高三数学同步辅导教材(第2讲)

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高三数学同步辅导教材（第 2 讲） 一、本讲进度 导数、多项式函数的导数 2.1 导数的背景 2.2 导数的概念 2.3 多项式 函数的导数，课本 P30～39 二、学习指导 本讲通过运动物体在某一时刻的瞬时速度（ 0 lim t t s   ）、曲线在某一点处的切线的斜率（ 0 lim x x y   ）、 生产的边际成本（ 0 lim q q c   ）三个实例（ 也导数的三个重要应用，特别地，曲线在某一点处切线的斜率 即是导数的几何意义）.抽象出它们共同的、实质性的东西：函数的变化量△y 与自变量的变化△x 的比 值当△x→0 时的极限，并定义为函数 f(x)在这一点处的导数.（课本 P33 页）并进而定义了导函数（简称 导数）（课本 P34 页）. 导数应用很广泛，经常需要求导，如果都用定义求一遍，不胜其烦，人们就用定义推导出一些常见函 数的导函数，并作为公式加以应用.课本内只介绍了两个求导公式：C/=0，及 /)( nx = 1nnx （n 为正整数） 课 P36 已予推导；两个法则：[f(x)±g(x) ]/= /f (x)±g/(x). [Cf（x）]/=C (x) .请同学们根据定义自行证明 一下上述两个法则后再往下看： [f(x)±g(x) ]/= 0 lim x x xgxfxxgxxf   )]()([)]()([ = x xgxxgxfxxf   )]()([)]()([ = x xfxxf   )()( ± x xgxxg   )()( = )(/ xf ± )(/ xg /)]([ xCf = x xCfxxCf   )()( = （C· ） =C = )(/ xCf . 有了这些工具，我们就能求出一切多项式函数的导数了. 另外，∵ x y   = x xfxxf   )()( 00 ≈ )( 0 / xf ， ∴△y≈ ·△x. 当△x 很小时，可把它作为一个简单易记的近似计算公式。 三、典型例题讲评 例 1．n∈N*求函数 y=x—n（x≠0）的导函数 我们现在除了两个基本公式和两个法则之外，只有定义可用，本题应用导数定义无疑。 y/= x xxx nn    1 )( 1 = nn nn xxxx xxx )( )(   = nn nnn n n n n n xxxx xxxCxxCxxC )( ))()(...)(( 112221/    =－ nn nn n n n xxx xxxCxC )( )(... 1221/    =－ 1nx n =－ )1(  nnx . 上述结果的形式与 /)( nx = 1nnx 有何关系？你能否据此猜度 /)( x 是什么（α ∈R）？ 例 2．求过抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）上一点 P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学 性质。 为求斜率，先求导函数：y/=2ax+b，故切线方程为 y－y0=(2ax0+b)(x－x0)即 y=(2ax0+b)x－ax 2 0 +c，亦即 y=(2ax0+b)x－ax +c. 抛物线焦点：F（－ a b 2 , a bac 4 4 2 + a4 1 ）它关于切线的对称点之横坐标当 x0，说明从焦点发出的光 线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。 要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时 我们还可以据此写出该点处的法线方程。 例 3．求函数 y=x4+x－2 图象上的点到直线 y=x－4 的距离的最小值及相应点的坐标. 首先由      4 24 xy xxy 得 x4+2=0 知，两曲线无交点. y/=4x3+1 要与已知直线平行，须 4x3+1=1，x=0. 故切点：（0 , －2）. d= 2 42  = 2 . 