2019-2020学年四川省成都市双流中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省成都市双流中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省成都市双流中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4}， Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）=‎ A．{1，2，3，4，6} B．{ 1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1,2}‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 选D.‎ ‎【考点定位】‎ 此题主要考察集合运算 ‎2．中文“函数”（function）一词，最早由近代数学家李善兰翻译的之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化下列选项中两个函数相等的是（　　　　）‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎【答案】C ‎【解析】判断两个函数是否为同一函数只需判断两函数定义域相同和解析式相同即可.‎ ‎【详解】‎ A中y=x0 定义域为{x|x≠0}，而y =1 定义域为R，所以不是同一函数；‎ B中y =x 与y==|x|解析式不同，所以不是同一函数；‎ C中y==x的，与y=x定义域，解析式相同，所以是同一函数；‎ D中y =|x|定义域为R，而y=定义域为{x|x≠0}，定义域不同，所以不是同一函数．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同，属于基础题.‎ ‎3．函数y＝ax＋2－1(a>0且a≠1)的图象恒过的点是(　　)‎ A．(0,0) B．(0，－1) C．(－2,0) D．(－2，－1)‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过点(0,1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y＝ax＋2－1(a>0，a≠1)的图象，所以y＝ax＋2－1(a>0，a≠1)的图象恒过点(－2,0)，选项C正确．‎ ‎4．下列各式正确的是（　　　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用指数的运算性质即可判断出正误．‎ ‎【详解】‎ A.＜0，＞0，可得.≠，因此不正确；‎ B.=π-3，因此不正确；‎ C.=，不正确；‎ D.=a，（n＞1，n∈N）．‎ 因此D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎5．已知a＞1，则函数y=ax与y=（a-1）x2在同一坐标系中的图象可能是（　　　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由a＞1，可得函数y=ax与y=（a-1）x2的单调性，结合选项得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵a＞1，∴函数y=ax为增函数，‎ 函数y=（a-1）x2在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数与二次函数的单调性，是基础题．‎ ‎6．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据奇函数的性质f（-x）=-f（x），以及函数的单调性可求解.‎ ‎【详解】‎ A：在定义域内不是单调函数，故A错；‎ B：f（-x）=lne-x=-lnex=-f（x），令t=ex∈（0，+∞），y=lnt单调递增，故B正确；‎ C：y=在（-∞，0）内单调递增，在（0，+∞）内单调递增，而非在定义域内单调递增；y=-在定义域内满足f（-x）=-f（x），函数为奇函数，故C错；‎ D：y=2x+1单调递增，但不满足f（-x）=-f（x），故D错；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 考查奇函数的性质，函数的单调性的综合应用，属于基础题.‎ ‎7．函数在区间）上是增函数，在区间上是减函数，则等于 A．－7 B．1 C．17 D．25‎ ‎【答案】D ‎【解析】二次函数在区间）上是增函数，在区间上是减函数.‎ 所以对称轴，解得 所以，有.‎ 故选D.‎ ‎8．若，则下列四个等式：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ 中正确等式的符号是( )‎ A．①②③④ B．①② C．③④ D．③‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，，所以①②不成立；‎ ‎，，所以③正确；‎ 当时，，但无意义所以④不成立；故选D.‎ ‎【考点】对数式的运算.‎ ‎9．若，则的大小顺序是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由，则；由，则.故选C.‎ ‎【考点】函数单调性的应用.‎ ‎10．已知两个函数和的定义域和值域都是集合，其定义如下表：‎ x ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎1 ‎ ‎ ‎ x ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎3 ‎ ‎2 ‎ ‎1 ‎ 则方程的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据题意，通过逐一排查，可有，则满足题意.故选C.‎ ‎【考点】1.函数表示法；2.复合函数.‎ ‎11．已知函数对于任意都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以函数是R上的减函数，所以解得 故选C.‎ 点睛：本题考查分段函数的单调性，涉及一次函数单调性，对数函数单调性，属于中档题.