高中数学基础知识大全(全国新课标版)
高中数学基础知识大全（新课标版）
第一部分 集合
1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲
线上的点？…
2 .数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数
问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决
3.(1) 元素与集合的关系： Ux A x C A , Ux C A x A .
（2）德摩根公式： ( ) ; ( )U U U U U UC A B C A C B C A B C A C B .
（3） A B A A B B U UA B C B C A UA C B UC A B R
注意：讨论的时候不要遗忘了 A 的情况.
（4）集合 1 2{ , , , }na a a 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1 个；非空子集有 2n –1 个；
非空真子集有 2n –2 个.
4． 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
第二部分 函数
1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；
⑥利用均值不等式
22
22 babaab ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、
绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（ xa 、 xsin 、 xcos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法
3．复合函数的有关问题:
（1）复合函数定义域求法：
① 若 f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a ≤ g(x) ≤ b 解出
② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于 x∈[a,b]时，求 g(x)的值域.
（2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数 )]([ xgfy 分解为基本函数：内函数 )(xgu 与外函数 )(ufy
②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。
5．函数的奇偶性:
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．．．．
⑵ )(xf 是奇函数 )()( xfxf ； )(xf 是偶函数 )()( xfxf .
⑶奇函数 )(xf 在 0 处有定义，则 0)0( f
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性
⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性
6．函数的单调性:
⑴单调性的定义：
① )(xf 在区间 M 上是增函数 ,, 21 Mxx 当 21 xx 时有 1 2( ) ( )f x f x ；
② )(xf 在区间 M 上是减函数 ,, 21 Mxx 当 21 xx 时有 1 2( ) ( )f x f x ；
⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子 )()( 21 xfxf 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②复合
函数法③图像法
注：证明单调性主要用定义法。
7．函数的周期性：
(1)周期性的定义：对定义域内的任意 x ，若有 )()( xfTxf （其中T 为非零常数），则称函数 )(xf 为周期
函数，T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最
小正周期。
（2）三角函数的周期：① 2:sin Txy ；② 2:cos Txy ；③ Txy :tan ；
④
||
2:)cos(),sin(
TxAyxAy ；⑤
||:tan
Txy
(3)与周期有关的结论：
)()( axfaxf 或 )0)(()2( axfaxf )(xf 的周期为 a2
8．基本初等函数的图像与性质：
㈠.⑴指数函数： )1,0( aaay x ；⑵对数函数: )1,0(log aaxy a ；
⑶幂函数： xy （ )R ；⑷正弦函数: xy sin ；⑸余弦函数： xy cos ；
（6）正切函数： xy tan ；⑺一元二次函数： 02 cbxax （a≠0）；⑻其它常用函数：
1 正比例函数： )0( kkxy ；②反比例函数： )0( kx
ky ；③函数 )0( ax
axy
㈡.⑴分数指数幂：
m
n mna a ； 1m
n
m
n
a
a
（以上 0, ,a m n N ，且 1n ）.
⑵.① bNNa a
b log ； ② NMMN aaa logloglog ；
③ NMN
M
aaa logloglog ； ④ log logm
n
aa
nb bm
.
⑶.对数的换底公式: loglog log
m
a
m
NN a
.对数恒等式: loga Na N .
9．二次函数：
⑴解析式：①一般式： cbxaxxf 2)( ；②顶点式： khxaxf 2)()( ， ),( kh 为顶点；
③零点式： ))(()( 21 xxxxaxf （a≠0）.