一般地，当直线 l 与 y=f(x)的图像无交点时， 与 l 平行的切线与 l 间距离应为图像上点到 l 的 距离的最值，以最小值为例（如图）与 l 平行的 直线若与曲线 y=f(x)相交，（A 为一交点），则 l/ 与 l 间必存在 y=f(x)上的点 C，显然，C 点到 l 的距离小于 l 与 l/间的距离，亦即 A 到 l 的距离. 当然，我的也可用参数直接考虑：设(x0，x 4 0 +x0－2)为 y=f(x)图象上任意一点，它到 l 的距离 d= 2 42 00 4 0  xxx = 2 24 0 x ≥ 2 2 = 故距离最小值为 . 上述等号当且仅当 x0=0 时取得故相应点坐标为（0，-2）. 例 4．物体在地球上作自由落体运动时，下落距离 S= 2 1 gt2 其中 t 为经历的时间，g=9.8m/s2，若 V= 0 lim t t StS   )1()1( =g=9.8m/s，则下列说法正确的是（ ） （A）0～1s 时间段内的速率为 9.8m/s. （B）在 1～1+△ts 时间段内的速率为 9.8m/s. （C）在 1s 末的速率为 9.8m/s （D）若△t＞0，则 9.8m/s 是 1～1+△ts 时段的速率. 若△t＜0，则 9.8m/s 是 1+△ts～1 时段的速率. 本例旨在强化对导数意义的理解，无论是从相限的本质，还是从导数的物理意义考虑，都应选（C）， 但值得指出的是： 中的△t 可正可负. 例 5．定义在（α 、β ）上的函数 f(x)满足 f(1)=2， /f (1)=3. （α ＜1＜β ）. （1）求 1 lim x 1 4)]([ 2   x xf 的值; （2）求 1 lim x 1 2)( 2   x xf 的值 本题无具体的函数解析式，但所求两极限的形式很象导数的定义，故项往导数定义的形式上去凑， y=f(x) l l BC A 这就需要设法把 x→1 转化为△x→0 的形式. 1 lim x 1 4)]([ 2   x xf = 1 lim x 1 )2)()(2)((   x xfxf = 1 )1()(   x fxf （f(x)+2） xx 1令 0 lim x x fxf   )1()1( [f(1+△x)+2]= /f (1)·(f(1)+2)=3·(2+2) 1 2)( 2   x xf = 1 )1()( 2 2   x fxf （x+1） xx 1令 ( 11  x )= (1)(1+1)=6. 例 6．曲线：y=ax3+bx2+cx+d 在（0，1）点处的切线为 l1：y=x+1 在（3,4）点处的切线为 l2：y= －2x+10，求曲线 C 的方程. 已知两点均在曲线 C 上. ∴      43927 1 dcba d y/=3ax2+2bx+c (0)=C (3)=27a+6b+c l1：y=cx+1 l2：y=(27a+6b+c)(x－3)+4 与已知比较，分别求出 d=1，c=1，a=－ 3 1 ，b=1. 求曲线过一点处的切线，先求斜率——即导函数在 x0 处的值，再用点斜式写出化简. 四、巩固练习 1．A 选择题 （1）曲线 y=x3 在 P 点处的切线斜率为 k,若 k=3，则 P 点为（ ） （A）（－2，－8） （B）（－1，－1）或（1，1） （C）（ 2，8） （D）（－ 2 1 ，－ 8 1 ） （2）一质点在运动中经过的路程 S 和经历的时间 t 有关系 S=5－3t2，则它在[1,+△t]内的平均速度为 （ ） （A）3△t+6 （B）－3△t+6 （C）3△t－6 （D）－3△t－6 （3）曲线 y= x3－x2+5，过其上横坐标为 1 的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） （A） 6  （B） 4  （C） 3  （D） 4 3 （4）过曲线 y=x2 上一点作切线与直线 3x－y+1=0 交成 450 角，则切点坐标为（ ） （A）（－1，1） （B） （ 4 1 ， 16 1 ）或（1，1） （C）（ ， ）或（－1，1） （D）（－1，1）或（1，1） 2B. 求过点 P（2，2）且与曲线 y=x2 相切的直线方程. 3A. 已知函数 f(x)=x2(x－1)，若 )( 0 / xf =x0，求 x0 的值. 4B.