2019届二轮复习第一讲 直线与圆学案(全国通用)

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2019届二轮复习第一讲 直线与圆学案(全国通用)

专题六 解析几何 第一讲 直线与圆 考点一 直线的方程 ‎1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.‎ ‎2.两个距离公式 ‎(1)两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.‎ ‎(2)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.(2018·东北三校联考)过点(5,2),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(  )‎ A.2x+y-12=0‎ B.2x+y-12=0或2x-5y=0‎ C.x-2y-1=0‎ D.x-2y-1=0或2x-5y=0‎ ‎[解析] 当直线过原点时,由题意可得直线方程为2x-5y ‎=0;当直线不经过原点时,可设出其截距式为+=1,再由过点(5,2)即可解出2x+y-12=0,故选B.‎ ‎[答案] B ‎2.直线l过点(2,2),且点(5,1)到直线l的距离为,则直线l的方程是(  )‎ A.3x+y+4=0 B.3x-y+4=0‎ C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=0‎ ‎[解析] 由已知,设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,所以=,解得k=3,所以直线l的方程为3x-y-4=0,故选C.‎ ‎[答案] C ‎3.(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为(  )‎ A.(-2,4) B.(-2,-4)‎ C.(2,4) D.(2,-4)‎ ‎[解析] 设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为A′(x,y),则解得即A′(4,-2),∴直线A′C即BC所在直线的方程为y-1=(x-3),即3x+y-10=0.又知点C在直线y=2x上,联立解得则C(2,4),故选C.‎ ‎[答案] C ‎4.(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为________________________.‎ ‎[解析] 解法一:由方程组解得 即交点为,‎ ‎∵所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,‎ ‎∴所求直线的斜率为k=.‎ 由点斜式得所求直线方程为y-=,‎ 即4x-3y+9=0.‎ 解法二:由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0,‎ 由方程组可解得交点为,‎ 代入4x-3y+m=0得m=9,‎ 故所求直线方程为4x-3y+9=0.‎ 解法三:由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,‎ 即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0,①‎ 又因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,‎ 所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0‎ 所以λ=2,代入①式得所求直线方程为4x-3y+9=0.‎ ‎[答案] 4x-3y+9=0‎ ‎[快速审题] 看到直线方程的求解,想到直线方程的五种形式,想到每种形式的适用条件.‎ ‎ 求直线方程的两种方法 ‎(1)直接法:选用恰当的直线方程的形式,由题设条件直接求出方程中系数,写出结果.‎ ‎(2)待定系数法:先由直线满足的一个条件设出直线方程,使方程中含有待定系数,再由题设条件构建方程,求出待定系数.‎ 考点二 圆的方程 ‎1.圆的标准方程 当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.‎ ‎2.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-‎4F>0,表示以为圆心,为半径的圆.‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.(2018·福建漳州模拟)圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(  )‎ A.(x-2)2+(y-1)2=1‎ B.(x+1)2+(y-2)2=1‎ C.(x+2)2+(y-1)2=1‎ D.(x-1)2+(y+2)2=1‎ ‎[解析] ∵点P(x,y)关于直线y=x对称的点为P′(y,x),‎ ‎∴(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,1),‎ ‎∴圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,故选A.‎ ‎[答案] A ‎2.(2018·广东珠海四校联考)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的标准方程为(  )‎ A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2‎ C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2‎ ‎[解析] 由题意设圆心坐标为(a,-a),则有=,即|a|=|a-2|,解得a=1.故圆心坐标为(1,-1),半径r==,所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2,故选B.‎ ‎[答案] B ‎3.(2018·重庆一模)若P(2,1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为(  )‎ A.x-y-1=0 B.2x-y-3=0‎ C.x+y-3=0 D.2x+y-5=0‎ ‎[解析] 圆心C的坐标为(1,0),所以直线PC的斜率为kPC==1,所以直线AB的斜率为-1,故直线AB的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,故选C.‎ ‎[答案] C ‎4.[原创题]在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-‎2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为_________________________________.‎ ‎[解析] 解法一:由题意得:半径等于==≤ ≤,当且仅当m=1时取等号,所以半径最大为r=‎ ,所求圆为(x-1)2+y2=2.‎ 解法二:直线mx-y-‎2m-1=0过定点(2,-1),当切点为(2,-1)时圆的半径最大,此时半径r==,故所求圆的方程为(x-1)2+y2=2.‎ ‎[答案] (x-1)2+y2=2‎ ‎[快速审题] 看到圆的方程,想到圆心与半径,看到含参数的直线方程,想到直线是否过定点.‎ ‎ 求圆的方程的两种方法 ‎(1)几何法:通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,从而求得圆的基本量和方程.‎ ‎(2)代数法:用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数,从而求得圆的方程,一般采用待定系数法.‎ 考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎1.判断直线与圆的位置关系的方法 ‎(1)代数法:将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系:Δ>0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δ<0⇔相离.‎ ‎(2)几何法:把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较:dr⇔相离.‎ ‎2.与圆的切线有关的结论 ‎(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.‎ ‎(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.‎ ‎(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,‎ B,则过A、B两点的直线方程为x0x+y0y=r2.‎ ‎[解析] (1)由题意知:圆心坐标为(0,0),半径为2,则△AOB的边长为2,所以△AOB的高为,即圆心到直线x-y-a=0的距离为,所以=,解得a=±,故选B.‎ ‎(2)当直线斜率不存在时,明显满足题意,此时直线l的方程为x=1.当直线斜率存在时,可设直线l的方程为y-5=k(x-1),再由圆心到直线的距离等于半径,得=2,解得k=-,所以直线l的方程为4x+3y-19=0.‎ 综上所述,直线l的方程为x=1或4x+3y-19=0.‎ ‎(3)直线l的方程为y=kx+1,圆心C(2,3)到直线l的距离d==,‎ 由R2=d2+2‎ 得1=+,‎ 解得k=2或,‎ 所以直线l的方程为y=2x+1或y=x+1.‎ ‎[答案] (1)B (2)x=1或4x+3y-19=0 (3)y=2x+1或y=x ‎+1‎ ‎[探究追问1] 在本例(3)中若把条件“|MN|=”,改为·=12,其中O为坐标原点,则|MN|=________.‎ ‎[解析] 设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 由题意得直线l的方程为y=kx+1,‎ 代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,‎ 整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,‎ 所以x1+x2=,x1x2=,‎ ·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8,‎ 由题设可知+8=12,解得k=1,‎ 所以直线l的方程为y=x+1,‎ 故圆心C在直线l上,所以|MN|=2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎[探究追问2] 在本例(3)中若圆C的方程不变,且过点A(0,1)且斜率为k的直线l上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是________.‎ ‎[解析] 由题意知直线l的方程为y=kx+1,要使直线l上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,只需直线l与圆C′:(x-2)2+(y-3)2=4有公共点,所以≤2,即≤2,解得k≥0.‎ ‎[答案] [0,+∞)‎ ‎ 直线(圆)与圆的位置关系的解题思路 ‎(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.‎ ‎(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式,求切线方程主要选择点斜式.‎ ‎(3)弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示,l=2(其中l为弦长,r为圆的半径,d为圆心到直线的距离).‎ ‎[对点训练]‎ ‎1.(2018·福建福州一模)已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则a的取值范围为(  )‎ A.(-3,3)‎ B.(-∞,-3)∪(3,+∞)‎ C.(-2,2)‎ D.[-3,3]‎ ‎[解析] 由圆的方程可知圆心为O(0,0),半径为2,因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d
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