2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷（文科）

2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷（文科）

‎2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）若集合，则A∩B=（　　）‎ A．（4，9） B．（9，+∞） C．（10，+∞） D．（9，10）‎ ‎2．（5分）若复数z=5+3i，且iz=a+bi（a，b∈R）则a+b=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣8 D．8‎ ‎3．（5分）如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温（°C）的数据一览表．‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 最高温 ‎5‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎17‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎21‎ 最低温 ‎﹣12‎ ‎﹣3‎ ‎1‎ ‎﹣2‎ ‎7‎ ‎17‎ ‎19‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎10‎ 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（　　）‎ A．最低温与最高温为正相关 B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加 C．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月 D．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 ‎4．（5分）设等差数列{an}的公差为d，且a1a2=35，2a4﹣a6=7，则d=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎5．（5分）若是第二象限角，则=（　　）‎ A． B．5 C． D．10‎ ‎6．（5分）已知双曲线的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最大值为（　　）‎ A．3 B．﹣1 C．﹣4 D．12‎ ‎8．（5分）如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9．（5分）已知函数的最小正周期为6π，且取图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinwx的图象，则φ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）f（x）=的部分图象大致是（　　）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎11．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（　　）‎ A．52π B．45π C．41π D．34π ‎12．（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对于任意实数x，都有f（x）=6x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，2f'（x）+1＜12x若f（m+2）≤f（﹣2m）+12﹣9m2，则m的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B． C． D．[﹣2，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知向量，，则向量与夹角的余弦值为　 　．‎ ‎14．（5分）已知数列{an}满足，且a2=2，则a4=　 　．‎ ‎15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别是棱BC，DD1上的点，且DF=FD1，如果B1E⊥平面ABF，则B1E的长度为　 　．‎ ‎16．（5分）已知抛物线y2=2x，A，B是抛物线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x00），则x0的取值范围是　 　．（用区间表示）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=4，，bsinC=2sinB．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）共享单车是指企业的校园，地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，某共享单车企业为更好服务社会，随机调查了100人，统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间（单位：分钟），由统计数据得到如下频率分布直方图，已知骑行时间在[60，80），[20，40），[40，60）三组对应的人数依次成等差数列 ‎（1）求频率分布直方图中a，b的值．‎ ‎（2）若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”，将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”，现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人，再从这5人中任取3人，求恰好1人为“忠实用户”的概率．‎ ‎19．（12分）如图，四边形ABCD是矩形AB=3，PE⊥‎ 平面ABCD，PE=．‎ ‎（1）证明：平面PAC⊥平面PBE；‎ ‎（2）设AC与BE相交于点F，点G在棱PB上，且CG⊥PB，求三棱锥F﹣BCG的体积．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=2（x﹣1）ex．‎ ‎（1）若函数f（x）在区间（a，+∞）上单调递增，求f（a）的取值范围；‎ ‎（2）设函数g（x）=ex﹣x+p，若存在x0∈[1，e]，使不等式g（x0）≥f（x0）﹣x0成立，求p的取值范围．‎ ‎22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）‎ ‎（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．‎ ‎（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；‎ ‎（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）若集合，则A∩B=（　　）‎ A．（4，9） B．（9，+∞） C．（10，+∞） D．（9，10）‎ ‎【解答】解：A={x|x＞9}，B={x|4＜x＜10}，‎ 则A∩B={x|9＜x＜10}=（9，10），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）若复数z=5+3i，且iz=a+bi（a，b∈R）则a+b=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣8 D．8‎ ‎【解答】解：复数z=5+3i，且iz=a+bi（a，b∈R），‎ 可得﹣3+5i=a+bi，．‎ 解得a=﹣3，b=5，‎ ‎∴a+b=2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温（°C）的数据一览表．‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 最高温 ‎5‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎17‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎21‎ 最低温 ‎﹣12‎ ‎﹣3‎ ‎1‎ ‎﹣2‎ ‎7‎ ‎17‎ ‎19‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎10‎ 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（　　）‎ A．最低温与最高温为正相关 B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加 C．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月 D．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 ‎【解答】解：根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为正相关，则A正确；‎ 对于B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：﹣3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前8个月不是逐月增加，则B错误；‎ 对于C，由表中数据，月温差依次为：17，12，8，13，10，7，8，7，6，11；月温差的最大值出现在1月，C正确；‎ 对于D，有C的结论，分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，D正确；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设等差数列{an}的公差为d，且a1a2=35，2a4﹣a6=7，则d=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，且a1a2=35，2a4﹣a6=7，‎ ‎∴，‎ 解得a1=5，d=2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）若是第二象限角，则=（　　）‎ A． B．5 C． D．10‎ ‎【解答】解：∵是第二象限角，‎ ‎∴tanα=﹣，可得：cosα=﹣=﹣，‎ ‎∴====10．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知双曲线的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：双曲线的实轴长为8，‎ 可得：m2+12=16，解得m=2，m=﹣2（舍去）．‎ 所以，双曲线的渐近线方程为：．‎ 则该双曲线的渐近线的斜率：．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最大值为（　　）‎ A．3 B．﹣1 C．﹣4 D．12‎ ‎【解答】解：实数x，y满足约束条件，‎ 表示的平面区域如图所示，‎ 当直线z=4x﹣y过点A时，目标函数取得最大值，‎ 由解得A（3，0），‎ 在y轴上截距最小，此时z取得最大值：12．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得：‎ a=2，s=0，n=1，‎ s=2，a=，‎ 满足条件s＜3，执行循环体，n=2，s=2+=，a=，‎ 满足条件s＜3，执行循环体，n=3，s=+=，a=，‎ 此时，不满足条件s＜3，退出循环，输出n的值为3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知函数的最小正周期为6π，且取图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sinwx的图象，则φ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵函数的最小正周期为6π，‎ ‎∴=6π，则ω=，‎ 则f（x）=sin（x+φ），图象向右平移个单位后得到y=sin[（x﹣）+φ]=sin（x﹣+φ）=sinx，‎ 此时﹣+φ=2kπ，得φ=+2kπ，‎ ‎∵|φ|＜，∴φ=，‎ 故选：A ‎　‎ ‎10．（5分）f（x）=的部分图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵f（﹣x）=f（x）∴函数f（x）为奇函数，排除A，‎ ‎∵x∈（0，1）时，x＞sinx，x2+x﹣2＜0，故f（x）＜0，故排除B；‎ 当x→+∞时，f（x）→0，故排除C；‎ 故选：D ‎　‎ ‎11．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（　　）‎ A．52π B．45π C．41π D．34π ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面ABCD是矩形，其中AB=4，AD=6，侧面PBC⊥底面垂ABCD．‎ 设AC∩BD=O，则OA=OB=OC=OD=，OP=，‎ ‎∴O该多面体外接球的球心，半径R=，∴该多面体外接球的表面积为S=4πR2=52π．‎ 故选：A ‎　‎ ‎12．（5分）设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对于任意实数x，都有f（x）=6x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，2f'（x）+1＜12x若f（m+2）≤f（﹣2m）+12﹣9m2，则m的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B． C． D．[﹣2，+∞）‎ ‎【解答】解：∵f（x）﹣3x2+f（﹣x）﹣3x2=0，‎ 设g（x）=f（x）﹣3x2，‎ 则g（x）+g（﹣x）=0，‎ ‎∴g（x）为奇函数，‎ 又g′（x）=f′（x）﹣6x＜﹣，‎ ‎∴g（x）在x∈（﹣∞，0）上是减函数，从而在R上是减函数，‎ 又f（m+2）≤f（﹣2m）+12m+12﹣9m2‎ 等价于f（m+2）﹣3（m+2）2≤f（﹣2m）﹣3（﹣2m）2，‎ 即g（m+2）≤g（﹣2m），‎ ‎∴m+2≥﹣2m，‎ 解可得：m≥﹣；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）已知向量，，则向量与夹角的余弦值为　　．‎ ‎【解答】解：根据题意，设向量与夹角为θ，‎ 向量，，‎ 则||=2，||=5，且•=2×（﹣3）+（﹣4）×（﹣4）=10，‎ cosθ===，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知数列{an}满足，且a2=2，则a4=　11　．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴=2‎ ‎∴{an+1}是公比q=2的等比数列，‎ 则=22=4，‎ 即=4，则a4+1=3×4=12，‎ 则a4=11，‎ 故答案为：11．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，E，F分别是棱BC，DD1上的点，且DF=FD1，如果B1E⊥平面ABF，则B1E的长度为　　．‎ ‎【解答】解：以D为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线为x，y，z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 可得A（0，3，0），B（3，3，0），F（0，0，），B1（3，3，3），‎ E（3，t，0），‎ 则=（0，t﹣3，﹣3），=（3，0，0），=（﹣3，﹣3，），‎ B1E⊥平面ABF，‎ 可得B1E⊥AB，B1E⊥BF，‎ 即•=0，•=0，‎ 即有0×3+（t﹣3）×0+﹣3×0=0，‎ ‎0×（﹣3）+（t﹣3）×（﹣3）+（﹣3）×=0，‎ 解得t=，‎ 则=（0，﹣，﹣3），‎ 可得B1E的长度为=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知抛物线y2=2x，A，B是抛物线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x00），则x0的取值范围是　（1，+∞）　．