宁夏平罗中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

宁夏平罗中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

平罗中学2019—2020学年度第一学期期中考试试卷 高二数学（理）‎ 一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分）‎ ‎1.直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角.‎ ‎【详解】由直线的方程得直线的斜率为，设倾斜角为，则，又，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查斜率与倾斜角的关系，属于基础题.‎ ‎2.若点在二元一次不等式表示的区域中，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把坐标直接代入不等式即可得解．‎ ‎【详解】由题意，．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式表示的平面区域问题，解题时点在不等式表示的区域内，则点的坐标适合不等式．‎ ‎3.若直线与直线平行，则实数的值是（ ）‎ A. B. 或‎2 ‎C. D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两直线平行的条件直接列式求解，注意检验是否重合．‎ ‎【详解】∵已知两直线平行，∴，解得或，‎ 时，两直线重合，舍去，时两直线平行．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查两直线平行的条件．注意对两直线和，是两直线平行的必要条件，不是充分条件，要注意区别重合这种情形．‎ ‎4.若点在圆内，则的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把点坐标代入圆方程，等号改为小于号即可．‎ ‎【详解】由题意，解得．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查点与圆的位置关系．圆方程是，点，‎ 点在圆内，‎ 点在圆上，‎ 点在圆外．‎ ‎5.若点为圆内弦AB的中点，则直线AB的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆心为，连接，则．由此可求的斜率，由点斜式可求直线AB的方程.‎ ‎【详解】设圆心为，连接，则．‎ 因为圆心为，所以的斜率为，所以的斜率为，故的方程为，即．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的求法，属基础题.‎ ‎6.若、、是互不重合的直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在A中，l与n相交、平行或异面；在B中，根据线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理可得；在C中，l与n垂直；在D中，l与β相交、平行或．‎ ‎【详解】由、、是互不重合的直线，、是不重合的平面，知：‎ A中，若，，，则l与n相交、平行或异面，故A错误；‎ 在B中，经过作一个平面，设，因为，所以，又，所以，所以平面经过平面的垂线，因此，故B正确；‎ 在C中，若，，则l与可能平行、相交、异面，故C错误；‎ 在D中，若，，则l与β相交、平行或，故D错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查对基础知识的掌握，考查空间想象能力，属于常考题.‎ ‎7.直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则的值为（ ）‎ A. 2 B. C. 3 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线与坐标轴的交点坐标，然后计算三角形面积．‎ ‎【详解】在中令，得，令，得，即交点分别为，，据题意：，解得或．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积，解题时需先求出直线与两坐标轴的交点坐标，注意坐标可正可负．因此求三角形面积时应加绝对值符号．‎ ‎8.圆与圆的公切线有几条（）‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求两圆的圆心距，然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数.‎ ‎【详解】圆，圆心 ，，‎ 圆圆心，，‎ 圆心距 ‎ ‎ 两圆外切，有3条公切线.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了两圆的位置关系，属于简单题型.‎ ‎9.若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（ ）‎ A. 9 B. ‎4 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得满足的关系，用“‎1”‎的代换结合基本不等式求得的最小值．‎ ‎【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为，‎ 直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴，，‎ 又，‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立．‎ ‎∴的最小值是9．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得的关系，然后用“‎1”‎的代换法把凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值．‎ ‎10.直线与曲线恒有公共点，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线过定点，曲线中，求出两端点和，求，然后再计算直线与抛物线相切时的斜率值，可得解．‎ ‎【详解】直线过定点，曲线（）两端点为和，‎ ‎，，‎ 由得，，或，‎ ‎∵，∴过与轴垂直的直线也与曲线有公共点，‎ ‎∴所求的取值范围是或．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意题中曲线只是抛物线的一部分，因此除去要求出抛物线弧的两端点与定点连线斜率外，还需求出过与抛物线相切的直线的斜率，比较后才可能得出结论，解题时要注意过斜率不存在的直线与曲线是否有公共点．