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
二次函数 cbxaxy 2 的图象的对称轴方程是
a
bx 2
，顶点坐标是
a
bac
a
b
4
4
2
2
， 。
10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法
⑵图象变换：
1 平移变换：ⅰ) )()( axfyxfy ， )0( a ———左“+”右“－”；
ⅱ) )0(,)()( kkxfyxfy ———上“+”下“－”；
2 对称变换：ⅰ) )(xfy )0,0( )( xfy ；ⅱ) )(xfy 0y )(xfy ；
ⅲ) )(xfy 0x )( xfy ； ⅳ) )(xfy xy ( )x f y ；
3 翻折变换：
ⅰ) |)(|)( xfyxfy ———（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（ )(xf 在 y 左侧图象去掉）；
ⅱ) |)(|)( xfyxfy ———（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（| )(xf |在 x 下面无图象）；
12．函数零点的求法：
⑴直接法（求 0)( xf 的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若 y=f(x)在[a,b]上满足 f(a)·f(b)<0 , 则 y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化： 弧度 180 ，
1801 弧度，1弧度 )180( '1857
⑵弧长公式： Rl ；扇形面积公式： 2
2
1
2
1 RlRS 。
2．三角函数定义:角 终边上任一点（非原点）P ),( yx ,设 rOP || 则： ,cos,sin r
x
r
y
x
ytan
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全 s t c”）
4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”
5．⑴ )sin( xAy 对称轴：令
2x k ，得 ;x 对称中心： ))(0,( Zkk
；
⑵ )cos( xAy 对称轴：令 kx ，得
kx ；对称中心： ))(0,2( Zk
k
；
⑶周期公式:①函数 sin( )y A x 及 cos( )y A x 的周期
2T (A、ω、 为常数，
且 A≠0).②函数 xAy tan 的周期
T (A、ω、 为常数，且 A≠0).
6．同角三角函数的基本关系： xx
xxx tancos
sin;1cossin 22
7．三角函数的单调区间及对称性：
⑴ siny x 的单调递增区间为 2 ,22 2k k k Z
,单调递减区间为
32 ,22 2k k k Z
，对称轴为 ( )2x k k Z ,对称中心为 ,0k ( )k Z .
⑵ cosy x 的单调递增区间为 2 ,2k k k Z ,单调递减区间为 2 ,2k k k Z ，
对称轴为 ( )x k k Z ,对称中心为 ,02k
( )k Z .
⑶ tany x 的单调递增区间为 ,2 2k k k Z
，对称中心为
0,2
k Zk .
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
①sin( ) sin cos cos sin ； cos( ) cos cos sin sin ；
tan tantan( ) 1 tan tan
.
② 2 2sin( )sin( ) sin sin ； 2 2cos( )cos( ) cos sin .
③ sin cosa b = 2 2 sin( )a b (其中,辅助角 所在象限由点 ( , )a b 所在的象限
决定, tan b
a
).
9．二倍角公式：① cossin22sin . 2(sin cos ) 1 2sin cos 1 sin 2
② 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin （升幂公式）.
2 21 cos2 1 cos2cos ,sin2 2
（降幂公式）.
10．正、余弦定理：
⑴正弦定理： RC
c
B
b
A
a 2sinsinsin
（ R2 是 ABC 外接圆直径 ）
注：① CBAcba sin:sin:sin:: ；② CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 ；
③
CBA
cba
C
c
B
b
A
a
sinsinsinsinsinsin
。
⑵余弦定理： Abccba cos2222 等三个；
bc
acbA 2cos
222 等三个。
11.几个公式:⑴三角形面积公式：① 1 1 1
2 2 2a b cS ah bh ch （ a b ch h h、 、 分别表示 a、b、c 边上的高）；②
1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ca B .③ 2 21 (| | | |) ( )2OABS OA OB OA OB
⑵内切圆半径 r=
cba
S ABC
2 ； 外接圆直径 2R= ;sinsinsin C
c
B
b
A
a
第四部分 平面向量
1.平面上两点间的距离公式: ,A Bd 2 2
2 1 2 1( ) ( )x x y y ，其中 A 1 1( , )x y ，B 2 2( , )x y .
2.向量的平行与垂直： 设 a = 1 1( , )x y ,b = 2 2( , )x y ，且b 0 ，则：
① a ∥b b =λ a 1 2 2 1 0x y x y ；
② a b ( a 0 ) a ·b =0 1 2 1 2 0x x y y .
