新疆实验中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

新疆实验中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

新疆实验中学高一上学期期末考试试卷 ‎1.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分式分母不为零，偶次方根的被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.‎ ‎【详解】依题意，解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题.‎ ‎2.函数的零点所在的大致区间是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 函数为单调增函数，且图象是连续的，‎ 又，‎ ‎∴零点所在的大致区间是 故选C ‎3.函数的最大值为（ ）‎ A. 10 B. ‎9 ‎C. 8 D. 7‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,将函数化为关于的二次函数，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎，当时，函数取得最大值为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查关于的二次函数的最值，属于基础题.‎ ‎4.，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式，即可求解.‎ ‎【详解】.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题.‎ ‎5.设向量，则等于（ ）‎ A. B. ‎5 ‎C. D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的线性关系，将的坐标求出，按模长坐标公式，即可求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标表示，涉及到向量加法、模长坐标运算，属于基础题.‎ ‎6.已知角的终边经过点，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义，求出，即可得到的值．‎ ‎【详解】因为，，所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．‎ ‎7.函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件判断函数周期为，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为与直线只有一个交点，结合函数图像，即可求解.‎ ‎【详解】函数是定义在上奇函数，且为偶函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ 的周期为.‎ 时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 周期为4，，‎ 当，‎ 当，‎ 做出函数图像，如下图所示：‎ 令，‎ 当，，‎ ‎，两边平方得，‎ ‎，‎ 此时直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，‎ 同理，直线与在函数图像相切，与函数有两个交点，‎ 则要使函数在内与直线只有一个交点，‎ 则满足，周期4，‎ 范围也表示为，‎ 所以所有的取值范围是.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点的应用，根据函数的性质求出函数的周期性和对称性，利用数形结合思想是解决问题的关键，综合性较强，属于难题.‎ ‎8.已知，则为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知将自变量转化到，即可求解.‎ ‎【详解】,。‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查分段函数，要注意理解函数解析式，属于基础题.‎ ‎9.已知函数，若存在，使得，则取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件作出函数图象求解出的范围，利用和换元法将变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围.‎ ‎【详解】的图象如下图所示：‎ 由图可知：当时且，则令，所以，‎ 所以，又因为，所以，‎ 所以，令，‎ 所以，‎ 所以，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数与方程的根求解取值范围，着重考查了数形结合思想的运用，难度一般.‎ 处理分段函数有关的方程根的问题，可通过图象找到自变量之间的关系，然后利用图象对应的自变量的范围完成取值范围的求解.‎ ‎10.已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为，，若对任意，恒有成立，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. . D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：是方程的两个不等实根，结合图象可知，当时，，所以恒成立，故，在恒成立，故函数在定义域内是增函数，所以 ‎.①，又因为是方程的两个不等实根，则，代入①化简得：，由对任意的，成立，得：，结合，得，故实数a的取值范围是；‎ 考点：1.函数的单调性；2.求函数最大值；3.分离参数解决恒成立问题；‎ ‎11.给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减的函数序号是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①，为幂函数，且的指数，在上为增函数；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数；③，在上为减函数，④为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.‎ ‎【详解】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选；‎ ‎②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选；‎ ‎③，在上为减函数，在上为增函数，故③可选；‎ ‎④为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选；‎ 综上所述，可选的序号为②③，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.‎ ‎12.对于在区间上有意义的两个函数和，如果对于任意均有成立，则称函数和在区间上是接近的．若与在区间上是接近的，则实数的取值范围是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 成立，即恒成立，设，只需，求出最值，得到关于不等式，即可求出结论.‎ ‎【详解】设，‎ 根据对数函数和反比例的单调性，可得在上是减函数，‎ ‎，‎ 要使与在区间上是接近的，‎ 在区间上恒成立，‎ 只需，解得 故选:A.