2019-2020学年河南省豫西名校高二上学期第二次联考数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年河南省豫西名校高二上学期第二次联考数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省豫西名校高二上学期第二次联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A．若，则或 B．若，则 C．若或，则 D．若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】直接利用逆否命题的定义解答即可.‎ ‎【详解】‎ 根据逆否命题的定义得，‎ 命题“若，则”的逆否命题是“若或，则”‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查逆否命题的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2．已知集合，则等于（ ）‎ A．3 B．1 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出的值，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意知、是方程的两根，‎ 代入解得，.‎ 所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎3．已知点满足方程，点P的轨迹是（ ）‎ A．圆 B．线段 C．椭圆 D．射线 ‎【答案】B ‎【解析】等价于点到、两点距离的和为10，由|AB|=10即得解.‎ ‎【详解】‎ 方程表示点到、两点距离的和为10，‎ 因为,‎ 所以点P的轨迹是线段AB．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查动点的轨迹和两点间的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎4．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是(　　)‎ A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 ‎【答案】A ‎【解析】利用命题的定义即可判断出答案．‎ ‎【详解】‎ 由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 正确理解命题的定义是解题的关键．‎ ‎5．已知椭圆，直线l：（），直线l与椭圆的位置关系是（ ）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 ‎【答案】C ‎【解析】由题得直线过定点（0，1），而该定点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交.‎ ‎【详解】‎ 由题意知l：（）恒过点，‎ 因为，所以点（0,1）在椭圆内部，‎ 所以直线l与椭圆相交．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查点和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理得 ，所以“”是“”的充要条件，选C.‎ ‎7．已知点P是椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若为直角三角形，则满足条件的点P个数共有（ ）‎ A．8 B．6 C．4 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时有两个，当或时，有4个．即得解.‎ ‎【详解】‎ 当点P在短轴顶点时，由于，,此时满足已知的有两个；‎ 当或时，有4个．‎ 所以满足条件的点P个数共有6个．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8．下列说法正确的是（ ）‎ A．命题“若．则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题是一个真命题 B．命题“负数的平方是正数”是特称命题 C．命题“设a，，若，则或”是一个真命题 D．常数数列既是等差数列也是等比数列 ‎【答案】C ‎【解析】对每一个命题逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ A. 命题“若．则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题是“a，b中至少有一个不小于1，则”是一个假命题，如但是.‎ B. 命题“负数的平方是正数”是一个全称命题，因为它表示“任意一个负数的平方是正数”.所以该命题是假命题.‎ C. 命题“设a，，若，则或”的逆否命题是“ 且，则” ，由于其逆否命题是真命题，所以原命题是真命题.‎ D. 常数数列既是等差数列也是等比数列,是假命题，如常数列的常数为0,则不是等比数列.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查四种命题及其关系，考查全称命题和特称命题，考查等差数列和等比数列的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9．已知直线l与椭圆交于A，B两点，且点是弦AB的中点，则直线l的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用点差法求出，即得直线AB的方程.‎ ‎【详解】‎ 设A，B的坐标分别为，，‎ 由点差法得．‎ ‎，‎ 所以直线l的方程为即．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查点差法和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10．已知数列的前n项和为，，（，），当取最大值时，则n的值为（ ）‎ A．672 B．673 C．674 D．675‎ ‎【答案】C ‎【解析】先利用得到数列是以为首项，为公差的等差数列，求出即得解.‎ ‎【详解】‎ 当时， ‎ ‎ ，‎ 所以数列是以为首项，为公差的等差数列．‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以当时，取最大值为3．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的判定和等差数列的通项的求法，考查数列的通项和前n项和的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎11．椭圆（）的左、右焦点分别是，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线恰好与圆相切于点P，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得圆的方程为，分析得到，解方程即得解.‎ ‎【详解】‎ 圆的方程为，‎ 因为恰好与圆相切点于P，所以 可得，‎ ‎．‎ ‎．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】化简已知得,根据已知求出的范围和，即得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得．‎ ‎．‎ ‎，因为，，‎ ‎，‎ 所以．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理边角互化，考查三角恒等变换和余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 二、填空题 ‎13．