3.a·b=|a||b|cos
= x 1 x2+y1y2；
注：①|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；|b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影；
②a·b 的几何意义：a·b 等于|a|与|b|在 a 方向上的投影|b|cos的乘积。
4.cos=
|||| ba
ba
；
5.三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线 x y 1OP xOA yOB 且 。
第五部分 数列
1．定义：
BnAnSbknaNnnaaa
ndaaNnddaaa
nnnnn
nnn
2
11
1n1n
*),2(2
)2(,()1( ）为常数｝等差数列｛
⑵等比数列 )Nn2,(n)0(} 1n1-n
2
n
1n
n
aaaqqa
aa
n
｛
2．等差、等比数列性质：
等差数列 等比数列
通项公式 dnaan )1(1 1
1
n
n qaa
前 n 项和 dnnnaaanS n
n 2
)1(
2
)(
1
1
q
qaa
q
qaSq
naSq
n
n
n
n
1
1
)1(1.2
;1.1
1
1
1
时，
时，
性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m;
②m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ②m+n=p+q 时 aman=apaq
③ ,,, 232 kkkkk SSSSS 成 AP ③ ,,, 232 kkkkk SSSSS 成 GP
④ ,,, 2mkmkk aaa 成 AP, mdd ' ④ ,,, 2mkmkk aaa 成 GP, mqq '
3．常见数列通项的求法：
⑴定义法（利用 AP,GP 的定义）；⑵累加法（ nnn caa 1 型）；⑶公式法：
⑷累乘法（ n
n
n ca
a 1 型）；⑸待定系数法（ bkaa nn 1 型）转化为 )(1 xakxa nn
（6）间接法（例如： 4114
1
11
nn
nnnn aaaaaa ）；（7）（理科）数学归纳法。
4．前 n 项和的求法：⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项法。
5．等差数列前 n 项和最值的求法：
⑴ nS 最大值
0
0
0
0
11 n
n
n
n
n
a
aSa
a 最小值或 ；⑵利用二次函数的图象与性质。
第六部分 不等式
1．均值不等式： )0,(22
22
bababaab
注意：①一正二定三相等；②变形： ),(2)2(
22
2 Rbababaab 。
2．极值定理：已知 yx, 都是正数，则有：
(1)如果积 xy 是定值 p ，那么当 yx 时和 yx 有最小值 p2 ；
(2)如果和 yx 是定值 s ，那么当 yx 时积 xy 有最大值 2
4
1 s .
3.解一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c 或 :若 0a ,则对于解集不是全集或空集时,对应的
解集为“大两边，小中间”.如:当 21 xx , 2121 0 xxxxxxx ；
1221 0 xxxxxxxx 或 .
4.含有绝对值的不等式：当 0a 时，有：① axaaxax 22 ；
② 2 2x a x a x a 或 x a .
5*.分式不等式：
（1）
00 xgxfxg
xf ； （2）
00 xgxfxg
xf ；
（3）
0
00 xg
xgxf
xg
xf ； （4）
0
00 xg
xgxf
xg
xf .
6*.指数不等式与对数不等式
(1)当 1a 时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x ；
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
.
