2019届二轮复习第一讲　直线与圆学案（全国通用）

2019届二轮复习第一讲　直线与圆学案（全国通用）

专题六　解析几何 第一讲　直线与圆 考点一　直线的方程 ‎1．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．‎ ‎2．两个距离公式 ‎(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.‎ ‎(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2018·东北三校联考)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　　)‎ A．2x＋y－12＝0‎ B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0‎ C．x－2y－1＝0‎ D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0‎ ‎[解析]　当直线过原点时，由题意可得直线方程为2x－5y ‎＝0；当直线不经过原点时，可设出其截距式为＋＝1，再由过点(5,2)即可解出2x＋y－12＝0，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎2．直线l过点(2,2)，且点(5,1)到直线l的距离为，则直线l的方程是(　　)‎ A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0‎ C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0‎ ‎[解析]　由已知，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，所以＝，解得k＝3，所以直线l的方程为3x－y－4＝0，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎3．(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)‎ A．(－2,4) B．(－2，－4)‎ C．(2,4) D．(2，－4)‎ ‎[解析]　设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)，则解得即A′(4，－2)，∴直线A′C即BC所在直线的方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.又知点C在直线y＝2x上，联立解得则C(2,4)，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎4．(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________________________．‎ ‎[解析]　解法一：由方程组解得 即交点为，‎ ‎∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，‎ ‎∴所求直线的斜率为k＝.‎ 由点斜式得所求直线方程为y－＝，‎ 即4x－3y＋9＝0.‎ 解法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，‎ 由方程组可解得交点为，‎ 代入4x－3y＋m＝0得m＝9，‎ 故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.‎ 解法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，‎ 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①‎ 又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，‎ 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0‎ 所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.‎ ‎[答案]　4x－3y＋9＝0‎ ‎[快速审题]　看到直线方程的求解，想到直线方程的五种形式，想到每种形式的适用条件．‎ ‎　求直线方程的两种方法 ‎(1)直接法：选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果．‎ ‎(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数．‎ 考点二　圆的方程 ‎1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.‎ ‎2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－‎4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2018·福建漳州模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)‎ A．(x－2)2＋(y－1)2＝1‎ B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1‎ C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1‎ D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1‎ ‎[解析]　∵点P(x，y)关于直线y＝x对称的点为P′(y，x)，‎ ‎∴(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，‎ ‎∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.‎ ‎[答案]　A ‎2．(2018·广东珠海四校联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为(　　)‎ A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2‎ C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ ‎[解析]　由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎3．(2018·重庆一模)若P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　)‎ A．x－y－1＝0 B．2x－y－3＝0‎ C．x＋y－3＝0 D．2x＋y－5＝0‎ ‎[解析]　圆心C的坐标为(1,0)，所以直线PC的斜率为kPC＝＝1，所以直线AB的斜率为－1，故直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎4．[原创题]在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－‎2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_________________________________．‎ ‎[解析]　解法一：由题意得：半径等于＝＝≤ ≤，当且仅当m＝1时取等号，所以半径最大为r＝‎ ，所求圆为(x－1)2＋y2＝2.‎ 解法二：直线mx－y－‎2m－1＝0过定点(2，－1)，当切点为(2，－1)时圆的半径最大，此时半径r＝＝，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.‎ ‎[答案]　(x－1)2＋y2＝2‎ ‎[快速审题]　看到圆的方程，想到圆心与半径，看到含参数的直线方程，想到直线是否过定点．‎ ‎　求圆的方程的两种方法 ‎(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．‎ ‎(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法．‎ 考点三　直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎1．判断直线与圆的位置关系的方法 ‎(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．‎ ‎(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr⇔相离．‎ ‎2．与圆的切线有关的结论 ‎(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.‎ ‎(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.‎ ‎(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，‎ B，则过A、B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.‎ ‎[解析]　(1)由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB的边长为2，所以△AOB的高为，即圆心到直线x－y－a＝0的距离为，所以＝，解得a＝±，故选B.‎ ‎(2)当直线斜率不存在时，明显满足题意，此时直线l的方程为x＝1.当直线斜率存在时，可设直线l的方程为y－5＝k(x－1)，再由圆心到直线的距离等于半径，得＝2，解得k＝－，所以直线l的方程为4x＋3y－19＝0.‎ 综上所述，直线l的方程为x＝1或4x＋3y－19＝0.‎ ‎(3)直线l的方程为y＝kx＋1，圆心C(2,3)到直线l的距离d＝＝，‎ 由R2＝d2＋2‎ 得1＝＋，‎ 解得k＝2或，‎ 所以直线l的方程为y＝2x＋1或y＝x＋1.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)x＝1或4x＋3y－19＝0　(3)y＝2x＋1或y＝x ‎＋1‎ ‎[探究追问1]　在本例(3)中若把条件“|MN|＝”，改为·＝12，其中O为坐标原点，则|MN|＝________.‎ ‎[解析]　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 由题意得直线l的方程为y＝kx＋1，‎ 代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，‎ 整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8，‎ 由题设可知＋8＝12，解得k＝1，‎ 所以直线l的方程为y＝x＋1，‎ 故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.‎ ‎[答案]　2‎ ‎[探究追问2]　在本例(3)中若圆C的方程不变，且过点A(0,1)且斜率为k的直线l上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是________．‎ ‎[解析]　由题意知直线l的方程为y＝kx＋1，要使直线l上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需直线l与圆C′：(x－2)2＋(y－3)2＝4有公共点，所以≤2，即≤2，解得k≥0.‎ ‎[答案]　[0，＋∞)‎ ‎　直线(圆)与圆的位置关系的解题思路 ‎(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．‎ ‎(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式．‎ ‎(3)弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(2018·福建福州一模)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为(　　)‎ A．(－3，3)‎ B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)‎ C．(－2，2)‎ D．[－3，3]‎ ‎[解析]　由圆的方程可知圆心为O(0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d

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