2019届二轮复习小题专练 椭圆、双曲线、抛物线作业（全国通用）
小题专练·作业(十三) 椭圆、双曲线、抛物线
1．方程 x2
m－2
＋ y2
m＋3
＝1 表示双曲线的一个充分不必要条件
是( )
A．－3
0，b>0)，直线 l：y＝2x－2。
若直线 l 平行于双曲线 C 的一条渐近线且经过 C 的一个顶点，则
双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为( )
A．1 B．2
C． 5 D．4
解析 由题意可知，双曲线的一个顶点为(1,0)，所以 a＝1，
又b
a
＝2，所以 b＝2，c＝ 5，则焦点( 5，0)到渐近线 y＝2x 的距
离 d＝ 2 5
22＋12
＝2。
答案 B
4．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点(－
2,0)且斜率为2
3
的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM→ ·FN→＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 解法一：根据题意，过点(－2,0)且斜率为2
3
的直线方
程为 y＝2
3(x＋2)，与抛物线方程联立
y＝2
3x＋2，
y2＝4x，
消元整理
得：y2－6y＋8＝0，解得 M(1,2)，N(4,4)，又 F(1,0)，所以FM→ ＝(0,2)，
FN→＝(3,4)，从而可以求得FM→ ·FN→＝0×3＋2×4＝8。故选 D。
解法二：过点(－2,0)且斜率为2
3
的直线的方程为 y＝2
3(x＋2)，
由
y＝2
3x＋2，
y2＝4x，
得 x2－5x＋4＝0，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则 y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得 x1＋x2＝5，x1x2＝4。
易知 F(1,0)，所以FM→ ＝(x1－1，y1)，FN→＝(x2－1，y2)，所以FM→ ·FN→
＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4 x1x2＝4－5＋1＋8
＝8。故选 D。
答案 D
5．双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，左、右焦点
分别为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点，∠F1PF2 的平分线为 l，
点 F1 关于 l 的对称点为 Q，|F2Q|＝2，则双曲线的方程为( )
A．x2
2
－y2＝1 B．x2－y2
2
＝1
C．x2－y2
3
＝1 D．x2
3
－y2＝1
解析
由∠F1PF2 的平分线为 l，点 F1 关于 l 的对称点为 Q，可得
直线 l 为 F1Q 的垂直平分线，且 Q 在 PF2 的延长线上，可得|PF1|
＝|PQ|＝|PF2|＋|F2Q|，即|PF1|－|PF2|＝|F2Q|，由双曲线的定义可
得|PF1|－|PF2|＝2a，由|F2Q|＝2，可得 a＝1，由 e＝c
a
＝ 3，可得
c＝ 3，则 b＝ c2－a2＝ 2，则双曲线的方程为 x2－y2
2
＝1。故选
B。
答案 B
6．(2018·全国卷Ⅲ)设 F1，F2 是双曲线 C：x2
a2－y2
b2＝1(a>0，
b>0)的左，右焦点，O 是坐标原点。过 F2 作 C 的一条渐近线的
垂线，垂足为 P。若|PF1|＝ 6|OP|，则 C 的离心率为( )
A． 5 B．2
C． 3 D． 2
解析 不妨设一条渐近线的方程为 y＝b
ax，则 F2 到 y＝b
ax 的
距离 d＝ |bc|
a2＋b2
＝b，在 Rt△F2PO 中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，
所以|PF1|＝ 6a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO 与 Rt△F2PO 中，
根据余弦定理得 cos∠POF1＝a2＋c2－ 6a2
2ac
＝－cos∠POF2＝－
a
c
，即 3a2＋c2－( 6a)2＝0，得 3a2＝c2，所以 e＝c
a
＝ 3。故选 C。
答案 C
7．(2018·湖南湘东五校联考)已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的
左，右焦点分别为 F1、F2，P 是椭圆上一点，△PF1F2 是以 F2P
为底边的等腰三角形，且 60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率
的取值范围是( )
A．
3－1
2
，1 B．
3－1
2
，1
2
C．
1
2
，1 D． 0，1
2
解析 由题意可得，|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos
∠ PF1F2 ＝ 4c2 ＋ 4c2 － 2·2c·2c·cos ∠ PF1F2 ， 即 |PF2| ＝
2 2 c· 1－cos∠PF1F2 ， 所 以 a ＝ |PF1|＋|PF2|
2
＝ c ＋
2c· 1－cos∠PF1F2，又 60°<∠PF1F2<120°，所以－1
20，b>0)的右焦点 F(c,0)到一条渐近线的距离为 3
2 c，则
其离心率的值是________。
解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为 y＝b
ax，所以
|bc|
a2＋b2
＝b＝ 3
2 c，所以 b2＝c2－a2＝3
4c2，得 c＝2a，所以双曲线
的离心率 e＝c
a
＝2。
答案 2
10．(2018·广东五校联考)已知椭圆 C：x2
2
＋y2＝1 的两焦点
为 F1，F2，点 P(x0，y0)满足 0b>0)，双曲