an=
S1 (n=1)
Sn－Sn-1 (n≥2)
(2)当 0 1a 时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x ；
( ) 0
log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
a a
f x
f x g x g x
f x g x
3．不等式的性质：
⑴ abba ；⑵ cacbba , ；⑶ cbcaba ； dcba ,
dbca ；⑷ bdaccba 0, ； bcaccba 0, ； ,0 ba 0c d
ac bd ;⑸ )(00 Nnbaba nn ;⑹ 0ba )( Nnba nn
第七部分 概率
1．事件的关系：
⑴事件 B 包含事件 A：事件 A 发生，事件 B 一定发生，记作 BA ；
⑵事件 A 与事件 B 相等：若 ABBA , ，则事件 A 与 B 相等，记作 A=B；
⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件 A 发生或 B 发生，记作 BA （或 BA ）；
⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件 A 发生且 B 发生，记作 BA （或 AB ） ；
⑸事件 A 与事件 B 互斥：若 BA 为不可能事件（ BA ），则事件 A 与互斥；
⑹对立事件： BA 为不可能事件， BA 为必然事件，则 A 与 B 互为对立事件。
2．概率公式：
⑵古典概型：
基本事件的总数
包含的基本事件的个数AAP )( ；
⑶几何概型：
等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的
积等）的区域长度（面积或体构成事件AAP )( ；
第八部分 统计与统计案例
1．抽样方法：
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为 N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量
为 n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为
N
n ；
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从
每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预
先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，
将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
N
n
注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
2．频率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。⑵当数据是两
位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，
它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。
3．总体特征数的估计：
⑴样本平均数
n
i
in xnxxxnx
1
21
1)(1 ；
⑵样本方差 ])()()[(1 22
2
2
1
2 xxxxxx
n
S n 2
1
)(1 xxn
n
i
i
；
⑶样本标准差 ])()()[(1 22
2
2
1 xxxxxxnS n = 2
1
)(1 xxn
n
i
i
第九部分 算法初步
1．程序框图：
⑴图形符号：
① 终端框（起止框）；② 输入、输出框；
③
处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；
⑵程序框图分类:
①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：
r =0? 否 求 n 除以 i 的余数
输入 n 是
n 不是质数 n 是质数 i=i+1
i=2
i n 或 r=0? 否
是
注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while 型） ——先判断条件，再执行循环体；
Ⅱ．直到型（until 型）——先执行一次循环体，再判断条件。
2．基本算法语句：
⑴输入语句 INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式
赋值语句： 变量=表达式
⑵条件语
句：① ②
IF 条件 THEN IF 条件 THEN
语句体 语句体 1
END IF ELSE
语句体 2
END IF
⑶循环语句：①当型： ②直到型:
WHILE 条件 DO
循环体 循环体
WEND LOOP UNTIL 条件
新课标数学部分公式及结论
2.从集合 naaaaA ,,,, 321 到集合 mbbbbB ,,,, 321 的映射有 nm 个.
3.函数的的单调性：
(1)设 2121 ,,, xxbaxx 那么
1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x baxfxx
xfxf ,)(0)()(
21
21 在
上是增函数；
1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x baxfxx
xfxf ,)(0)()(
21
21 在
上是减函数.
(2)设函数 )(xfy 在某个区间内可导，如果 0)( xf ，则 )(xf 为增函数；如果 0)( xf ，
则 )(xf 为减函数.
4*.函数 ( )y f x 的图象的对称性:
① ( )y f x 的图象关于直线 x a 对称 ( ) ( )f a x f a x (2 ) ( )f a x f x ；
② ( )y f x 的图象关于直线
2
a bx 对称 ( ) ( )f a x f b x ( ) ( )f a b x f x ；
③ ( )y f x 的图象关于点 ( ,0)a 对称 02 xafxafxafxf ，
( )y f x 的图象关于点 ( , )a b 对称 bxafxafxafbxf 222 .
6．奇偶函数的图象特征：
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原
点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
7．多项式函数 1
1 0( ) n n
n nP x a x a x a
的奇偶性：
多项式函数 ( )P x 是奇函数 ( )P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数 ( )P x 是偶函数 ( )P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
8. 若将函数 )(xfy 的图象右移 a 、上移b 个单位，得到函数 baxfy )( 的图象；
9. 几个常见的函数方程：
(1)正比例函数 ( )f x cx , ( ) ( ) ( ), (1)f x y f x f y f c .
(2)指数函数 ( ) xf x a , ( ) ( ) ( ), (1) 0f x y f x f y f a .
(3)对数函数 ( ) logaf x x , ( ) ( ) ( ), ( ) 1( 0, 1)f xy f x f y f a a a .
(4)幂函数 ( )f x x , '( ) ( ) ( ), (1)f xy f x f y f .
(5)余弦函数 ( ) cosf x x ,正弦函数 ( ) sing x x ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y ，f(0)=1.
10*.几个函数方程的周期(约定 a>0)
（1） )()( axfxf ，则 )(xf 的周期 T=a；
（2） )()( xfaxf ，或 )0)(()(
1)( xfxfaxf ，或 1( ) ( )f x a f x
( ( ) 0)f x ,
则 )(xf 的周期 T=2a；
11.①等差数列 na 的通项公式: dnaan 11 ,或 dmnaa mn )(
mn
aad mn
.
