【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试52椭圆作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试52椭圆作业

考点测试52　椭圆 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度 考纲研读 ‎1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)‎ ‎2．了解椭圆的简单应用 ‎3．理解数形结合的思想 一、基础小题 ‎1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋y2＝1‎ 答案　C 解析　依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是＋＝1，故选C．‎ ‎2．到点A(－4，0)与点B(4，0)的距离之和为10的点的轨迹方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．－＝1‎ C．＋＝1 D．－＝1‎ 答案　C 解析　由椭圆的定义可知该点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，而c＝4，a＝5，故b2＝a2－c2＝9．故选C．‎ ‎3．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)‎ A．2 B．‎6 C．4 D．12‎ 答案　C 解析　依题意，记椭圆的另一个焦点为F，则△ABC的周长等于|AB|＋|AC|＋|BC|＝|AB|＋|AC|＋|BF|＋|CF|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4，故选C．‎ ‎4．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m等于(　　)‎ A． B．‎2 C．4 D． 答案　D 解析　由x2＋＝1及题意知，2＝2×2×1，m＝，故选D．‎ ‎5．已知动点M(x，y)满足 ＋＝4，则动点M的轨迹是(　　)‎ A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 答案　D 解析　设点F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意知动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4＝|F‎1F2|，故动点M的轨迹是线段F‎1F2．故选D．‎ ‎6．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)‎ A． B． C． D． 答案　B 解析　由题意知a＝3，b＝．由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6．在△PF‎1F2中，因为PF1的中点在y轴上，O为F‎1F2的中点，由三角形中位线的性质可推得PF2⊥x轴，所以由x＝c时可得|PF2|＝＝，所以|PF1|＝6－|PF2|＝，所以＝，故选B．‎ ‎7．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案　B 解析　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，动点P的轨迹是椭圆．故选B．‎ ‎8．若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________．‎ 答案　4或8‎ 解析　对椭圆的焦点位置进行讨论．由椭圆的焦距为4得c＝2，当2b>0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF‎1F2为等腰三角形，∠F‎1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． 答案　D 解析　依题意易知|PF2|＝|F‎1F2|＝‎2c，且P在第一象限内，由∠F‎1F2P＝120°可得P点的坐标为(‎2c，c)．‎ 又因为kAP＝，即＝，所以a＝‎4c，e＝，故选D．‎ ‎12．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A‎1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． 答案　A 解析　由题意知以A‎1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，‎ ‎∴＝，∴e＝＝＝ ＝　＝．故选A．‎ ‎13．(2016·江苏高考)‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．‎ 答案　 解析　由已知条件易得B，C，F(c，0)，∴＝c＋a，－，＝c－a，－，由∠BFC＝90°，可得·＝0，‎ 所以＋2＝0，‎ c2－a2＋b2＝0，‎ 即‎4c2－‎3a2＋(a2－c2)＝0，亦即‎3c2＝‎2a2，‎ 所以＝，则e＝＝．‎ 三、模拟小题 ‎14．(2018·山东济南一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ 答案　B 解析　椭圆长轴长为6，即‎2a＝6，得a＝3，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴‎2c＝·‎2a＝2，得c＝1，因此，b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为＋ ‎＝1．故选B．‎ ‎15．(2018·河南六市一模)已知点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)‎ A． B． C． D． 答案　A 解析　A(－1，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3，2)，连接A′B交直线l于点P，则此时椭圆C的长轴长最短，为|A′B|＝2，所以椭圆C的离心率的最大值为＝．故选A．‎ ‎16．(2018·四川德阳模拟)设P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF‎1F2的重心为G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　)‎ A．24 B．‎12 C．8 D．6‎ 答案　C 解析　∵P为椭圆C：＋＝1上一点，|PF1|∶|PF2|＝3∶4，|PF1|＋|PF2|＝‎2a＝14，∴|PF1|＝6，|PF2|＝8，又∵|F‎1F2|＝‎2c＝2＝10，∴易知△PF‎1F2是直角三角形，S△PF‎1F2＝|PF1|·|PF2|＝24，∵△PF‎1F2的重心为点G，∴S△PF‎1F2＝3S△GPF1，∴△GPF1的面积为8，故选C．‎ ‎17．(2018·安徽宣城二模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若·＝0，则椭圆的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． 答案　D 解析　由题意知，M(－a，0)，N(0，b)，F(c，0)，∴＝(－a，－b)，＝(c ‎，－b)．∵·＝0，∴－ac＋b2＝0，即b2＝ac．又b2＝a2－c2，∴a2－c2＝ac．∴e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．∴椭圆的离心率为，故选D．‎ ‎18．(2018·湖南湘东五校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF‎1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF‎1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)‎ A．