‎ ‎【点睛】本题以新定义为背景，考查函数的最值，理解题意等价转化是解题的关键，属于中档题.‎ ‎13.已知函数的图象经过点，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出，得出；再求出的反函数即可求解．‎ ‎【详解】因为函数的图象经过点，所以，即，‎ ‎ ，，即 ‎【点睛】本题考查反函数，属于基础题．‎ ‎14.已知幂函数的图象过点，则 ________．‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用待定系数法求出幂函数y=f（x）的解析式，再计算f（9）的值．‎ ‎【详解】设幂函数y=f（x）=xa，a∈R，且图象过点（2,2），‎ ‎∴‎2a=2，解得a=，∴f（x）=；‎ ‎∴f（9）==27．‎ 故答案为27．‎ ‎【点睛】本题考查了求函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．‎ ‎15.设奇函数在上是单调减函数，且，若函数对所有的都成立，则的取值范围是_____________．‎ ‎【答案】t≥1或t≤0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得在区间[﹣1，1]上，f（x）max＝f（-1），据此分析：若f（x）≤t2﹣t+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，必有1≤t2﹣t+1恒成立，即t2﹣t≥0恒成立，解t2﹣t≥0即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数f（x）在[﹣1，1]上是减函数，则在区间[﹣1，1]上，f（x）max＝f（-1），‎ 又由f（x）为奇函数，则f（-1）＝﹣f（1）＝1，‎ 若f（x）≤t2﹣t+1对所有的x∈[﹣1，1]都成立，‎ 必有1≤t2﹣t+1恒成立，即t2﹣t≥0恒成立，‎ 解可得：t≥1或t≤0，‎ 则t的取值范围为：t≥1或t≤0，‎ 故答案为t≥1或t≤0．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的最值以及恒成立问题，属于综合题．‎ ‎16.函数的零点是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令f（x）=0，即x2+3x-4=0，解出即可．‎ ‎【详解】令f（x）=0，即x2+3x-4=0，解得：x=-4，x=1.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，是基础题,关键是准确掌握零点的定义.‎ ‎17.设分别是第二象限角，则点落在第___________象限.‎ ‎【答案】四 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是第二象限角，判断，的符号，进而可得结果．‎ ‎【详解】∵是第二象限角，∴，，‎ ‎∴点在第四象限．‎ 故答案为四．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的符号，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.‎ ‎18.若是关于的方程（是常数）的两根，其中，则=________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，平方求出的值，进一步判断取值范围，判断范围，平方后再开方，即可求解 ‎【详解】是关于的方程，‎ ‎，平方得，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎19.求下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）6（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用对数运算性质即可得出；（2）利用指数运算性质即可得出．‎ ‎【详解】解：（1）原式=．‎ ‎（2）原式==．‎ ‎【点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎20.设集合，集合．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求及．‎ ‎【答案】（1），（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简集合，按交集定义，结合数轴，即可得出结论；‎ ‎（2）按并集、补集的定义，结合数轴，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意知，‎ ‎（2）或 ‎【点睛】本题考查集合的交、并、补运算，属于基础题.‎ ‎21.已知函数为奇函数，且当时，．‎ ‎（1）求当时，函数的表达式；‎ ‎（2）解不等式．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出的解析式即可，设将自变量转化到，求出对应自变量的函数值，根据奇函数的对称性，即可求出解析式；‎ ‎（2）利用对数函数的单调性，即可求出结论.‎ ‎【详解】（1）解：函数为奇函数，‎ 当时，，‎ 所以，当时，，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎（2）解：由题意：当时有，解得；‎ 当时有，‎ 即，解得；‎ 综上，原不等式的解集为或 ‎【点睛】本题考查函数性质与应用，考查对数不等式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎22.已知:‎ ‎（1）若，求的坐标；‎ ‎（2）若与的夹角为120°，求.‎ ‎【答案】（1）或.（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用向量共线定理、数量积运算性质即可得出． （2）利用数量积运算性质即可的． 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，与共线的单位向量为.‎ ‎∵，∴或.‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，∴.‎ 点睛：平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.‎ ‎23.已知在中，分别为角A,B,C的对应边，点D为BC边的中点，的面积为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由的面积为且D为BC的中点，得到的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；‎ ‎(2)根据(1)的结果和，可求出和；再由余弦定理，即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)由的面积为且D为BC的中点可知:的面积为,‎ 由三角形的面积公式可知:,‎ 由正弦定理可得:,‎ 所以,‎ ‎ (2) ,又因为为中点，所以,即,‎ 在中由正弦定理可得,所以 由（1）可知所以,‎ ‎ ‎ 在直角中,所以.‎ ‎,‎ 在中用余弦定理，可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.‎