浙江省绍兴一中2020届高三上学期期末考试数学试题

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浙江省绍兴一中2020届高三上学期期末考试数学试题

绍兴一中2019学年第一学期高三期末考试(数学)‎ 命题:高三数学备课组 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.已知集合,,则为( ▲ )‎ A. B.   C.   D. ‎ ‎2.若复数的模为,则实数的值为( ▲ )‎ ‎ A. 1 B.   C.   D. ‎ ‎3.某几何体的三视图如下图所示,它的体积为( ▲ ) ‎ A. B.   C. D. ‎4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S5=2 S10,则( ▲ ) A. B.   C. D. ‎ ‎5.已知、是抛物线上异于原点的两点,则“·=‎0”‎是“直线恒过定点()”的( ▲ )‎ ‎ A.充分非必要条件 B.充要条件 ‎ C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 ‎6.数列中,恰好有6个7,3个4,则不相同的数列共有( ▲ )个 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知双曲线,则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是( ▲ ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知函数若方程有四个不同的实数 根,,,,则的取值范围为( ▲ ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知都是正实数,则的最大值为( ▲ )‎ A. B.   C. D. ‎ ‎10.已知在矩形中,,,,分别在边,上,且,,如图所示, 沿将四边形翻折成,则在翻折过程中,二面角的大小为,则的最大值为( ▲ )‎ A. ‎ 非选择题部分 二、填空题(本大题7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.)‎ ‎11.已知函数,则 ▲ ,的值等于 ▲ .‎ ‎12.已知点P(x,y)满足条件的最大值为12,‎ 则 ▲ .‎ ‎13.如果x+x2+x3+……+x9+x10=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+……+a9(1+x)9+a10(1+x)10,则a9=______ _,= ▲ .‎ ‎14.已知A袋内有大小相同的1个红球和3个白球,B袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从A、B两个袋内各任取2个球,设取出的4个球中红球的个数为,则 ‎ ‎ ▲ ,的数学期望为 ▲ .‎ ‎15.抛物线顶点为,焦点为,是抛物线上的动点,则取最大值时M点的横坐标为 ▲ .‎ ‎16.已知中,中点为M,,,‎ ‎,,则 = ▲ , ▲ .‎ ‎17.已知函数,则函数的值域是 ▲ . ‎ 三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎18.(本题满分14分)‎ 在中,所对边分别为.已知 ‎ ‎(Ⅰ)求单调递减区间和最大值;‎ ‎(Ⅱ)若求面积的最大值.‎ ‎19.(本小题满分15分)‎ 如图,是等腰梯形, ,,矩形和所在的平面互相垂直.已知,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20、(本小题满分15分)‎ 已知数列的前n项和满足:. ‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,数列的前n项和为Tn .‎ 求证:.‎ ‎21、(本小题满分15分)‎ 已知圆S:,T是抛物线的焦点,点P是圆S上的动点,为PT的中点,过作GPT交PS于G ‎(1)求点G的轨迹C的方程;‎ ‎(2)过抛物线的焦点E的直线交G的轨迹C于点M、N,且满足 ‎,(O为坐标原点),求直线的方程.‎ ‎22.(本小题满分15分)‎ 对于定义在上的函数,若存在,对任意的,都有或者,则称为函数在区间上的“最小值”或“最大值”. ‎ ‎(Ⅰ)求函数在上的最小值;‎ ‎(Ⅱ)若把“最大值”减去“最小值”的差称为函数在上的“和谐度”, 试求函数在上的“和谐度”;‎ ‎(Ⅲ)类比函数的“和谐度”的概念, 请求出 在上的“和谐度”.‎ 参考答案:‎ CDBDB CCCBC ‎11.【答案】2021,-4042.‎ ‎12.【答案】‎ ‎13.【答案】-9,1‎ ‎14.【答案】 ,‎ 可能的取值为.,,‎ ‎.从而.‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ m n 的数学期望.‎ ‎15.【答案】1.‎ ‎【解析】设抛物线方程为,则顶点及焦点坐标为,,若设点坐标为 ‎,则=‎ 令得,,由得,‎ 由得。‎ ‎16.【答案】,‎ ‎【解析】由得: ,即2,‎ 故。由得:‎ ‎,即,也即,所以的形状为等腰直角三角形(如图)。在中,由余弦定理得。‎ ‎17.【答案】.‎ ‎【解析】设,则所以直线 与圆有公共点,从而有得于是,得得 ‎18.【解析】(Ⅰ) .........3分 设 解得 所以函数的单调减区间为.........6分 函数的最大值为.........8分 ‎(Ⅱ)且当时取得最大值,‎ ‎.........10分 ‎.........12分 等号当且仅当时成立. ‎ 所以面积的最大值为.........14分 ‎19.(Ⅰ)证明:平面平面,‎ 平面平面=,‎ ‎,‎ 平面,‎ 平面.‎ 平面,‎ ‎,‎ 又 ,‎ 平面.‎ 平面,平面平面. ‎ ‎(Ⅱ)方法一:‎ 根据(Ⅰ)的证明,有平面,为在平面上的射影,‎ 因此,为直线与平面所成的角. ‎ ‎,四边形为等腰梯形,‎ 过点作,交于.‎ ‎,,则.‎ 在中,根据三角形相似(或射影定理)得 ‎,解得. ‎ ‎.‎ 直线与平面所成角的大小为. ‎ 方法二:略 ‎20【解析】(Ⅰ),∴,即 ‎∴‎ 当时,,得,即是等比数列; ‎ ‎∴ . ‎ ‎(Ⅱ)证明: ‎ ‎, ‎ 由得 所以, ‎ 从而 ‎.‎ 即. ‎ ‎21、【解析】(1)由题意得:T(2,0),且是PT的中垂线.∴‎ 又,‎ ‎∴点G的轨迹是以S、T为焦点的椭圆,‎ ‎∴的轨迹C的方程是 ⑵由题意得:E(-2,0),当直线的斜率存在时,设:,代入并整理得:,设,‎ 则,‎ ‎∴,‎ ‎ 点到直线的距离.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ‎ 而,∴,即,‎ ‎ 解得,此时 ,‎ 当直线的斜率不存在时,:,也有,‎ 故直线的方程为 ‎ ‎22解:(Ⅰ) 令,则, ‎ ‎ 显然,,列表有:‎ x ‎ 0‎ ‎ (0, x1)‎ x1‎ ‎ (x1, 1)‎ ‎ 1‎ ‎ ‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎↘‎ ‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ 1‎ ‎ 所以,在上的“下确界”为 . ……………4分 ‎(Ⅱ)①当时,, ,‎ 和谐度;‎ ‎②当时,,, ‎ 和谐度;‎ ‎③当时, ,,‎ 和谐度; ‎ ‎④当时, , ‎ 和谐度 ; ‎ ‎ ⑤当时,,,‎ ‎ 和谐度 ; ‎ ‎⑥当时, , ,‎ 和谐度.‎ 综上所述: ………………10分(每一项得1分)‎ ‎(Ⅲ) 因为,‎ ‎ 当或时等号成立,所以的最大值为1. ………………11分 令,则 令,则 ‎,‎ 令,得是的极大值点,也是的最大值点,‎ ‎,从而, ‎ ‎ 所以 ………………13分 ‎ 当时等号成立,所以的最小值为.‎ ‎ ………………14分 ‎ 由此 ………………………………15分
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