这样才能得出正确的范围．‎ ‎11.若直线与曲线没有公共点，则实数m所的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简所给的曲线方程，可得，它表示以为圆心，半径等于的半圆．当直线过点时，求得m的值；当直线与半圆相切时，根据圆心到直线的距离等于半径，求得m的值，数形结合可得m的范围．‎ ‎【详解】曲线 即 ，即，‎ ‎，‎ 表示以为圆心，半径等于的半圆（圆位于直线的下方部分，包括直线上的点），如图所示：‎ 当直线过点时，有，解得，‎ 当直线与半圆相切时，根据圆心到直线的距离等于半径可得 ，‎ 解得，或（舍去），‎ 故所求的m的范围为.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，考查数形结合思想，属于常考题.‎ ‎12.已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，，（分别为切点），若，则的最小值是（）‎ A. 5 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ P的轨迹为线段的中垂线：，‎ 由，得到的最小值是点到直线的距离的平方，由此能求出结果．‎ ‎【详解】∵圆与圆，‎ ‎∴，，‎ ‎∵过动点分别作圆、圆的切线，，（，分别为切点），，‎ ‎∴P的轨迹为线段的中垂线，线段的中点坐标为，‎ 线段的斜率，的中垂线所在直线的斜率为，‎ ‎∴P的轨迹方程为，即，‎ ‎∵表示点与距离的平方，‎ ‎∴的最小值是点到直线的距离的平方，‎ ‎∴的最小值为：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查圆的切线，考查点到直线的距离，考查转化思想，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.‎ 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.‎ ‎13.圆与圆的公共弦所在的直线方程为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程.‎ ‎【详解】两圆方程分别为：，，相减得 ‎，即．这就是两圆公共弦所在直线方程．‎ 故答案．‎ ‎【点睛】本题考查两圆位置关系，考查两圆公共弦所在直线方程，把两圆方程相减所得直线方程表示的直线，如果两圆相离，则为公共弦所在直线，如果两圆外切，则为公切线（两圆之间的公切线），两圆内切，则为公切线，‎ ‎14.已知实数，满足约束条件，则最大值是______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性约束条件画出可行域，再将进行平移寻找最值点即可 ‎【详解】如图，根据线性约束条件画出可行域，‎ 画出符合条件的可行域，将进行平移，当移到最高点时，得到的最大值，‎ 则的最大值是6‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．‎ ‎15.过圆上的点的切线方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心与切点连线的斜率，而切线与这条直线垂直，由此可得切线斜率．‎ ‎【详解】依题意，圆x2+y2﹣2x+4y﹣5＝0的圆心O坐标为（1，﹣2），‎ ‎∴直线OP的斜率kOP3，‎ ‎∴切线l的斜率k，‎ ‎∴圆O过点P的切线方程为：y﹣1（x﹣1），即x+3y﹣5＝0.‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查过圆上一点的切线方程，由过圆心与切点的半径和切线垂直可求得切线斜率，从而得切线方程．‎ ‎16.已知球是三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，平面，若三棱锥的体积为，则球的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三棱锥体积公式可求得高的长，然后把三棱锥补成正三棱柱，则三棱锥的外接球就是三棱柱的外接球，球心为正三棱柱的中心，即上下底连心线的中点，从而易求出球半径得表面积．‎ ‎【详解】∵三棱锥P﹣ABC的体积为2，‎ ‎∴2，‎ ‎∴PA＝2，‎ 将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，‎ 球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，‎ ‎∵△ABC是边长为2的正三角形，‎ ‎∴△ABC外接圆的半径r＝2，‎ ‎∴球的半径为，‎ ‎∴球O的表面积为4π×5＝20π．‎ 故答案为20π ‎【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定圆心位置，求出圆的半径，为此把三棱锥补成一个正三棱柱，则外接球的球心位置是正三棱柱的的中心，半径易求．补形法是立体几何中的一种重要方法，把不规则几何体补成规则的几何体，有利于问题的解决．‎ 三、解答题：（本大题共6小题；共70分）.‎ ‎17.己知直线的方程为．‎ ‎（1）求过点，且与直线垂直的直线方程；‎ ‎（2）求与直线平行，且到点的距离为的直线的方程 ‎【答案】（1）‎ ‎（2）或 ‎【解析】‎ 试题分析：直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；‎ 设所求直线方程为，由于点到该直线的距离为，可得，解出或，即可得出答案；‎ 解析：（1）∵直线的斜率为，∴所求直线斜率为，‎ 又∵过点，∴所求直线方程为，‎ 即．‎ ‎（2）依题意设所求直线方程为，‎ ‎∵点 到该直线的距离为，‎ ‎∴，解得或，‎ 所以，所求直线方程为或．‎ ‎18.在中，角，，所对的边分别为，，，满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，求解即可；‎ ‎（2）利用余弦定理以及题设条件得出，最后由三角形面积公式求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）在中，由条件及正弦定理得 ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，∴. ‎ ‎（2）∵，‎ 由余弦定理得 ‎∴. ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.‎ ‎19.已知数列是等差数列，且公差，首项，且是与的等比中项．