【数学】2018届一轮复习人教A版等差数列及其前n项和学案

【数学】2018届一轮复习人教A版等差数列及其前n项和学案

第2讲　等差数列及其前n项和 最新考纲　1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.‎ 知 识 梳 理 ‎1.等差数列的概念 ‎(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.‎ 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数).‎ ‎(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.‎ ‎2.等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.‎ 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*).‎ ‎(2)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项).‎ ‎3.等差数列的有关性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和.‎ ‎(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq.‎ ‎(2)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.‎ ‎(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋‎2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.‎ ‎(4)数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…也是等差数列.‎ ‎4.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n.‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).‎ ‎5.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)‎ ‎(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)‎ ‎(3)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.(　　)‎ ‎(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)‎ ‎(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)‎ 解析　(4)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.‎ ‎(5)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×‎ ‎2.(2015·重庆卷)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)‎ A.－1 B.0‎ C.1 D.6‎ 解析　由等差数列的性质，得a6＝‎2a4－a2＝2×2－4＝0，选B.‎ 答案　B ‎3.(2017·长沙模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝‎2a3，S5＝15，则a2 016＝________.‎ 解析　在等差数列{an}中，由S3＝‎2a3知，‎3a2＝‎2a3，而S5＝15，则a3＝3，于是a2＝2，从而其公差为1，首项为1，因此an＝n，故a2 016＝2 016.‎ 答案　2 016‎ ‎4.在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为______.‎ 解析　由题意知d＜0且即 解得－1＜d＜－.‎ 答案　 ‎5.(必修5P‎68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.‎ 解析　由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝‎5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝‎2a5＝180.‎ 答案　180‎ ‎6.(2017·金华四校联考)设等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋bn＋c(b，c为常数，n∈N*)，若a2＋a3＝4，则c＝________，b＝________.‎ 解析　∵数列{an}是等差数列，且前n项和Sn＝n2＋bn＋c，∴c＝0，则Sn＝n2＋bn，又a2＋a3＝S3－S1＝9＋3b－1－b＝4，∴b＝－2.‎ 答案　0　－2‎ 考点一　等差数列基本量的运算 ‎【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A.100 B‎.99 ‎ C.98 D.97‎ ‎(2)(2016·唐山模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.‎ 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知，得所以所以a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98.‎ ‎(2)法一　设数列{an}的首项为a1，公差为d，由S3＝6，‎ S4＝12，可得解得 即S6＝‎6a1＋15d＝30.‎ 法二　由{an}为等差数列，故可设前n项和Sn＝An2＋Bn，‎ 由S3＝6，S4＝12可得 解得即Sn＝n2－n，则S6＝36－6＝30.‎ 答案　(1)C　(2)30‎ 规律方法　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.‎ ‎【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.若S8＝4S4，则a10等于(　　)‎ A. B. C.10 D.12‎ ‎(2)(2015·浙江卷)已知{an}是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且‎2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.‎ 解析　(1)由S8＝4S4，得‎8a1＋×1＝4×，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d＝，故选B.‎ ‎(2)因为a2，a3，a7成等比数列，所以a＝a‎2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，由于d≠0，∴a1＝－d，∵‎2a1＋a2＝1，∴‎2a1＋a1＋d＝1，即‎3a1＋d＝1，∴a1＝，d＝－1.‎ 答案　(1)B　(2)　－1‎ 考点二　等差数列的判定与证明(典例迁移)‎ ‎【例2】 (经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.‎ ‎(1)求证：成等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，‎ 得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，‎ 又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列.‎ ‎(2)解　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.‎ 当n＝1时，a1＝不适合上式.‎ 故an＝ ‎【迁移探究1】 将本例条件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝”改为“Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝‎2”‎，问题不变，试求解.‎ ‎(1)证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0.‎ ‎∴Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0，‎ 即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0.‎ 即－＝.又＝＝.‎ 故数列是以首项为，公差为的等差数列.‎ ‎(2)解　由(1)知＝，∴Sn＝，当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝－ 当n＝1时，a1＝2不适合上式，‎ 故an＝ ‎【迁移探究2】 已知数列{an}满足2an－1－anan－1＝1(n≥2)，a1＝2，证明数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式.‎ 解　当n≥2时，an＝2－，‎ ‎∴－＝－＝－＝－＝＝1(常数).‎ 又＝1.‎ ‎∴数列是以首项为1，公差为1的等差数列.‎ ‎∴＝1＋(n－1)×1，‎ ‎∴an＝.‎ 规律方法　等差数列的四种判断方法：‎ ‎(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.‎ ‎(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.‎ ‎(3)通项公式法：验证an＝pn＋q.‎ ‎(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断.‎ 考点三　等差数列的性质及应用 ‎【例3】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)‎ A.5 B‎.7 ‎ C.9 D.11‎ ‎(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)‎ A.63 B‎.45 ‎ C.36 D.27‎ ‎(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 017＝________.‎ 解析　(1)∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝‎2a3，得‎3a3＝3，则a3＝1，∴S5＝＝‎5a3＝5，故选A.‎ ‎(2)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列.‎ 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，‎ 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.‎ ‎(3)由等差数列的性质可得也为等差数列.‎ 设其公差为d.则－＝6d＝6，∴d＝1.‎ 故＝＋2 016d＝－2 014＋2 016＝2，‎ ‎∴S2 017＝2×2 017＝4 034.‎ 答案　(1)A　(2)B　(3)4 034‎ 规律方法　等差数列的性质是解题的重要工具.‎ ‎(1)在等差数列{an}中，数列 Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m也成等差数列.‎ ‎(2)在等差数列{an}中，数列也成等差数列.‎ ‎【训练2】 (1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为(　　)‎ A.13 B‎.12 ‎ C.11 D.10‎ ‎(2)(2015·广东卷)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.‎ 解析　(1)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，‎ a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，‎ 又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，‎ 所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，‎ 所以Sn＝＝＝390，即n＝13.‎ ‎(2)因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝‎2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝‎5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝‎2a5＝10.‎ 答案　(1)A　(2)10‎ 考点四　等差数列前n项和及其最值 ‎【例4】 (1)(2017·台州月考)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)‎ A.5 B‎.6 ‎ C.7 D.8‎ ‎(2)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.‎ 解析　(1)法一　由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大.‎ 法二　由S3＝S11，可得‎3a1＋3d＝‎11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大.‎ 法三　根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，‎ 可得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值.‎ ‎(2)由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋100＝130.‎ 答案　(1)C　(2)130‎ 规律方法　求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；‎ ‎(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；‎ ‎(3)将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.‎ ‎【训练3】 设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且＝，则当Sn取最大值时，n的值为(　　)‎ A.9 B‎.10 ‎C.11 D.12‎ 解析　由＝，得S11＝S9，即a10＋a11＝0，根据首项a1＞0可推知这个数列递减，从而a10＞0，a11＜0，故n＝10时，Sn最大.‎ 答案　B ‎[思想方法]‎ ‎1.在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.‎ ‎2.证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列.‎ ‎3.等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.‎ ‎2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数. ‎