【数学】2018届一轮复习人教A版（理）定积分与微积分基本定理学案
2018年高考数学（理）一轮复习讲义：定积分与微积分基本定理
必考考点
考纲要求
考试题型
高考分值
定积分与
微积分
基本定理
1. 理解定积分的几何意义；
2. 掌握定积分的基本性质；
3. 直观了解并掌握微积分基本定理的含义；
4. 会利用微积分基本定理求函数的积分。
选择题
填空题
5分
【考向预测】
定积分是新课标教材新增加的内容，主要包括定积分概念、微积分基本定理、定积分的简单应用。高考中比较注重基本概念、基本性质、基本公式的考查及简单应用，题目一般是选择题、填空题，属于中低档题。
◆ 定积分
定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f（x）连续且恒有f（x）≥0，那么定积分表示由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f（x）所围成的曲边梯形的面积。
【要点诠释】
（1）如果在区间[a，b]上，函数f（x）≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方（如图①）。
这时等于所示曲边梯形面积的相反值，即＝－S。
（2）当f（x）在区间[a，b]上有正有负时（如图②），定积分表示介于x轴、函数f（x）的图象及直线x＝a，x＝b（a≠b）之间各部分面积的代数和，即＝－S1＋S2－S3。
定积分的基本性质：
（1）(k为常数)；
（2）；
（3） (其中a
0），则f（x）的最大值为_______。
思路分析：根据微积分基本定理求积分，建立函数关系式，求最值。
答案：因为f（x）＝＝＝cos－cos
＝sin x＋cos x－1＝sin－1≤－1，当且仅当sin＝1时，等号成立。
故应填－1。
技巧点拨：建立函数关系式是求最值的常用方法。
（答题时间：20分钟）
一、选择题
1. 由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D.
2. 由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为( )
A. 4 B. C. D. 6
3. (sinx＋1)dx的值为( )
A. 0 B. 2 C. 2＋2cos1 D. 2－2cos1
4. 函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上( )
A. 有最大值0，无最小值 B. 有最大值0和最小值－
C. 有最小值－，无最大值 D. 既无最大值也无最小值
二、填空题
5. 已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________。
*6. 已知a＝(sinx＋cosx)dx，则二项式(a)6的展开式中含x2项的系数是_____。
三、解答题
**7. 如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值。
**8. 如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小。
1. A 解析：由得交点为(0,0)，(1,1)。∴S＝(x2－x3)dx＝01＝。
2. A 解析：S＝x3dx＝02＝4。
3. B 解析：(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2。
4. B 解析：F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4，
∵F(－1)＝－，F(0)＝0，F(4)＝－，F(5)＝－。∴最大值为0，最小值为－。
5. －1或 解析：∵f(x)dx＝(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|－11＝4，f(x)dx＝2f(a)，∴6a2＋4a＋2＝4，∴a＝－1或。
*6. －192 解析：由已知得a＝(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx) ＝(sin－cos)－(sin0－cos0)＝2，的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)r×C6r×26－r×x3－r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数为(－1)1×C61×25＝－192。
**7. 解：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积。
S＝(x－x2)dx＝(－x3)|01＝
由可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，
所以＝dx＝(x2－x3)|01－k＝ (1－k)3。
又知S＝，所以(1－k)3＝，于是k＝1－。
**8. 解：由题意得S1＝t·t2－x2dx＝t3，
S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋，
所以S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)。
又S′(t)＝4t2－2t＝4t ，
令S′(t)＝0，得t＝或t＝0。
因为当00。
所以S(t)在区间上单调递减，在区间上单调递增。
所以，当t＝时，Smin＝。
