高三数学总复习学案11

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高三数学总复习学案11

学案11 函数与方程 导学目标: 1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似值.‎ 自主梳理 ‎1.函数零点的定义 ‎(1)对于函数y=f(x) (x∈D),把使________成立的实数x叫做函数y=f(x) (x∈D)的零点.‎ ‎(2)方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与____有交点⇔函数y=f(x)有________.‎ ‎2.函数零点的判定 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有____________,那么函数y=f(x)在区间________内有零点,即存在c∈(a,b),使得________,这个____也就是f(x)=0的根.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理.‎ ‎3.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数y=ax2+bx+c ‎(a>0)的图象 与x轴的交点 ‎________,‎ ‎________‎ ‎________‎ 无交点 零点个数 ‎________‎ ‎________‎ ‎________‎ ‎4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证________________,给定精确度ε;‎ 第二步,求区间(a,b)的中点c;‎ 第三步,计算______:‎ ‎①若________,则c就是函数的零点;‎ ‎②若________,则令b=c[此时零点x0∈(a,c)];‎ ‎③若________,则令a=c[此时零点x0∈(c,b)];‎ 第四步,判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.‎ 自我检测 ‎1.(2010·福建)f(x)=的零点个数为 (  )‎ A.0 B.‎1 ‎ C.2 D.3‎ ‎2.若函数y=f(x)在R上递增,则函数y=f(x)的零点 (  )‎ A.至少有一个 B.至多有一个 C.有且只有一个 D.可能有无数个 ‎3.如图所示的函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(  )‎ A.①② B.①③‎ C.①④ D.③④‎ ‎4.设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间是 (  )‎ A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)‎ C.(1.5,2) D.不能确定 ‎5.(2011·福州模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是 (  )‎ A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2‎ C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln(x-0.5)‎ 探究点一 函数零点的判断 例1 判断函数y=ln x+2x-6的零点个数.‎ 变式迁移1 (2011·烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是 (  )‎ A.多于4个 B.4个 C.3个 D.2个 探究点二 用二分法求方程的近似解 例2 求方程2x3+3x-3=0的一个近似解(精确度0.1).‎ 变式迁移2 (2011·淮北模拟)用二分法研究函数f(x)=x3+ln的零点时,第一次经计算f(0)<0,>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.以上横线上应填的内容为 (  )‎ A.  B.(0,1) f C.  D.  ‎ 探究点三 利用函数的零点确定参数 例3 已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]‎ 上有零点,求a的取值范围.‎ 变式迁移3 若函数f(x)=4x+a·2x+a+1在(-∞,+∞)上存在零点,求实数a的取值范围.‎ ‎1.全面认识深刻理解函数零点:‎ ‎(1)从“数”的角度看:即是使f(x)=0的实数x;‎ ‎(2)从“形”的角度看:即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标;‎ ‎(3)若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相切,则零点x0通常称为不变号零点;‎ ‎(4)若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相交,则零点x0通常称为变号零点.‎ ‎2.求函数y=f(x)的零点的方法:‎ ‎(1)(代数法)求方程f(x)=0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等);‎ ‎(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点;‎ ‎(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值,二分法的条件f(a)·f(b)<0表明:用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.‎ ‎3.有关函数零点的重要结论:‎ ‎(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数,则f(x)至多有一个零点;‎ ‎(2)连续不间断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号;‎ ‎(3)连续不间断的函数图象通过零点时,函数值符号可能不变.‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2010·天津)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是 (  )‎ A.(-2,-1) B.(-1,0)‎ C.(0,1) D.(1,2)‎ ‎2.(2011·福州质检)已知函数f(x)=log2x-x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且02,x2>5‎ C.x1<2,x2>5‎ D.25‎ ‎5.(2011·厦门月考)设函数f(x)=,g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是 (  )‎ A.4 B.‎3 ‎ C.2 D.1‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎6.定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2 006x+log2 006x,则在R上,函数f(x)零点的个数为________.‎ ‎7.(2011·深圳模拟)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x--1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是______________.‎ ‎8.(2009·山东)若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9.(12分)已知函数f(x)=x3-x2++.‎ 证明:存在x0∈(0,),使f(x0)=x0.‎ ‎10.(12分)已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0,求实数p的取值范围.‎ ‎11.(14分)(2011·杭州调研)设函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-,‎3a>‎2c>2b,求证:‎ ‎(1)a>0且-3<<-;‎ ‎(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点;‎ ‎(3)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,则≤|x1-x2|<.‎ 答案 自主梳理 ‎1.(1)f(x)=0 (2)x轴 零点 2.f(a)·f(b)<0 (a,b) f(c)=‎0 ‎c 3.(x1,0) (x2,0) (x1,0) 两个 一个 无 4.f(a)·f(b)<‎0 ‎f(c) ①f(c)=0 ②f(a)·f(c)<0 ③f(c)·f(b)<0‎ 自我检测 ‎1.C [当x≤0时,令x2+2x-3=0,‎ 解得x=-3;‎ 当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2,‎ 所以已知函数有两个零点.]‎ ‎2.B 3.B 4.B 5.A 课堂活动区 例1 解题导引 判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)=0,转化为方程根的个数,解出方程有几个根,函数y=f(x)就有几个零点,如果方程的根解不出,还有两种方法判断:方法一是基本方法,是利用零点的存在性原理,要注意参考单调性可判定零点的唯一性;方法二是数形结合法,要注意作图技巧.‎ 解 方法一 设f(x)=ln x+2x-6,‎ ‎∵y=ln x和y=2x-6均为增函数,‎ ‎∴f(x)也是增函数.‎ 又∵f(1)=0+2-6=-4<0,f(3)=ln 3>0,‎ ‎∴f(x)在(1,3)上存在零点.又f(x)为增函数,‎ ‎∴函数在(1,3)上存在唯一零点.‎ 方法二 在同一坐标系画出y=ln x与y=6-2x的图象,由图可知两图象只有一个交点,故函数y=ln x+2x-6只有一个零点.‎ 变式迁移1 B [由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)-log3|x|=0,得f(x)=log3|x|,令y=f(x),y=log3|x|,这两个函数都是偶函数,画两函数y轴右 边的图象如图,两函数有两个交点,因此零点个数在x≠0,x∈R的范围内共4个.]‎ 例2 解题导引 ①用二分法求函数的零点时,最好是利用表格,将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中,可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程,有时也可利用数轴来表示这一过程;‎ ‎②在确定方程近似解所在的区间时,转化为求方程对应函数的零点所在的区间,找出的区间[a,b]长度尽可能小,且满足f(a)·f(b)<0;‎ ‎③求方程的近似解,所要求的精确度不同得到的结果也不同,精确度ε,是指在计算过程中得到某个区间(a,b)后,直到|a-b|<ε时,可停止计算,其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数,结果不唯一.‎ 解 设f(x)=2x3+3x-3.‎ 经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,‎ 所以函数在(0,1)内存在零点,‎ 即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.‎ 取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,‎ 又f(1)>0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解,‎ 如此继续下去,得到方程的一个实数解所在的区间,如下表.