解题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是减函数，则左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值，反之，左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值.‎ ‎12．已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）+，且f（）=0，当x＞时，f（x）＞0．给出以下结论 ‎①f（0）=-‎ ‎②f（-1）=-‎ ‎③f（x）为R上减函数 ‎④f（x）+为奇函数；‎ ‎⑤f（x）+1为偶函数 其中正确结论的有（　　　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】①，由题意和x，y的任意性，取x=y=0代入可得f（0）；‎ ‎②，取x=，y=-，可得f（-），取x=y=-代入可得f（-1）；‎ ‎③，由①②知f（0）＞f（-1），f（x）不为R上的减函数；‎ ‎④，令y=-x代入可得f（x）++f（-x）+=0；‎ ‎⑤，f（）+1≠f（-）+1，可得f（x）+1不为偶函数．‎ ‎【详解】‎ 对于①，由题意和x，y的任意性，取x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）+，可得f（0）=f（0）+f（0）+，则f（0）=-，故①正确；‎ 对于②，取x=，y=-，可得f（0）=f（）+f（-）+，得f（-）=-1，取x=y=-，可得f（-1）=f（-）+f（-）+=-，故②正确；‎ 对于③，由①②知f（0）＞f（-1），∴f（x）不为R上的减函数，故③错；‎ 对于④，令y=-x，代入可得f（0）=f（x）+f（-x）+，则f（x）++f（-x）+=0，即f（x）+为奇函数，故④正确；‎ 对于⑤，∵f（）+1=1，f（-）+1=0，∴f（x）+1=f（-x）+1不恒成立，则f（x ‎）+1不为偶函数，故⑤错．‎ ‎∴其中正确结论的有3个．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，熟练利用赋值法及函数的性质是解题关键，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知集合，集合满足，则集合有 个．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意可知，又集合有个元素，则集合的个数为.‎ ‎【考点】集合的关系与运算.‎ ‎14．已知函数，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由已知，.‎ ‎【考点】分段函数.‎ ‎15．若，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，则，‎ 所以.‎ ‎【考点】对数运算及其应用.‎ ‎【方法点晴】此题主要考查指数与对数互化，以及对数运算性质等有关方面的知识与技能，属于中低档题型.在此题的解决过程中，由条件中指数式转化为对数式，即，利用对数运算的换底公式得，代入式子得，再利用对数的运算性质，从而问题可得解.‎ ‎16．已知二次函数f（x）满足f（x）=f（2-x），且f（1）=6，f（3）=2．若不等式f（x）＞2mx+1在[-1，3]恒成立，则实数m的取值范围是______．‎ ‎【答案】（-）‎ ‎【解析】根据f（x）=f（2-x），且f（1）=6，f（3）=2．求解f（x）的解析式，带入不等式，讨论对称轴与区间端点大小，即可求解实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意，设f（x）=ax2+bx+c，‎ ‎ 由f（x）=f（2-x），可得，即b=-2a；‎ 且f（1）=6，f（3）=2．‎ 可得，‎ 解得：c=5，a=-1，b=2‎ ‎∴f（x）=-x2+2x+5，‎ 则-x2+2x+5＞2mx+1在[-1，3]恒成立，‎ 令h（x）=x2+（2m-2）x-4＜0．‎ 根据二次函数的性质，可得，即 得．‎ 故答案为：（-）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次函数最值的求解，以及不等式恒成立问题，利用根的分布是解决本题的关键．‎ 三、解答题 ‎17．计算下列各式的值：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据分数指数幂的定义，得， ， ‎ ‎，从而可得，原式.（2）根据对数运算性质，得，‎ ‎， ，所以，原式.‎ 试题解析：(1) ‎ ‎ ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ ‎【考点】1.分数指数幂的运算；2.对数的运算性质.‎ ‎18．已知函数是定义在上的偶函数，当时， （为自然对数的底数）．‎ ‎（1）求函数在上的解析式，并作出的大致图像；‎ ‎（2）根据图像写出函数的单调区间和值域．‎ ‎【答案】(1) ；(2) 单调增区间是，单调递减区间是；函数的值域是 ‎【解析】试题分析：（1）当x＜0时，﹣x＞0，由已知中当x≥0时， ，及函数f（x）是定义在R上的偶函数，可求出当x＜0时函数的解析式，进而作出的大致图像；‎ ‎（2）根据图象下降对应函数的单调递减区间，图象上升对应函数的单调递增区间，分析出函数值的取值范围后可得到答案 试题解析：‎ ‎（1）当时， ，所以．‎ 因为是偶函数，所以： ， ； ‎ 做图：‎ ‎（2）由图得：单调增区间是，单调递减区间是；‎ 函数的值域是．‎ ‎19．已知函数f（x）的定义域为A，函数g（x）（﹣1≤x≤0）的值域为B．‎ ‎（1）求A∩B；‎ ‎（2）若C＝{x|a≤x≤2a﹣1}且C⊆B，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）A∩B＝{2}（2）‎ ‎【解析】（1）根据根式有意义的条件及指数函数的性质可得集合A，B，再进行集合的运算即可.