（用区间表示）‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M．‎ 直线AB的方程为y=kx+m，（k≠0）‎ 得ky2﹣2y+2m=0‎ ‎，‎ ‎△=4﹣8km＞0⇒km＜‎ xM═，yM=‎ ‎⇒直线PM的方程为y﹣=﹣‎ 令y=0，得x0=‎ ‎∵‎ ‎∴x0=＞1‎ 故答案为：（1，+∞）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=4，，bsinC=2sinB．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵bsinC=2sinB，‎ ‎∴由正弦定理得：bc=2b，即c=2，‎ 由余弦定理得．‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵a=4，c=2，．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）共享单车是指企业的校园，地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，某共享单车企业为更好服务社会，随机调查了100人，统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间（单位：分钟），由统计数据得到如下频率分布直方图，已知骑行时间在[60，80），[20，40），[40，60）三组对应的人数依次成等差数列 ‎（1）求频率分布直方图中a，b的值．‎ ‎（2）若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”，将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”，现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人，再从这5人中任取3人，求恰好1人为“忠实用户”的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由（0.0025×2+0.0075+3a）×20=1‎ 解得a=0.0125，‎ 又b+0.0165=2a=0.0025，∴b=0.0085．‎ ‎（2）“忠实用户”“潜力用户”的人数之比为：（0.0075+0.0025）：（0.0125+0.0025）=2：3，‎ 所以“忠实用户”抽取人，‎ ‎“潜力用户”抽取人，‎ 记事件：从5人中任取3人恰有1人为“忠实用户”‎ 设两名“忠实用户”的人记为：B1，B2，三名“潜力用户”的人记为：b1，b2，b3，‎ 则这5人中任选3人有：‎ ‎（B1，B2，b1），（B1，B2，b2），（B1，B2，b3），（B1，b1，b2），（B1，b1，b3）（B1，b2，b3），‎ ‎（B2，b1，b2），（B2，b1，b3），（B1，b2，b3），（b1，b2，b3），共10种情形，‎ 符合题设条件有：‎ ‎（B1，b1，b2），（B1，b1，b3），（B1，b2，b3），（B2，b1，b2），（B2，b1，b3），（B1，b2，b3）共有6种，‎ 因此恰好1人为“忠实用户”的概率为．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，四边形ABCD是矩形AB=3，PE⊥平面ABCD，PE=．‎ ‎（1）证明：平面PAC⊥平面PBE；‎ ‎（2）设AC与BE相交于点F，点G在棱PB上，且CG⊥PB，求三棱锥F﹣BCG的体积．‎ ‎【解答】证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以△ABC～△BCE，∠BCE=∠ACB，‎ 因为，‎ 所以AC⊥BE，‎ 又PE⊥平面ABCD，所以AC⊥PE，‎ 又面PE∩BE=E，所以AC⊥平面PBE．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 又BC=3，CG⊥PB，‎ 所以G为棱PB的中点，G到平面ABC的距离等于，‎ 由（1）知△ABF～△CEF，所以，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，‎ 由直线MF1的斜率1，得，‎ 因为a2=b2+c2，所以b=1，c=1，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）由题意可得直线MF1方程为y=x+1，联立得，解得N（﹣，﹣），‎ 所以，‎ 因为，即，‎ 所以|QF1|=2|PF1|，‎ 当直线l的斜率为0时，不符合题意，‎ 故设直线l的方程为x=my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 由点P在点Q的上方，且|y2|=|2y1|，‎ 则有y2=﹣2y1，‎ 联立，所以（m2+2）y2﹣2my﹣1=0，所以，‎ 消去y2得，所以，得，‎ 又由画图可知不符合题意，所以，‎ 故直线l的斜率为．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=2（x﹣1）ex．‎ ‎（1）若函数f（x）在区间（a，+∞）上单调递增，求f（a）的取值范围；‎ ‎（2）设函数g（x）=ex﹣x+p，若存在x0∈[1，e]，使不等式g（x0）≥f（x0）﹣x0成立，求p的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由f'（x）=2xex＞0，得x＞0，‎ 所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以a≥0，所以f（a）≥f（0）=﹣2，‎ 所以f（a）的取值范围是[﹣2，+∞）．‎ ‎（2）因为存在x0∈[1，e]，使不等式成立，‎ 所以存在x0∈[1，e]，使成立，‎ 令h（x）=（2x﹣e）ex，从而p≥h（x）min，h'（x）=（2x﹣1）ex，‎ 因为x≥1，所以2x﹣1≥1，ex＞0，所以h'（x）＞0，‎ 所以h（x）=（2x﹣e）ex在[1，e]上单调递增，‎ 所以h（x）min=h（1）=﹣e，所以p≥﹣e，‎ 实数p的取值范围是[﹣e，+∞）．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）‎ ‎（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由得：，‎ ‎∴ρ2=16，‎ 即ρ=±4．‎ ‎∴A、B两点的极坐标为：或．‎ ‎（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=8，‎ 得到普通方程为x2﹣y2=8．‎ 将直线代入x2﹣y2=8，‎ 整理得．‎ ‎∴|MN|==．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．‎ ‎（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；‎ ‎（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1；‎ 当x≤﹣3时，不等式转化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式解集为空集；‎ 当﹣3＜x＜﹣1时，不等式转化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解之得；‎ 当x≥﹣1时，不等式转化为（x+1）﹣（x+3）≤1，恒成立；‎ 综上所求不等式的解集为．‎ ‎（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4恒成立，即|x﹣a|≤x+7，亦即﹣7≤a≤2x+7恒成立，‎ 又因为x∈[0，3]，所以﹣7≤a≤7，‎ 所以a的取值范围为[﹣7，7]．‎ ‎　‎