2021版高考数学一轮复习核心素养测评四十六基本公式直线的斜率与直线方程新人教B版 0
核心素养测评四十六 基本公式、直线的斜率与直线方程
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a,b满足( )
A.a+b=1 B.a-b=1
C.a+b=0 D.a-b=0
【解析】选D.因为sin α+cos α=0,
所以tan α=-1.
又因为α为倾斜角,所以斜率k=-1.而直线ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.
2.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:mx+y+1=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是 ( )
A.
B. (-∞,-2]∪
C.
D.∪[2,+∞)
【解析】选D.l:mx+y+1=0可写成y=-mx-1,即l过定点R(0,-1),直线PR的斜率k1==-2,直线QR的斜率k2==.
因为直线l与线段PQ有交点,
所以斜率k≥或k≤-2.
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又因为k=-m,所以m≤-或m≥2.
3.过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线方程为 ( )
A.3x+4y+15=0 B.3x+4y+6=0
C.3x+y+6=0 D.3x-4y+10=0
【解析】选A.设所求直线的斜率为k,依题意k=-,又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.
4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是 ( )
A.-1
1或k<
C.k>1或k< D.k>或k<-1
【解析】选D.设直线的斜率为k,
则直线方程为y-2=k(x-1),
令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,
则-3<1-<3,解得k>或k<-1.
5.如果AC<0,且BC<0,那么直线 Ax+By+C=0不通过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.由题意知,A,B同号,所以直线Ax+By+C=0的斜率k=-<0,在y轴上的截距为->0,所以,直线不通过第三象限.
6.(多选)(2020·青岛模拟)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线
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l的方程可能为 ( )
A.x-y+1=0 B.x+y-3=0
C.2x-y=0 D.x-y-1=0
【解析】选ABC.当直线经过原点时,斜率为k==2,所求的直线方程为y=2x,
即2x-y=0;
当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k,或1+2=k,
求得k=-1,或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0,或x+y-3=0;
综上知,所求的直线方程为 2x-y=0,x-y+1=0或x+y-3=0.
7.直线l经过点A(-2,1),B(-1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围为 ( )
A.∪
B.∪
C.
D.
【解析】选B.设直线的倾斜角为α,则tan α==-1+m2≥-1,
又因为0≤α<π,所以0≤α<或≤α<π.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.将直线y=x+-1绕它上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线方程是________.
【解析】由y=x+-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°,
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角变为60°,所以所求直线的斜率为.又因为直线过点(1,),所以直线方程为y-=(x-1),即y=x.
答案:y=x
9.(2020·金华模拟)若直线l的方程为:x+y-3=0,则其倾斜角为________,直线l在y轴上的截距为________.
【解析】直线l的方程为:x+y-3=0,设其倾斜角为θ,θ∈[0,π).
则tan θ=-,解得θ=.
令x=0,解得y=.
所以直线l在y轴上的截距为.
答案:
10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为__________________.
【解析】由题意,线段AB的中点为M(1,2),kAB=-2,所以线段AB的垂直平分线为y-2=
(x-1),即x-2y+3=0,
因为AC=BC,所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,
因此△ABC的欧拉线方程为x-2y+3=0.
答案:x-2y+3=0
(15分钟 35分)
1.(5分)设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是 ( )
A.[0,π) B.
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C. D.∪
【解析】选C.当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;
当cos θ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-.
因为cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,
所以k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
又α∈[0,π),所以α∈∪,
综上知,直线l的倾斜角α的取值范围是.
2.(5分)(2020·西安模拟)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是 ( )
A.0 B.2 C. D.1
【解析】选D.直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.
3.(5分)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),当x<0时,f(x)>1,方程y=ax+表示的直线是( )
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【解析】选C.因为f(x)=ax,且x<0时,f(x)>1,所以01.
又因为y=ax+在x轴、y轴上的截距分别为-和,且|-|>,故C项图符合要求.
4.(10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,所以a=2,方程即为3x+y=0.
当直线不经过原点时,截距存在且均不为0.
所以=a-2,即a+1=1.所以a=0,方程即为x+y+2=0.综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
所以或所以a≤-1.
综上可知a的取值范围是(-∞,-1].
5.(10分)(2020·成都模拟)已知直线l1:y=2x+4,直线l2经过点(2,1).
(1)若l1⊥l2,求直线l2的方程.
(2)若l2与两坐标轴的正半轴分别交于P,Q两点,求△OPQ面积的最小值(其中O为坐标原点).
【解析】(1)由题意,可设直线l2的方程为y=-x+b,
由直线l2经过(2,1)点,可得b=2,
即直线l2的方程为y=-x+2(或写成:x+2y-4=0).
(2)方法一:由题意可知,直线l2的斜率存在且小于0,设为k(k<0),
即l2:y-1=k(x-2).
令x=0,可得l2与y轴的交点为Q(0,-2k+1),
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令y=0,可得l2与x轴的交点为P,其中k<0,
故△OPQ的面积S=(-2k+1)·=2+(-2k)+≥
2+2=4(当且仅当k=-时等号成立),
即△OPQ面积的最小值为4.
方法二:由题意可知,直线l2在两个坐标轴上的截距都存在且大于0,
设P(a,0),Q(0,b),其中a>0,b>0,则l2:+=1.
因为直线l2经过点(2,1),故+=1,
由基本不等式:1=+≥2(当且仅当a=4,b=2时等号成立),
可得ab≥8,所以S△OPQ=ab≥4,
即△OPQ面积的最小值为4.
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