【数学】2018届一轮复习人教A版集合学案
1.了解集合的含义、体会元素与集合的从属关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算．
知识点一 元素与集合
1．集合元素的特性：________、________、无序性．
2．集合与元素的关系：若a属于A，记作________；若b不属于A，记作________．
3．集合的表示方法：________、________、图示法．
4．常用数集及其符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
____
________
____
____
____
答案
1．确定性 互异性 2.a∈A b∉A
3．列举法 描述法 4.N N*或N＋ Z Q R
1．(2016·天津卷)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4}
解析：由题意B＝{1,4,7,10}，A∩B＝{1,4}，选D.
答案：D
2．设A＝{－1,1,5}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{5}，则实数a的值为( )
A．3 B．1
C．±1 D．1或3
解析：因为A∩B＝{5}，所以a＋2＝5或a2＋4＝5.当a＋2＝5时，a＝3；当a2＋4＝5时，a＝±1，又a＝－1时，B＝{1,5}，而此时A∩B＝{1,5}≠{5}，故a＝1或3.
答案：D
知识点二 集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素________
A__B且B__A
⇔A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
______或______
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
______或______
空集
空集是________的子集，是___________的真子集
∅__A ∅__B
(B≠∅)
答案
都相同 ⊆ ⊆ A⊆B B⊇A AB BA 任何集合 任何非空集合 ⊆
3．(必修①P12习题1.1A组第5(2)题改编)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是( )
A．{a}⊆A B．a⊆A
C．{a}∈A D．a∉A
解析：因为2不是自然数，所以a∉A.
答案：D
4．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为____.
解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.
答案：7
知识点三 集合的基本运算
1．集合的三种基本运算
并集
交集
补集
符号
表示
________
________
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形
表示
意义
{x|__________}
{x|__________}
{x|__________}
2.活用集合的三类运算性质
并集的性质：
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔____.
交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔____.
补集的性质：
A∪(∁UA)＝____；A∩(∁UA)＝____；∁U(∁UA)＝A.
答案
1．A∪B A∩B x∈A，或x∈B x∈A，且x∈B x∈U，且x∉A
2．B⊆A A⊆B U ∅
5．(2016·新课标全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A．(－3，－) B．(－3，)
C．(1，) D．(，3)
解析：由题意得，A＝{x|1
}，则A∩B＝(，3)，选D.
答案：D
6．(必修①P12习题1.1B组第1题)已知集合A＝{1,2}，集合B满足A∪B＝{1,2}，则集合B有________个．
解析：因为集合A＝{1,2}有两个元素，且A∪B＝{1,2}，则B⊆A.故满足条件的集合B有22＝4(个)．
答案：4
热点一 集合的含义及表示
【例1】 已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{p－q|p∈A，q∈A}，则集合B中元素的个数为( )
A．1 B．3
C．5 D．7
(2)已知集合A＝{x－2,2x2＋5x,12}，若－3∈A，则x的值为 ________.
【解析】 (1)易知A＝{x|y＝，x∈Z}＝{－1,0,1}，B＝{p－q|p∈A，q∈A}＝{－2，－1,0,1,2}，故集合B中元素的个数为5.
(2)由题意可知x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.当x－2＝－3时，x＝－1，则x－2＝2x2＋5x＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当2x2＋5x＝－3时，x＝－(x＝－1舍去)，经检验x＝－满足题意．综上可知x＝－.
【答案】 (1)C (2)－
【总结反思】
(1)研究集合问题时，一定要抓住元素这一要素，看元素应满足的属性．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
(2)对于集合相等的问题，首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(1)(2017·邢台模拟)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：(1)A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.
(2)由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－，当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－.
答案：(1)C (2)－
热点二 集合间的关系
【例2】 (1)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
【解析】 (1)因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP＝{y|y>1}，所以∁RP⊆Q，选C.
(2)∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－12 016，即m>2 015.
答案：(1)D (2)(2 015，＋∞)
热点三 集合的运算
考向1 集合的基本运算
【例3】 (1)(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,4}，N＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N B．M∩N
C．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)
【解析】 (1)集合A表示函数y＝2x的值域，故A＝(0，＋∞)．由x2－1<0，得－10}，∁RA＝{x|x≤0}．则(∁RA)∩B＝{－1}，故选D.
(2)由题知A＝[－2,4]，B＝[m－3，m]．
因为A∩B＝[2,4]，所以，
∴m＝5
答案：(1)D (2)5
热点四 集合中的新定义问题
【例5】 若集合A具有以下性质：
(Ⅰ)0∈A,1∈A；
(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是( )
(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
(2)有理数集Q是“好集”；
(3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 (1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.
【答案】 C
【总结反思】
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.
设集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫作集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：由已知，可得
即0≤m≤；即≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝，N＝，所以M∩N＝∩＝，此时集合M∩N的“长度”的最小值为－＝，故选C.
答案：C
1．解决集合问题应注意的问题
(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
(3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．
2．数形结合思想
数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．
集合背景下的新定义问题
以集合为背景的新定义问题，集合只是一种表述形式，实质上考查的是考生接受新信息、理解新情境、解决新问题的数学能力．解决此类问题，要从两点入手：
(1)正确理解创新定义．分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．
(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．
【例1】 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( )
A．77 B．49
C．45 D．30
【解析】 A＝{(0,0)，(0，－1)，(0,1)，(1,0)，(－1,0)}，B＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0，－1)，(0，－2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1，－1)，(1，－2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2，－1)，(2，－2)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，0)，(－2,1)，(－2,2)，(－2，－1)，(－2，－2)}，则依题意知，A⊕B＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0，－1)，(0，－2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1，－1)，(1，－2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2，－1)，(2，－2)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(－1，－1)，(－1，－2)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－2，－1)，(－2，－2)，(0，－3)，(1，－3)，(2，－3)，(－1，－3)，(－2，－3)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(－1,3)，(－2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3，－1)，(3，－2)，(－3,0)，(－3,1)，(－3,2)，(－3，－1)，(－3，－2)}，故该集合共有45个元素．
【答案】 C
【例2】 已知数集A＝{a1，a2，…，an}，(1≤a1
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