‎ ‎ (1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设,求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1)；(2) ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等差数列的通项公式写出，由等比中项的定义列式可求得，从而得 ‎；（2）用裂项相消法计算数列的前项和．‎ ‎【详解】（1）由题意可知：a2＝1+d，a3＝1+2d，a4＝1+3d，‎ ‎∵a3+1是a2+1与a4+2的等比中项，‎ ‎∴（a3+1）2＝（a2+1）（a4+2），即（2+2d）2＝（2+d）（3+3d），‎ 化简得：d2﹣d﹣2＝0，解得：d＝﹣1或2，‎ 又公差d＞0，所以d＝2．‎ 故an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．‎ ‎（2）∵an＝2n﹣1，an+1＝2n+1，∴bn，‎ ‎∴‎ ‎＝（1）+（）+（）+……+（）‎ ‎＝1‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，考查等比中项的定义，属于中档题．数列求和时除等差数列和等比数列的和直接用公式外，有两种方法一定要注意：裂项相消法和错位相减法．‎ ‎20.已知直线被圆截得的弦长为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求过点并与圆C相切的直线方程．‎ ‎【答案】(1)1；(2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出圆心到直线的距离，由勾股定理列出关于的方程，解之可得；‎ ‎（2）点在圆外，因此考虑斜率不存在的情形是否满足题意，在斜率存在时，设斜率为，写出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得．‎ ‎【详解】（1）依题意可得圆心C（a，2），半径r＝2，‎ 则圆心到直线l：x﹣y+3＝0的距离，‎ 由勾股定理可知，代入化简得|a+1|＝2，‎ 解得a＝1或a＝﹣3，又a＞0，‎ 所以a＝1； ‎ ‎（2）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，又（3，5）在圆外，‎ ‎∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5＝k（x﹣3），由圆心到切线的距离d＝r＝2可解得，‎ ‎∴切线方程为5x﹣12y+45＝0，‎ ‎②当过（3，5）斜率不存在，易知直线x＝3与圆相切，‎ 综合①②可知切线方程为5x﹣12y+45＝0或x＝3.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题和求圆的切线方程．弦长问题一般利用垂径定理求解．求切线方程要注意所过点是在圆上还是圆外，点在圆上为切点，则过切点的半径与切线垂直，所过点在圆外，分类讨论切线斜率不存在和存在两种，斜率不存在时直接考查是否是切线，与斜率存在时，设斜率为，得切线方程，由圆心到切线距离等于圆半径求出斜率．‎ ‎21.如图：在三棱锥中，面，是直角三角形，，，，点、、分别为、、的中点. ‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的正弦值；‎ ‎（3）求二面角的正切值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，证明出平面，即可证得；‎ ‎（2）连接交于点，由（1）知平面，可得直线与平面所成的角为，通过解，可计算出，进而得出结果；‎ ‎（3）过点作于点，连接，证明出平面，可得出二面角的平面角为，然后解，即可计算出，进而得出结果.‎ ‎【详解】（1）连接，在中，.‎ ‎，点为的中点，.‎ 又平面，平面，，‎ ‎，平面，‎ ‎、分别为、的中点，，平面，‎ 平面，；‎ ‎（2）连接交于点，由（1）知平面，‎ 为直线与平面所成的角，且平面，.‎ 平面，、平面，，，‎ 又，，‎ ‎，，‎ 在中，，‎ 因此，直线与平面所成的角的正弦值为；‎ ‎（3）过点作于点，连接，‎ ‎，，,平面，即平面，‎ 平面，，‎ 又，，平面，‎ 平面，，‎ 所以，为二面角的平面角.‎ 在中，，所以，.‎ 因此，二面角的正切值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了线面角和二面角的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎22.已知圆，直线，.‎ ‎（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；‎ ‎（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；‎ ‎（3）是否存在实数，使得圆上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）M轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆；（3）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依据题设可以运用圆心与直线的距离或考虑动直线过定点分析判断；（2）借助题设条件运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；（3）依据题设借助图形的直观，运用圆心距与直线的位置和数量关系建立不等式：‎ ‎【详解】（1）圆的圆心为，半径为，所以圆心C到直线的距离．‎ 所以直线与圆C相交，即直线与圆总有两个不同的交点；‎ 或：直线的方程可化为，无论m怎么变化，直线过定点，由于，所以点是圆C内一点，故直线与圆总有两个不同的交点． ‎ ‎（2）设中点为，因为直线恒过定点，‎ 当直线的斜率存在时，，又，，‎ 所以，化简得． ‎ 当直线的斜率不存在时，中点也满足上述方程．‎ 所以M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆．‎ ‎(3) 假设存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，由于圆心，半径为，则圆心到直线的距离为 化简得，解得或．‎ ‎【点睛】解答本题的关键要搞清楚动直线过定点的特征，然后再运用直线与圆的位置关系分析求解．求解第一问时，充分借助圆心与直线的距离进行分析求解从而使得问题获解；解答第二问时，依据题设条件充分运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；求解第三问时依据题设条件借助图形的直观，运用圆心与直线的距离之间与的数量关系建立不等式，通过解不等式使得问题获解．‎