②前 n 项和公式: 1( )
2
n
n
n a as 1
( 1)
2
n nna d 2
1
1( )2 2
d n a d n .
12.设数列 na 是等差数列， 奇S 是奇数项的和， 偶S 是偶数项的和， nS 是前 n 项的和，则
①前 n 项的和 偶奇 SSSn ；
②当 n 为偶数时， d2
nS 奇偶S ，其中 d 为公差；
③当 n 为奇数时，则 中偶奇 aS S ， 中奇 a2
1nS ， 中偶 a2
1nS ，
1
1
S
S
n
n
偶
奇 ，
n
偶奇
偶奇
偶奇 SS
SS
SS
Sn （其中 中a 是等差数列的中间一项）
13.若等差数列 na 和 nb 的前 12 n 项的和分别为 12 nS 和 12 nT ，则
12
12
n
n
n
n
T
S
b
a .
14.数列 na 是等比数列， nS 是其前 n 项的和， *Nk ，那么（ kk SS 2 ） 2 = kS · kk SS 23 .
15.分期付款(按揭贷款)：
每次还款 (1 )
(1 ) 1
n
n
ab bx b
元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为b ).
16.裂项法：① 1
11
1
1
nnnn
； ②
12
1
12
1
2
1
1212
1
nnnn
；
③ 11 bababa
；④ ! 1
1
!
1
! 1 nnn
n .
17*．常见三角不等式:
（1）若 (0, )2x ，则sin tanx x x .
(2) 若 (0, )2x ，则1 sin cos 2x x .
(3) | sin | | cos | 1x x .
18.正弦、余弦的诱导公式：
2
1
2
( 1) sin ,sin( )2 ( 1) s ,
n
n
nn
co n
为偶数
为奇数
；
2
1
2
( 1) s ,s( )2 ( 1) sin ,
n
n
co nnco
n
为偶数
为奇数
.
即:“奇变偶不变,符号看象限”.如 sin2cos
, coscos .
19*.万能公式: 2
2tansin 2 1 tan
；
2
2
1 tancos2 1 tan
； 2
2tantan 2 1 tan
（正切倍角公式）.
20*.半角公式: sin 1 costan 2 1 cos sin
.
21.三角函数变换:
①相位变换: xy sin 的图象 个单位平移或向右向左 00 xy sin 的图象；
②周期变换: xy sin 的图象
倍到原来的或缩短横坐标伸长
1110
xy sin 的图象；
③振幅变换: xy sin 的图象 倍到原来的或缩短纵坐标伸长 AAA 101 xAy sin 的图象.
22.在△ABC 中，有
① ( ) 2 2 2
C A BA B C C A B 2 2 2( )C A B ；
② BAba sinsin （注意是在 ABC 中）.
24.若OA xOB yOB ，则 A 、 B 、C 共线的等价条件是 1 yx .
25.三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 1 1A(x ,y )、 2 2B(x ,y )、 3 3C(x ,y ),
则其重心的坐标是 1 2 3 1 2 3( , )3 3
x x x y y yG .
28*. 三角形四“心”向量形式的充要条件：
设O 为 ABC 所在平面上一点，角 , ,A B C 所对边长分别为 , ,a b c ，则：
（1）O 为 ABC 的外心 2 2 2
OA OB OC .
（2）O 为 ABC 的重心 0OA OB OC .
（3）O 为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA .
（4）O 为 ABC 的内心 0aOA bOB cOC .
29.常用不等式：
(1) ,a b R 2 2 2a b ab
2
22 baab (当且仅当 a＝b 时取“=”号)．
(2) ,a b R
2
a b ab
2
2
baab (当且仅当 a＝b 时取“=”号)．
(5)
2 21 ( 0, 0)1 1 2 2
a b a bab a b
a b
.
（6）柯西不等式： 2 2 2 2 2( )( ) ( ) , , , , .a b c d ac bd a b c d R