‎ ‎(a,b)‎ ‎(a,b)‎ 的中点 f ‎(0,1)‎ ‎0.5‎ f(0.5)<0‎ ‎(0.5,1)‎ ‎0.75‎ f(0.75)>0‎ ‎(0.5,0.75)‎ ‎0.625‎ f(0.625)<0‎ ‎(0.625,0.75)‎ ‎0.687 5‎ f(0.687 5)<0‎ ‎(0.687 5,0.75)‎ ‎|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1‎ 至此,可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.687 5,0.75)内,可以将区间端点0.687 5作为函数f(x)零点的近似值.因此0.687 5是方程2x3+3x-3=0精确度0.1的一个近似解.‎ 变式迁移2 D [由于f(0)<0,f>0,而f(x)=x3+ln中的x3及ln在上是增函数,故f(x)在上也是增函数,‎ 故f(x)在上存在零点,所以x0∈,‎ 第二次计算应计算0和在数轴上对应的中点 x1==.]‎ 例3 解 若a=0,f(x)=2x-3,显然在[-1,1]上没有零点,所以a≠0.‎ 令Δ=4+‎8a(3+a)=‎8a2+‎24a+4=0,‎ 解得a=.‎ ‎①当a=时,f(x)=0的重根x=∈[-1,1],‎ 当a=时,f(x)=0的重根x=∉[-1,1],‎ ‎∴y=f(x)恰有一个零点在[-1,1]上;‎ ‎②当f(-1)·f(1)=(a-1)(a-5)<0,‎ 即11或a≤.‎ 变式迁移3 解 方法一 (换元)‎ 设2x=t,则函数f(x)=4x+a·2x+a+1化为g(t)=t2+at+a+1 (t∈(0,+∞)).‎ 函数f(x)=4x+a·2x+a+1在(-∞,+∞)上存在零点,等价于方程t2+at+a+1=0,①有正实数根.‎ ‎(1)当方程①有两个正实根时,‎ a应满足,‎ 解得:-10,‎ 所以f(x)在区间(-1,0)上存在零点.]‎ ‎2.A ‎3.C [能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0.A、B中不存在f(x)<0,D中函数不连续.]‎ ‎4.C ‎5.B [当x≤1时,函数f(x)=4x-4与g(x)=log2x的图象有两个交点,可得h(x)有两个零点,当x>1时,函数f(x)=x2-4x+3与g(x)=log2x的图象有1个交点,可得函数h(x)有1个零点,∴函数h(x)共有3个零点.]‎ ‎6.3‎ 解析 函数f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0,当x>0时,f(x)=2 006x+log2 006x在区间(0,)内存在一个零点,又f(x)为增函数,因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一解,从而函数在R上的零点的个数为3.‎ ‎7.x11,所以x11‎ 解析 设函数y=ax(a>0,且a≠1)和函数y=x+a,则函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,就是函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=x+a有两个交点,由图象可知当01时,因为函数y=ax(a>1)的图象过点(0,1),而直线y=x+a所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点,所以实数a的取值范围是a>1.‎ ‎9.证明 令g(x)=f(x)-x.………………………………………………………………(2分)‎ ‎∵g(0)=,g()=f()-=-,‎ ‎∴g(0)·g()<0.……………………………………………………………………………(8分)‎ 又函数g(x)在(0,)上连续,…………………………………………………………(10分)‎ 所以存在x0∈(0,),使g(x0)=0.‎ 即f(x0)=x0.………………………………………………………………………………(12分)‎ ‎10.解 二次函数f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,‎ 使f(c)>0的否定是:对于区间[-1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0.……………………(4分)‎ 此时,即,解得:‎ p≥或p≤-3.…………………………………………………………………………(10分)‎ ‎∴二次函数f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0的实数p的取值范围是 ‎-3‎2c>2b,∴‎3a>0,2b<0,‎ ‎∴a>0,b<0.‎ 又‎2c=-‎3a-2b,由‎3a>‎2c>2b,‎ ‎∴‎3a>-‎3a-2b>2b.‎ ‎∵a>0,∴-3<<-.……………………………………………………………………(4分)‎ ‎(2)∵f(0)=c,f(2)=‎4a+2b+c=a-c.‎ ‎①当c>0时,∵a>0,‎ ‎∴f(0)=c>0且f(1)=-<0,‎ ‎∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点.……………………………………………(7分)‎ ‎②当c≤0时,‎ ‎∵a>0,‎ ‎∴f(1)=-<0且f(2)=a-c>0,‎ ‎∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点.‎ 综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点.……………………………………………(10分)‎ ‎(3)∵x1,x2是函数f(x)的两个零点,则x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根.‎ ‎∴x1+x2=-,x1x2==--.‎ ‎∴|x1-x2|= ‎= ‎=.(12分)‎ ‎∵-3<<-,‎ ‎∴≤|x1-x2|<.……………………………………………………………………(14分)‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档