路灯距地面 8m，一身高 1.6m 的人沿穿过灯下的直路以 84m/min 的速度行走，则人影长度变化 速率是多少？（要求以 m/s 为单位） 5B.已知直线 y=3x+1 是曲线 y=x3－2x+a 的一条切线，求 a 的值. 6B.已知 f(x)=(x－a)(x－b)，g(x)=cx+d.（ a、b、c、d 为常数），G(x)=f(x)g(x). 求证：G/x=f/xg(x)+f(x)g/(x) 7C.当 f(x)，g(x)为其它可导函数时，上题结论能否成立？能成立，请用定义证明，不能成立，试 举一反例说明. 8B.设曲线 S：y=x3－6x2－x+6，S 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为 P（x0，y0）求证：曲线 S 关于 P 点中心对称. 9B.已知函数 f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若 f(2x+1)=4g(x)，且 f/x=g/(x)，f(5)=30，求 g(4). 10.B.曲线 y=x(x+1)(2－x)上有一点 P，它的坐标均为整数，且过 P 点的切线斜率为正数，求此点 坐标及相应的切线方程. 11.C.已知函数 y=x3+ax2+bx+c 的图像过点 P（1,2）.过 P 点的切线与图象仅 P 点一个公共点，又知 切线斜率的最小值为 2，求 f(x)的解析式. 12．C．已知 f(x)是 R 上的可导函数. （1）f(－x)在 x=a 处的导数值与 f(x)在 x=－a 处的导数值有什么关系？ （2）若 f(x)为偶函数， )(/ xf 的奇偶性如何？ 五、参考答案 1．（ 1）y/=3x2，令 3x2=3，知 k=±1，故选（B） （2）V = t t   ]135[])1(35[ 22 =－6+3△t. 选（C） （3）y/=x2－2x. 当 x=1 时，y/=－1 选（D） （4） k k 31 3   =tan450 知 k=－2 或 2 1 ， 令 y/=2x=k，知 x=－1 或 4 1 .选（C） 2．y/=2x，过其上一点（x0，x 2 0 ）的切线方程为 y－x =2x0(x－x0)，过 P（2，2），故 2－x =2x0（2－x0） x0=2± 2 . 故切线方程为 y=(4± )x－(6± ). 3．f(x)=x3－x2， =3x2－2x， 令 3x －2x0=x0 知 x0=0 或 1. 4． BM BMOM  = 6.1 8 =5. ∴OM= 4BM 同理 ON=4CN 两式相减，知，影长变化 BM－CN= (OM－ON) = MN= ·△t·84m/min ∴V= 0 lim t t tm  min/21 =21m/min= 20 7 m/s. 5．y/=3x2－2. 令 3x2－2=3 x=± 3 15 .代入切线方程知 y0=1± 15 ， ∴a=y0+2x0－x 3 0 =1± 9 10 . 6．f(x)=x2－(a+b)x+ab =2x－(a+b). )(/ xg =c ∴ g(x)+f(x) =[2x－(a+b)](cx+d)+c(x2－(a+b)x+ab)=3cx2+2(d－ac－bc)x+abc－ad－ bd. 又 G(x)=[x2－(a+b)x+ab](d+cx) =cx3+(d－ac－bc)x2+(abc－ab－bd)x+abd. ∴G/(x)=3cx2+2(d－ac－bc)x+abc－ad－bd ∴G/(x)= g(x)+f(x) . 7．结论[f(x)g(x)]/=f/(x)g(x)+f(x)g/(x)仍成立，证明如下： 0 N C M A 1.6 B ① ② [f(x)g(x)]/= 0 lim x x xgxfxxgxxf   )()()()( = 0 lim x x xgxfxxgxfxxgxfxxgxxf   )()()()()()()()( = [g(x+△x x xfxxf   )()( )]+ [f(x) x xgxxg   )()( ] =g(x) )(/ xf +f(x) )(/ xg 8．y/=3x2－12x－1 当 x=2 时有最小值.