湖南省浏阳一中株洲二中等湘东七校2020届高三12月联考数学（文）试题

湖南省浏阳一中株洲二中等湘东七校2020届高三12月联考数学（文）试题

湖南省湘东七校2019年下期高三联考 文科数学试题 总分：150分 时量：120分钟 考试时间：‎‎2019年12月8日 由株洲二中·浏阳一中·攸县一中·株洲八中·株洲四中·九方中学·醴陵一中联合命题 姓名 考号 ‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1、集合,，则（ ） A. B. C. D.‎ ‎2、复数满足，则( ) A. 2 B. C.1 D.‎ ‎3、已知条件，条件，则是成立的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎4、《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每个人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的七分之一是较小的两份之和，则最大一份的个数为（ ）‎ ‎ A.2 B‎.15 ‎C.32 D.46‎ ‎5、函数（）在处取得最大值，则( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C.是偶函数 D.是奇函数 ‎6、已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）‎ ‎ A. 2 B. C. D.‎ ‎7、在中，，点满足，则( ) A. B. C. 4 D.8‎ ‎8、已知在处取得极值，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9、,则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10、函数的图象大致为( )‎ ‎ ‎ ‎11、过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，与左支交于点，若，则的离心率为( ) A. B‎.2 ‎C. D.5‎ ‎12、已知函数，若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．‎ ‎13、已知与之间的一组数据如下表所示：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当变化时，回归直线必经过定点 ．‎ ‎14、若满足约束条件，则的最大值等于 ．‎ ‎15、已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为 ．‎ ‎16、如图在中，，为边上一点．若，则的取值范围为 ．‎ ‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17、（本小题满分12分）某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如下：‎ 男性观众 女性观众 ‎（Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？‎ 喜欢节目A 不喜欢节目A 总计 男性观众 女性观众 总计 ‎60‎ ‎（Ⅱ）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面是梯形，且平面，是中点，．‎ ‎ （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，求三棱锥的高．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19、（本小题满分12分）已知数列的前项和为，．‎ ‎（Ⅰ）求证：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）若，设数列的前n项和为Tn，求T2n. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上两点，圆.‎ ‎（Ⅰ）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆的半径为2，点满足，求直线被圆截得弦长的最大值. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21、（本小题满分12分）已知函数，．‎ ‎ (Ⅰ)讨论函数的单调性；‎ ‎ (Ⅱ)当时，≤恒成立，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．‎ ‎22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）写出的极坐标方程； （Ⅱ）设曲线经伸缩变换后得到曲线，曲线（）分别与和交于,两点，求．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23、‎ ‎（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式的解集为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设关于的方程（）有实数根，求实数的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 湖南省湘东七校2019年下期高三联考 文科数学试题答案及评分参考 ‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． ‎ ‎ 1、C 2、B 3、C 4、D 5、A 6、B ‎ 7、D 8、C 9、B 10、C 11、C 12、D ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12.解析:因为函数，所以方程无实根等价于函数的图像与直线无交点.由图像知，若，则直线与曲线必有交点，则.设直线与曲线相切时，切点为，由，得解得，则，所以切线方程为得.由图像知实数的取值范围为，选D ‎ ‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． ‎ ‎ 13、 14、2 15、 16、 ‎ ‎15.解析：易知球心在两四棱锥顶点连线的中点，设体积较小的锥体的高为，则 解得，半径为，所以表面积为 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎ ‎ ‎17、本小题主要考查等高条形图、独立性检验、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）由题意得列联表如下：‎ 喜欢节目A 不喜欢节目A 总计 男性观众 ‎24‎ ‎6‎ ‎30‎ 女性观众 ‎15‎ ‎15‎ ‎30‎ 总计 ‎39‎ ‎21‎ ‎60‎ ‎ 3分 假设喜欢娱乐节目A与观众性别无关，‎ 则的观测值， 5分 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关．‎ ‎ 6分 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为，‎ 不喜欢节目A的人数为． 7分 被抽取的喜欢娱乐节目A的4名分别记为；不喜欢节目A的1名记为．‎ 则从5名中任选2人的所有可能的结果为：，共有10种． 9分 其中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的有，共4种．…… 10分 所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的观众的概率是：．…… 12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18、本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱锥的高等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．‎ ‎（Ⅰ）证明：取的中点，连结，如图所示．‎ 因为点是中点，‎ 所以且． 1分 又因为且，‎ 所以且， 2分 所以四边形为平行四边形，‎ 所以， 3分 因为平面，平面，‎ 所以． 4分 所以． 5分 ‎（Ⅱ）解：设点为的中点，连结，如图所示，‎ 因为，‎ 由（Ⅰ）知， 6分 又因为，所以， ‎ 所以 7分 所以为正三角形， 8分 所以，且． 9分 因为平面，，‎ 所以平面． 10分 因为平面，‎ 所以， 11分 又因为，所以平面．‎ 所以三棱锥的高为． 12分 ‎19、本小题主要考查与的关系、等差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）证明：因为当时，，‎ 所以． 1分 所以, 2分 因为所以，所以， 3分 所以． 4分 所以是以为首项，以1为公差的等差数列． 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以. 8分 ‎ 9分 ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎ 12分 ‎ ‎ ‎20、解：（Ⅰ）因为椭圆的方程为，所以，. ...............1分 因为轴，所以，而直线与圆相切，‎ 根据对称性，可取， ...............2分 则直线的方程为，即. ......3分 由圆与直线相切，得，所以圆的方程为. ...............5分 ‎（Ⅱ）易知，圆的方程为.‎ ‎①当轴时，，所以，‎ 此时得直线被圆截得的弦长为. ...............7分 ‎ ‎ ‎②当与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ ‎，‎ 首先由，得，‎ 即，所以（*）. ..........9分 联立，消去，得，在时 代入（*）式，得. ……………10分 由于圆心到直线的距离为，‎ 所以直线被圆截得的弦长为，故当时，有最大值为.‎ 综上，因为，所以直线被圆截得的弦长的最大值为. ……………12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21、解：(Ⅰ)的定义域为， ...............1分 若则在上单调递增， ...............2分 若则由得，当时，当时，，‎ 在上单调递增，在单调递减.‎ 综上：当时，在上单调递增，‎ 当时， 在上单调递增，在单调递减. ...............5分 ‎(Ⅱ),‎ 令,‎ ‎,令,...............7分 ‎ . ..............8分 ‎(2),‎ 以下论证同（1）一样，所以不符合题意 ................10分 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 综上所述，的取值范围是 ...............12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．‎ ‎ ‎ ‎22、选修；坐标系与参数方程 本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．‎ 解：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程为，‎ 即， 2分 将代入，得， 4分 所以的极坐标方程为． 5分 （Ⅱ）将代入得，‎ 所以的方程为． 7分 的极坐标方程为，所以．‎ 又，所以． 10分 ‎23、选修：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．‎ 解：（Ⅰ）由得，‎ 或 2分 解得．依题意． 5分 ‎（Ⅱ）因为 当且仅当时取等号， 7分 因为关于的方程（）有实数根，‎ 所以． 8分 另一方面，，所以， 9分 所以或． 10分 ‎ ‎ ‎ ‎