线 N：x2
m2－y2
n2＝1。若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交
点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的
离心率为________；双曲线 N 的离心率为________。
解析 设椭圆的右焦点为 F(c,0)，双曲线 N 的渐近线与椭圆
M 在第一象限内的交点为 A，由题意可知 A
c
2
， 3c
2 ，由点 A 在
椭圆 M 上得， c2
4a2＋3c2
4b2＝1，所以 b2c2＋3a2c2＝4a2b2，因为 b2＝
a2－c2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以 4a4－8a2c2＋c4
＝0，所以 e4椭－8e2椭＋4＝0，所以 e2椭＝4±2 3，所以 e 椭＝ 3＋1(舍
去)或 e 椭＝ 3－1，所以椭圆 M 的离心率为 3－1，因为双曲线
的渐近线过点 A
c
2
， 3c
2 ，所以渐近线方程为 y＝ 3x，所以n
m
＝
3，故双曲线的离心率 e 双＝ m2＋n2
m2
＝2。
答案 3－1 2
12．双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为
“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区
域内，则双曲线离心率 e 的取值范围是( )
A． 1， 5
2 B．
5
2
，＋∞
C． 1，5
4 D．
5
4
，＋∞
解析 依题意，双曲线x2
a2－y2
b2＝1 的渐近线方程为 y＝±b
ax，
且“右”区域是由不等式组
y－b
ax
所确定的，又点(2,1)在
“右”区域内，于是有 1<2b
a
，即b
a>1
2
，因此该双曲线的离心率 e
＝ 1＋
b
a 2∈
5
2
，＋∞ 。故选 B。
答案 B
13．(2018·福建六校联考)已知抛物线 E：y2＝2px(p>0)的焦
点为 F，过 F 且斜率为 1 的直线交 E 于 A，B 两点，线段 AB 的
中点为 M，其垂直平分线交 x 轴于点 C，MN⊥y 轴于点 N。若四
边形 CMNF 的面积等于 7，则抛物线 E 的方程为( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析 由题意，得 F
p
2
，0 ，直线 AB 的方程为 y＝x－p
2
，设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立 y＝x－p
2
和 y2＝2px 得，y2
－2py－p2＝0，则 y1＋y2＝2p，所以 y0＝y1＋y2
2
＝p。故 N(0，p)，
又因为点 M 在直线 AB 上，所以 x0＝3p
2
，即 M
3p
2
，p ，因为 MC
⊥AB，所以 kAB·kMC＝－1，故 kMC＝－1，从而直线 MC 的方程为
y＝－x＋5
2p，令 y＝0，得 x＝5
2p，故 C
5p
2
，0 ，四边形 CMNF 是
梯形，则 S 四边形 CMNF＝1
2(|MN|＋|CF|)·|NO|＝1
2
3
2p＋2p ·p＝7
4p2＝7，
所以 p2＝4，又 p>0，所以 p＝2，故抛物线 E 的方程为 y2＝4x。
故选 C。
答案 C
14．已知椭圆x2
9
＋y2
5
＝1 的右焦点为 F，P 是椭圆上一点，点
A(0,2 3)，当△APF 的周长最大时，△APF 的面积等于________。
解析 由椭圆x2
9
＋y2
5
＝1 知 a＝3，b＝ 5，c＝ a2－b2＝2，
在 Rt△AOF 中，|OF|＝2，|OA|＝2 3，则|AF|＝4。设椭圆的左焦
点为 F1，则△APF 的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－
|PF1|＝4＋6＋|PA|－|PF1|≤10＋|AF1|(当且仅当 P 在线段 AF1 的延
长线上时取“＝”)。下面求当△APF 周长最大时 P 的纵坐标：
易知 AF1 的方程为 x
－2
＋ y
2 3
＝1，与椭圆的方程 5x2＋9y2－45＝0
联立并整理得 32y2－20 3y－75＝0，解得 yP＝－5 3
8 (正值舍去)。
则 △ APF 的 周 长 最 大 时 ， S △ APF ＝ 1
2 |F1F|·|yA － yP| ＝
1
2
×4×|2 3＋5 3
8 |＝21 3
4
。
答案 21 3
4
15．已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，
过 F1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，直线 AF2 与椭圆
的另一个交点为点 C，若 S△ABC＝3S△BCF2，则椭圆的离心率为
________。
解析
解法一：如图所示，因为 S△ABC＝3S△BCF2，所以|AF2|＝
2|F2C|。A
－c，b2
a ，直线 AF2 的方程为 y－0＝
b2
a
－0
－c－c
(x－c)，化
为 y＝－b2
2ac (x－c)，代入椭圆方程x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，可得(4c2＋
b2)x2－2cb2x＋b2c2－4a2c2＝0，所以 xC·(－c)＝b2c2－4a2c2
4c2＋b2
，解得
xC＝4a2c－b2c
4c2＋b2
。因为AF2
→ ＝2F2C→ ，所以 c－(－c)＝2
4a2c－b2c
4c2＋b2
－c 。
化为 a2＝5c2，解得 e＝ 5
5
。
解法二：依题意可得，AF2
→ ＝2F2C→ ，所以 F2 为 AC 的三等分
点。又 A
－c，b2
a ，所以 C 2c，－b2
2a 。将 C 2c，－b2
2a 代入椭圆
方程得4c2
a2 ＋ b4
4a2·b2＝1，得c2
a2＝1
5
，所以 e＝ 5
5
。
答案 5
5