故 P：（ 2, －12）. S 在（2，－12）处的切线斜率最小，为－13. 又 y=(x－2+2)3－6(x－2+2)2－(x－2+2)+6 =(x－2)3－13(x－2) －12 故曲线 C 的图象按向量 a =(－2，+12)平移后方程为 y/=x 3/ －13x/为奇数，关于原点对称，故 P（2， －12）为曲线 S 的对称中心. 9．由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d) ∴      dba ca 41 424 =2x+a =2x+c ∴a=c ③ 又知 52+5a+b=30 ∴5a+b=5 ④ 由①③知 a=c=2. 依次代入④、②知 b=－5， d=－ 2 1 g(4)=42+2×4－ =23 10．y=－x3+x2+2x y/=－3x2+2x+2 令 y/＞0 知 x∈( 3 71 ， 3 71 ) 又 x∈z ∴x=0 或 1 ∴P 点坐标为（0，0）或（1，2）. 切线斜率 k=2 或 1， 切线方程为 y=2x 或 y=x+1. 11．y/=3x2+2ax+b )1(/f =3+2a+b 过 P 点切线方程 y－2=(3+2a+b)(x－1) 与 y=x3+ax2+bx+c 联立，并注意到曲线过点 P（1，2）知 a+b+c=1 x3+ax2－(3+2a)x+2+a=0 即(x－1)(x2+(a+1)x－2－a)=0 令(a+1)2+4(2+a)=(a+3)2≤0 知 a=－3. b－ 34 )2( 2  a =2，b=5， c=1－5+3=－1. ∴f(x)=x3－3x2+5x－1. 12．互为相反数. f(－x)在 x=－a 处的导数值为 0 lim x x afxaf   )]([)]([ = x afxaf   )()( =－ 0 lim  x x afxaf   )()( =－ )(/ af . (2) 是奇函数,这是因为 = x xfxxf   )()( ∵f(x)为偶函数,故可进而写为 = x xfxxf   )()( =－ x xfxxf   )()( =－ )(/ xf  . 六、附录 例 1． /)( nx = 0 lim x x xxx nn    1 )( 1 = nn nn xxxx xxx )( )(   = nn nnn n n n n n xxx xxxCxxCxC )( ))()(...( 121221/    = n n x nx 2 1 =－ )1(  nnx 这与 n 为正整数时(xn)/= 1nnx 法则相合，（即以－n 代 n，即得上式.） 这会使我们猜测α ∈R 时， /)( x =α 1x ，这个猜测正确与否还需进一步证明，且证明方法肯定与 上面的方程不同（不能再用二项式定理了）. 例 2．显然，y0=ax 2 0 +bx0+c y/=2ax+b 故在 P 点处切线斜率为 2ax0+b， 切线方程 y－(ax +bx0+c)=(2ax0+b)(x－x0)， 亦即 y=(2ax0+b)x－ax +c. 由于 y=ax2+bx+c 按向量 a =（ a b 2 ， a acb 4 42  ）平移即得到 y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax ） 的切线 l ：y=2ax0x－ax 满足：焦点（0， a4 1 ）关于 l 的对称点为（m，n）. 当 x0≠0 时             2 00 0 222 4 1 2 14 1 axmaxan axm an ，消去 n. 知 m=x0. 当 x0=0 时，切线为 y=0，F 之对称点横坐标显然是 0， 故从焦点发出的光线射到（x0，ax ）后被抛物面反射后的方程为 x=x0（与对称轴平行）；反之，与 对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点. 例 3．y/= 4x3+1，令 4x3+1=1，x=0. 由此知过曲线上点（0，－2）的切线方程 y=x+2 与已知直线平 行，它到已知直线距离最近，为 d= 2 42  = 2 . 例 4．（ C） 例 5．12，6． 例 6．C：y=－ 3 1 x3+x2+x+1.