已知方程表示椭圆，则该椭圆的焦点坐标为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】判断椭圆的焦点所在的轴即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意知焦点在y轴上．‎ 因为，‎ 所以椭圆的焦点坐标为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14．若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围为______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】试题分析： 由命题“，使得”为假命题，得其否定命题：“，使得”是真命题；‎ 即不等式在上恒成立，‎ 当时，不等式为，显然它在上恒成立；‎ 当时，必须且只需，解得：，‎ 综上所述，实数的取值范围为．‎ 故答案应填：．‎ ‎【考点】特称命题与全称命．‎ ‎15．数列满足，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得,再利用累加法求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查累加法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16．已知椭圆（）的离心率，直线交椭圆于M，N两点，O为坐标原点，且，则椭圆短轴长的最小值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，由和韦达定理求出，再根据求出椭圆短轴长的最小值.‎ ‎【详解】‎ 设，，由，‎ 化简得 ‎，‎ 代入解得，‎ ‎．‎ ‎，所以椭圆短轴长的最小值是．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 三、解答题 ‎17．设p：实数x满足，q：实数x满足．‎ ‎（1）当时，命题为真命题，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若p是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】（1）先化简命题p和q,再根据命题为真命题求出实数x的取值范围；（2）先求出和，再根据已知得到或，解不等式即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由p得．，‎ 由q得：，，又由命题为真命题，‎ 所以实数x的取值范围为：.‎ ‎（2）由p得：，由得：‎ 是的充分不必要条件，或，‎ 因为 或 所以实数a的取值范围为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解法，考查复合命题的真假，考查充要条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ‎（1）证明：是直角三角形：‎ ‎（2）BM平分角B交AC于点M，且，，求．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）化简得，即得证；（2）记，在中，得到，化简解方程即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，，所以是直角三角形 ‎（2）记，则，在中，，‎ 在中，，‎ ‎，即 或（舍），所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换和正弦定理解三角形，考查二倍角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19．已知方程（）表示焦点在y轴上的椭圆Ω．坐标原点为O．该椭圆与直线l：相交于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆O的方程；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）解不等式组即得m的值，即得椭圆的方程；（2）先计算出到直线l的距离，再计算出弦长|AB|,即得的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，解得，所以椭圆Ω的方程为：．‎ ‎（2）由（1）知直线l方程为：，‎ 到直线l的距离为：，‎ 由，化简得．，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以的面积为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20．已知数列满足：，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题得，再利用项和公式求数列的通项公式；（2）由题得，再利用错位相减法求数列的前n项和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令 当时，‎ 当时，‎ 当时，满足，‎ 所以的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得 ‎①．‎ ‎②‎ 由①减去②得 所以的前n项和．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21．某乡镇政府为了解决农村教师的住房问题，计划征用一块土地盖一幢建筑总面积为10000公寓楼（每层的建筑面积相同）．已知士地的征用费为，土地的征用面积为第一层的倍，经工程技术人员核算，第一层建筑费用为，以后每增高一层，其建筑费用就增加，设这幢公寓楼高层数为n，总费用为万元．（总费用为建筑费用和征地费用之和）‎ ‎（1）若总费用不超过835万元，求这幢公寓楼最高有多少层数？‎ ‎（2）试设计这幢公寓的楼层数，使总费用最少，并求出最少费用．‎ ‎【答案】（1）16；（2）设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元 ‎【解析】（1）先求出土地的征用的费用和建筑费用，再求总费用为=，解不等式即得解；（2）利用基本不等式求最少费用.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）每层建筑面积，土地的征用的费用万元；‎ 建筑费用；‎ ‎，，即．‎ ‎（），所以这幢公寓楼最高可以盖16层；‎ ‎（2）由（1）知 当且仅当时，即，为最小值．‎ 所以设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数和不等式的应用，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎22．椭圆E：（）的离心率为，右焦点为F，上顶点为B，且．‎ ‎（1）求椭圆E的方程：‎ ‎（2）是否存在直线l，使得l交椭圆E于M，N两点，且F恰是的垂心？若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由，‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，，见解析 ‎【解析】(1)解方程即得解；（2）设l的方程为，利用求出m的值检验即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知：解得，，‎ 所以椭圆E的方程为；‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ 假设存在直线l，使得F是的垂心，则．‎ 设l的斜率为k，则，，‎ 设l的方程为，，，‎ 由，得，‎ ‎，得．‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 即，‎ 整理得 整理得，解得或．‎ 当时，直线MN过点B，不能构成三角形，舍去；‎ 当时，满足，‎ 所以存在直线l，使得F是的垂心，‎ 所以l的方程为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