高一数学（人教A版）必修4能力提升：1-6 三角函数模型的简单应用

高一数学（人教A版）必修4能力提升：1-6 三角函数模型的简单应用

能 力 提 升 一、选择题 ‎1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　)‎ A. B．50‎ C. D．100‎ ‎[答案]　A ‎2．如图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为(　　)‎ A．I＝300sin B．I＝300sin C．I＝300sin D．I＝300sin ‎[答案]　C ‎[解析]　由图象得周期T＝2＝，最大值为300，经过点 ，‎ 则ω＝＝100π，A＝300，∴I＝300sin(100πt＋φ)．‎ ‎∴0＝300sin.‎ ‎∴sin＝0，取φ＝.‎ ‎∴I＝300sin.‎ ‎3．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　因为周期T＝，所以＝＝2π，‎ 则l＝.‎ ‎4．如图为一半径为‎3 m的水轮，水轮圆心O距离水面‎2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　)‎ A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3‎ C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由于每分钟转4圈，故T＝min＝15 s，‎ ‎∴ω＝＝.又半径为3，故A＝3.‎ ‎5．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为(秒)时的电流强度为(　　)‎ A．0 B．－‎5 ‎ C．10 D．－10 ‎[答案]　A ‎[解析]　由图知，A＝10，函数的周期 T＝2＝，‎ 所以ω＝＝＝100π，将点代入I＝10sin(100πt＋φ)得φ＝，故函数解析式为I＝10sin，再将t＝代入函数解析式得I＝0.‎ ‎6．设y＝f(x)是某港口水的深度y(m)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t与水深y的关系：‎ t ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y ‎12‎ ‎15.1‎ ‎12.1‎ ‎9.1‎ ‎11.9‎ ‎14.9‎ ‎11.9‎ ‎8.9‎ ‎12.1‎ 经长期观测，函数y＝f(x)的图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(　　)‎ A．y＝12＋3sint，t∈[0,24]‎ B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]‎ C．y＝12＋3sint，t∈[0,24]‎ D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由已知数据，易得y＝f(t)的周期T＝12.‎ ‎∴ω＝＝.‎ 由已知易得振幅A＝3，k＝12，‎ 又t＝0时，y＝12，‎ ‎∴令×0＋φ＝0得φ＝0，‎ 故y＝12＋3sint，t∈[0,24]．故选A.‎ 二、填空题 ‎7．已知x∈(0,2π)，cosx＝－，则x＝________.‎ ‎[答案]　或 ‎8．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要______s往返一次．‎ ‎[答案]　0.8‎ ‎[解析]　由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次．‎ 三、解答题 ‎9．每当你的心脏跳动时，血压就会升高，而在两次跳动之间，血压就会降低，某人的血压与时间的关系可由函数p(t)＝90＋20sin120πt来模拟．‎ ‎(1)求此函数的振幅、周期和频率；‎ ‎(2)画出此函数的图象；‎ ‎(3)如果一个人正在锻炼，他的心脏跳动加快了，这会怎样影响p的周期和频率？‎ ‎[解析]　(1)振幅为20，周期T＝＝，频率f＝＝60‎ ‎(2)‎ ‎(3)周期变小，而频率变大 ‎10．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．‎ 设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：‎ ‎(1)求函数p(t)的周期；‎ ‎(2)求此人每分钟心跳的次数；‎ ‎(3)求出此人的血压和血压计上的读数，并与正常值比较．‎ ‎[解析]　(1)T＝＝＝min.‎ ‎(2)f＝＝80次．‎ ‎(3)p(t)max＝115＋25＝140 mmHg，‎ p(t)min＝115－25＝90 mmHg.‎ 即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg，比正常值高．‎ ‎11．如图，牡丹江市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)．‎ ‎(1)求这一天最大的温差；‎ ‎(2)求这段曲线的函数解析式．‎ ‎[解析]　(1)由图象得这一天的最高温度是－‎2℃‎，最低温度是－‎12℃‎，‎ 则这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．‎ ‎(2)由(1)得解得A＝5，b＝－7.‎ 由图象得函数的周期T＝2(14－6)＝16，‎ 则＝16，解得ω＝.‎ 所以y＝5sin－7.‎ 由图象知点(10，－7)在函数的图象上，‎ 则－7＝5sin－7，‎ 整理得sin＝0，‎ 又|φ|<，则φ＝－.‎ 则这段曲线的函数解析式是 y＝5sin－7(6≤x≤14)．‎