，1 B．， C．，1 D．0， 答案　B 解析　由题意可得，|PF2|2＝|F‎1F2|2＋|PF1|2－2|F‎1F2|·|PF1|cos∠PF‎1F2＝‎4c2＋‎4c2－2·‎2c·‎2c·cos∠PF‎1F2，即|PF2|＝‎2c·，所以a＝＝c＋c·，又60°<∠PF‎1F2<120°，∴－0)．‎ ‎(1)证明：k<－；‎ ‎(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且F＋F＋F＝0．证明：||，|‎ eq o(FP,sup6(→))|，||成等差数列，并求该数列的公差．‎ 解　(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1．‎ 两式相减，并由＝k得＋·k＝0．‎ 由题设知＝1，＝m，于是k＝－．①‎ 由题设得m< ＝，且m>0，即0b>0)的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．‎ 解　(1)设椭圆的焦距为‎2c，由已知得＝，‎ 又由a2＝b2＋c2，可得‎2a＝3b．‎ 由|AB|＝＝，从而a＝3，b＝2．‎ 所以，椭圆的方程为＋＝1．‎ ‎(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，由题意，x2>x1>0，点Q的坐标为(－x1，－y1)．‎ 由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，‎ 可得|PM|＝2|PQ|，‎ 从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1．‎ 易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，‎ 由方程组消去y，可得x2＝．‎ 由方程组消去y，可得x1＝ ．‎ 由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，‎ 两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，‎ 解得k＝－，或k＝－．‎ 当k＝－时，x2＝－9<0，不符合题意，舍去；‎ 当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意．‎ 所以，k的值为－．‎ ‎3．(2017·北京高考)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5．‎ 解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由题意得解得c＝，所以b2＝a2－c2＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1．‎ ‎(2)证明：设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n)，‎ 由题设知m≠±2，且n≠0．‎ 直线AM的斜率kAM＝，‎ 故直线DE的斜率kDE＝－，‎ 所以直线DE的方程为y＝－(x－m)，‎ 直线BN的方程为y＝(x－2)．‎ 联立 解得点E的纵坐标yE＝－．‎ 由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n．‎ 又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，‎ S△BDN＝|BD|·|n|，‎ 所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5．‎ 二、模拟大题 ‎4．(2018·湖南衡阳一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线y＝1与C的两个交点间的距离为．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)分别过F1，F2作l1，l2满足l1∥l2，设l1，l2与C的上半部分分别交于A，B两点，求四边形ABF‎2F1面积的最大值．‎ 解　(1)易知椭圆过点，1，‎ 所以＋＝1，①‎ 又＝，②‎ a2＝b2＋c2，③‎ 所以由①②③得a2＝4，b2＝3，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1．‎ ‎(2)设直线l1的方程为x＝my－1，它与C的另一个交点为D．‎ 将直线l1与椭圆C的方程联立，消去x，‎ 得(‎3m2‎＋4)y2－6my－9＝0，‎ Δ＝144(m2＋1)>0．‎ ‎|AD|＝·，‎ 又F2到l1的距离d＝，‎ 所以S△ADF2＝．‎ 令t＝，t≥1，则S△ADF2＝，‎ 当t＝1时，S△ADF2取得最大值，为3．‎ 又S四边形ABF‎2F1＝·(|BF2|＋|AF1|)·d ‎＝(|AF1|＋|DF1|)·d＝|AD|d＝S△ADF2，‎ 所以四边形ABF‎2F1面积的最大值为3．‎ ‎5．(2018·河南六市三模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，原点到过点A(0，－b)和B(a，0)的直线的距离为．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设F1，F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF1内切圆半径r的最大值．‎ 解　(1)直线AB的方程为＋＝1，即bx－ay－ab＝0．‎ 原点到直线AB的距离为＝，‎ 即‎3a2＋3b2＝‎4a2b2，①‎ 由e＝＝，得c2＝a2，②‎ 又a2＝b2＋c2，③‎ 所以联立①②③可得a2＝3，b2＝1，c2＝2．‎ 故椭圆的方程为＋y2＝1．‎ ‎(2)由(1)得F1(－，0)，F2(，0)，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．‎ 易知直线PQ的斜率不为0，故设其方程为x＝ky＋，‎ 联立直线与椭圆的方程得 消去x得(k2＋3)y2＋2ky－1＝0．‎ 故④‎ 而S△PQF1＝S△F‎1F2P＋S△F‎1F2Q＝|F‎1F2||y1－y2|‎ ‎＝· ，⑤‎ 将④代入⑤，得 S△PQF1＝· ＝．‎ 又S△PQF1＝(|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|)·r＝‎2a·r＝2r，所以＝2r，‎ 故r＝＝≤，‎ 当且仅当＝，即k＝±1时取等号．‎ 故△PQF1内切圆半径r的最大值为．‎ ‎6．(2018·山东济宁一模)已知椭圆C：＋＝1(a>2)，直线l：y＝kx＋1(k≠0)与椭圆C相交于A，B两点，点D为AB的中点．‎ ‎(1)若直线l与直线OD(O为坐标原点)的斜率之积为－，求椭圆C的方程；‎ ‎(2)在(1)的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有∠AMO＝∠BMO(O为坐标原点)？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解　(1)由得(4＋a2k2)x2＋‎2a2kx－‎3a2＝0，显然Δ>0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ ‎∴x0＝－，y0＝－＋1＝，‎ ‎∴k·＝k·－＝－，‎ ‎∴a2＝8．∴椭圆C的方程为＋＝1．‎ ‎(2)假设存在定点M符合题意，且设M(0，m)，‎ 由∠AMO＝∠BMO得kAM＋kBM＝0．‎ ‎∴＋＝0．‎ 即y1x2＋y2x1－m(x1＋x2)＝0，‎ ‎∴2kx1x2＋x1＋x2－m(x1＋x2)＝0．‎ 由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ ‎∴－－＋＝0，‎ ‎∴＝0，即＝0，‎ ‎∵k≠0，∴－4＋m＝0，∴m＝4．‎ ‎∴存在定点M(0，4)，使得∠AMO＝∠BMO．‎