ABC中，因为ADDC，所以＝. ……8分 所以2 ……10分 所以BD＝. ……12分 法二：在△ABC中，由余弦定理，得 ‎，‎ 所以，所以. ……8分 在△ABD中，由余弦定理，得 即，‎ 在△BDC中，由余弦定理，得 即. ……10分 又，所以.‎ 所以，‎ 所以BD＝. ……12分 若选②.‎ 在△ABC中，， ……8分 即， ……10分 即，‎ 解得. ……12分 若选③.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 ‎，‎ 所以. ……8分 因为，又， ……10分 所以，‎ 解得. ……12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知圆C：关于直线l：对称．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）设直线m：与圆交于点，且．‎ ① 求的值；‎ ② 点P ( 3，0 )，证明：x轴平分．‎ 解：（1）因为圆C：关于直线l：对称，‎ ‎　　　　　 所以圆心C在直线l：上． ……2分 ‎　　　　　 所以，解得． ……4分 ‎　　   （2）① 由（1）知，圆C：．‎ 所以圆心C到直线m：的距离为． ……6分 因为，所以，解得，‎ 因为，所以． ……8分 ② 法一：由①知，直线m：．‎ 联立消去，得，解得或．‎ 不妨， ……10分 所以．‎ 所以直线的倾斜角互补，从而，‎ ‎　　 所以轴平分． ……12分 法二：设直线m：上的点，，又点P ( 3，0 )，‎ ‎　　　　　 所以 ‎．（*） ……8分 ‎　　　　　　 联立消去，得， ‎ 所以 代入（*），得．‎ ‎ 所以直线的倾斜角互补，从而，‎ ‎　　　　　 所以轴平分． ……12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．‎ ‎（1）求函数与的解析式；‎ ‎　　（2）设函数，若对任意实数，恒成立，求实数 的取值范围．‎ 解：（1）因为为偶函数，为奇函数，且，①‎ 所以，即， ② ……2分 由，得，‎ 由，得. ……4分 ‎（2）方法一：由（1）得，．‎ 因为对任意实数，恒成立．‎ 当时，设，则恒成立.‎ ‎ 若，即，则当时，取得最小值，符合题意； ……6分 若，即，则当时，取得最小值.‎ 由，得，所以.‎ 所以. ……8分 当时，设，则恒成立.‎ 若，即，则当时，取得最小值.‎ 由，得. 所以. ……10分 若，即时，，符合题意.‎ 所以.‎ 综上，实数的取值范围是． ……12分 方法二：恒成立，即恒成立.‎ 当时，显然成立；‎ 当时，，令，设， ……6分 当，即时，.‎ 设是上任意两个值，且，‎ 则，‎ 当时，，，，所以，即 ‎；‎ 当时，，，，所以，即，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减. ……8分 所以当时，在上取得最大值. ‎ 所以. ……10分 当，即时，，‎ 同理可证，函数在 上单调递增，在上单调递减.‎ 所以当时，在上取得最大值. ‎ 所以. ‎ 综上，实数的取值范围是． ……12分