【数学】2018届一轮复习人教A版函数的单调性与最值教案
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．
知识点一 函数的单调性
1．单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1
f(x2)
2．增函数 减函数 区间D
1．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )
A．y＝ B．y＝cosx
C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x
解析：函数y＝，y＝ln(x＋1)在(－1,1)上都是增函数，函数y＝cosx在(－1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y＝2－x＝()x在(－1,1)上是减函数，故选D.
答案：D
2．(必修①P39A组第3题改编)函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )
A．m> B．m<
C．m>－ D．m<－
解析：若y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.
答案：B
3．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________．
解析：
函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)
知识点二 函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意x∈I，都有
________；
②存在x0∈I，使得________．
①对于任意x∈I，都有
________；
②存在x0∈I，使得________．
结论
M为最大值
M为最小值
答案
f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M
4．函数f(x)＝的值域为________．
解析：当x≥1时，f(x)＝log
x是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；x<1时，f(x)＝2x是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2)．综上，f(x)的值域是(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
5．(必修①P31例4改编)函数f(x)＝在[2,6]上的最大值和最小值分别是________．
解析：函数f(x)＝＝＝2＋在[2,6]上单调递减，所以f(x)min＝f(6)＝＝.
f(x)max＝f(2)＝＝4.
答案：4，
热点一 函数单调性的判断与证明
【例1】 (1)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|
(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
【解析】 (1)当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x∈(0，＋∞
)时，f(x)＝－|x|为减函数．
(2)解：设－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．
【答案】 (1)C
【总结反思】
确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.
已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
证明：方法1：任意取x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2).当≥x1>x2>0时，x1－x2>0,1－<0，有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0)在(0，]上为减函数；
当x1>x2≥时，x1－x2>0,1－>0，有f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
此时，函数f(x)＝x＋(a>0)在[，＋∞)上为增函数；
综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，]上为减函数，在[，＋∞)上为增函数．
方法2：f′(x)＝1－，令f′(x)>0，则1－>0，解得x>或x<－(舍)．令f′(x)<0，则1－<0，解得－0，∴00，则x<1或x>2.
∴函数y＝log (x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝，且开口向上．
∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．
而y＝logu在(0，＋∞)上是单调减函数，
∴y＝log (x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1).
【总结反思】
求函数的单调区间与确定单调性的方法一致
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
求下列函数的单调区间：
(1)y＝x2－x；
(2)y＝3x2－6lnx.
解：(1)设u＝x2－x，则y＝u.
∵u在上为减函数，
在上为增函数，又∵y＝u为减函数，
∴y＝x2－x在上为增函数，在上为减函数．
(2)y′＝6x－＝.
∵定义域为(0，＋∞)，
由y′>0，得x>1，∴增区间为(1，＋∞)．
由y′<0，得00
C．f(x1)>0，f(x2)<0
D．f(x1)>0，f(x2)>0
【解析】 因为f(x)在(1，＋∞)上是增函数，且f(2)＝log22＋＝0，又x1∈(1,2)，所以f(x1)f(2)＝0.
【答案】 B
考向2 解不等式
【例4】 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
【解析】
由题意，得函数f(x)的草图如图所示．
因为f(x－1)>0，所以|x－1|<2，
所以－2x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
(2)f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是( )
A．(8，＋∞) B．(8,9]
C．[8,9] D．(0,8)
(3)已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
解析：(1)因f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1<2<f>f(e)．∴b>a>c.
(2)2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得80，∴f(x)在[1,2]上为增函数，
又f(1)＝5，f(2)＝7.∴f(x)＝3x＋，x∈[1,2]的值域为[5,7]．
答案：(1)(－∞，3) (2)[5,7]
1．单调区间是定义域的子区间，求单调区间定义域优先．
2．熟记各基本初等函数的单调区间，是求单调区间的前提、基础．
3．对于对勾函数y＝x＋(a>0)，单调递增区间：(－∞，－]，[，＋∞)；单调递减区间：[－，0)，(0，]．
4．函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“∪”符号连接．
5．若f(x)具有对称轴x＝a，则在x＝a两侧的对称区间上f(x)具有相反的单调性．
若f(x)具有对称中心(a，b)，则在x＝a两侧的对称区间上f(x)具有相同的单调性．
6．函数图象的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间．
抽象函数的几个解题技巧
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出了一些体现函数特征的式子的一类函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等．它是中学数学中的一个难点，抽象性较强，灵活性大，解决抽象函数问题最重要的一点是要抓住函数中的某些性质，利用数学方法(如赋值法、化归法、数形结合法等)，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹．另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题．本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：
一、利用赋值法求抽象函数的值
【例1】 定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝f(4－x)且f(2－x)＋f(x－2)＝0，则f(2 016)的值为________．
【解析】 由f(2－x)＋f(x－2)＝0，令t＝x－2，代入，有f(－t)＝－f(t)，∴f(x)为奇函数且有f(0)＝0，又f(x＋4)＝f[4－(x＋4)]＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是周期为8的周期函数，∴f(2 016)＝f(0)＝0.
【答案】 0
解题策略：这类抽象函数一般是给出定义域，某些性质及运算式来求特殊值．其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是使抽象问题具体化．
二、利用配凑法证明抽象函数的单调性
【例2】 已知函数f(x)对任意x，y∈R有f(x)＋f(y)＝2＋f(x＋y)，当x>0时，f(x)>2，f(3)＝5.求不等式f(a2－2a－2)<3的解集．
【解】 设x1，x2∈R且x10，∴f(x2－x1)>2，即f(x2－x1)－2>0，∴f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－2>f(x1)，∴f(x2)>f(x1)，故f(x)为增函数，又f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)－2＝3f(1)－4＝5，∴f(1)＝3，∴f(a2－2a－2)<3＝f(1)，即a2－2a－2<1，∴－1
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