‎ ‎（2）先根据集合C，结合C⊆B，得出区间端点的不等关系，解不等式得到实数a 的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：函数f（x）有意义，则，‎ 即，解得，‎ ‎∴A＝{x|x≥2}，‎ 又g（x）单调递减，∴B＝{y|1≤y≤2}，‎ ‎∴A∩B＝{2}‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 当即时：满足题意；‎ 当即时：要使则解得 综上，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用集合间的关系求参数的取值范围的方法，借助于区间端点间的大小关系列出不等式组是解题的关键，属于基础题．‎ ‎20．已知函数，且．‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）判断的奇偶性；‎ ‎（3）试判断函数的单调性，并证明．‎ ‎【答案】（1）；（2）为奇函数；（3）在为增函数，证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知所给的两个函数值，建立关于、的方程组，解此方程组，即可求得、的值；（2）由（1）可知，又，经检验可发现有，即函数为奇函数，从而问题可得解；（3）由指数函数在上为增函数，则函数亦为增函数，故可断定函数为上的增函数，再利用定义法证明即可.‎ 试题解析：（1）由题意得： ………4分 ‎（2）由（1）知，‎ 为奇函数………7分 ‎（3）在为增函数. 设且 在为增函数，‎ ‎，即，在为增函数.‎ ‎【考点】1.求函数解析式中的参数值；2.函数奇偶性、单调性的证明.‎ ‎21．某企业为打入国际市场，决定从两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）‎ 其中年固定成本与年生产的件数无关，为待定常数，其值由生产产品的原材料价格决定，预计.另外，年销售件产品时需上交万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去.‎ ‎（1）写出该厂分别投资生产两种产品的年利润与生产相应产品的件数之间的函数关系，并指明其定义域；‎ ‎（2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】试题分析：(1)生产产品的年利润每件产品销售价销售量 (年固定成 本每件产品成本销售量);同理,生产产品的年利润也可求得.(2)由,得,所以是增函数,且，易知时,有最大值;二次函数,易求得当时,有最大值.将的最大值和的最大值作差,比较可得何时投资哪种产品获得年利润最大.‎ 试题解析：（1）设年销售量为件，按利润的计算公式，得生产、两产品的年利润分别为： ,且;, ，且.‎ ‎（2）因为，所以，所以为增函数,又且，所以时，生产产品有最大利润为:(万美元).又, 且,所以时，生产产品有最大利润为(万美元) ,作差比较：,令，得；令，得；令，得.所以当时，投资生产产品件获得最大年利润；当时，投资生产产品件获得最大年利润；当时，投资生产产品和产品获得的最大利润一样.‎ 点睛：本题主要考查了二次函数的实际应用.‎ ‎(1)根据产品的年利润每件产品销售价销售量 (年固定成本每件产品成本销售量)，产品的年利润=每件产品销售价销售量(年固定成本每件产品成本销售量)特别关税，分别求出，与的函数关系式，根据表格写出自变量的取值范围即定义域；‎ ‎(2)根据，与的函数关系式，由一次函数、二次函数的性质求最大值，利用作差法求两个最大值的差，根据的取值范围，分类讨论.‎ ‎22．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，求a的取值范围；‎ ‎（3）若函数h（x）=+m•2x-1，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h（x）最小值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) k=- (2) a≤0 (3) 存在,m=-1‎ ‎【解析】（1）若函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则f（-x）=f（x），可得k的值；‎ ‎（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，方程log4（4x+1）-x=a无解，则函数g（x）=的图象与直线y=a无交点，则a不属于函数g（x）值域；‎ ‎（3）函数h（x）=4x+m•2x，x∈[0，log23]，令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3]，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，可得m的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，‎ ‎∴f（-x）=f（x），‎ 即 log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx恒成立．‎ ‎∴2kx=log4（4-x+1）-log4（4x+1）===-x，‎ ‎∴k=-‎ ‎（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=x+a没有交点，‎ 则方程log4（4x+1）-x=x+a即方程log4（4x+1）-x=a无解．‎ 令g（x）=log4（4x+1）-x==，则函数g（x）的图象与直线y=a无交点．‎ ‎∵g（x）在R上是单调减函数．，‎ ‎∴g（x）＞0．‎ ‎∴a≤0‎ ‎（3）由题意函数h（x）=+m•2x-1=4x+m•2x，x∈[0，log23]，‎ 令t=2x∈[1，3]，则y=t2+mt，t∈[1，3] ‎ ‎∵函数y=t2+mt的图象开口向上，对称轴为直线t=-，‎ 故当-≤1，即m≥-2时，当t=1时，函数取最小值m+1=0，解得：m=-1，‎ 当1＜-＜3，即-6＜m＜-2时，当t=-时，函数取最小值=0，解得：m=0（舍去），‎ 当-≥3，即m≤-6时，当t=3时，函数取最小值9+3m=0，解得：m=-3（舍去），‎ 综上所述，存在m=-1满足条件．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的单调性，二次函数的图象和性质，难度中档．‎