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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教版(理)第7章第6讲空间向量及运算作业
A组 基础关 1.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则与a,b不能构成空间基底的向量是( ) A. B. C. D.或 答案 C 解析 根据题意得=(a-b),所以,a,b共面.故选C. 2.(2018·黑龙江齐齐哈尔实验中学期中)设ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,则有( ) A.·=a2 B.·=a2 C.·=a2 D.·=a2 答案 C 解析 建系如图. 则·=(a,0,0)·(-a,-a,-a)=-a2, ·=(a,0,0)·(a,a,0)=a2, ·=(0,a,0)·(0,a,-a)=a2, ·=(a,0,0)·(-a,-a,0)=-a2,故只有C正确. 3.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 因为a·b=(1,0,1)·(x,1,2)=x+2=3,所以x=1, 所以|a|=,|b|=, 所以cos〈a,b〉===. 又0≤〈a,b〉≤π,所以〈a,b〉=. 4.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6=+2+3,则( ) A.O,A,B,C四点共面 B.P,A,B,C四点共面 C.O,P,B,C四点共面 D.O,P,A,B,C五点共面 答案 B 解析 解法一:因为6=+2+3, 所以=++, 且++=1,所以A,B,C,P四点共面. 解法二:因为6=+2+3, 所以0=(-)+2(-)+3(-), 所以+2+3=0, 所以=--, 所以,,共面,又三个向量有公共点P. 所以P,A,B,C四点共面. 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式: ①(-)-;②(+)-;③(-)-2;④(+)+. 其中能够化简为向量的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 答案 A 解析 ①(-)-=-=; ②(+)-=-=; ③(-)-2=-2≠; ④(+)+=+=≠. 综上,①②符合题意.故选A. 6.(2018·舟山模拟)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于( ) A.5 B.6 C.4 D.8 答案 A 解析 设=a,=b,=c,则=a+b+c,||2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此||=5.故选A. 7.在空间直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则边AC上的高BD=( ) A.5 B. C.4 D.2 答案 A 解析 设=λ,=(0,4,-3),则=(0,4λ,-3λ),=(4,-5,0),=(-4,4λ+5,-3λ).由·=0,得λ=-,所以=,所以||=5.故选A. 8.已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a⊥b,则|b|=________. 答案 2 解析 因为a⊥b,所以a·b=(2,3,1)·(-4,2,x)=-8+6+x=0,所以x=2.所以|b|==2. 9.(2018·郑州模拟)如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x+y+z=________. 答案 解析 设=a,=b,=c. 则=-=(+)- =b+c-a, =+=+ =a+=a+b+c, 又=x+y+z, 所以x=,y=,z=, x+y+z=++=. 10.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则·的取值范围是________. 答案 [0,1] 解析 由题意,设=λ,其中λ∈[0,1],·=·(+)=·(+λ)=2+λ·=2+λ·(-)=(1-λ)2=1-λ,因此·的取值范围是[0,1]. B组 能力关 1.若{a,b,c}是空间的一个基底,且向量p=xa+yb+zc,则(x,y,z)叫向量p在基底{a,b,c}下的坐标,已知{a,b,c}是空间的一个基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是( ) A.(4,0,3) B.(3,1,3) C.(1,2,3) D.(2,1,3) 答案 B 解析 设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是(x,y,z),则 4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc, 因为a,b,c不共面,所以解得x=3,y=1,z=3, 所以向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3). 2.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,则BD的长为________. 答案 2或 解析 ∵AB与CD成60°角, ∴〈,〉=60°或120°. 又∵AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB, ∴||= = = = = , ∴||=2或. ∴BD的长为2或. 3.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为________. 答案 解析 以A为坐标原点,射线AB,AD,AQ分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方形ABCD和ADPQ的边长为2,则E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,y,2)(0≤y≤2). 所以=(2,1,0),=(-1,y,2). 所以·=-2+y,||=, ||=. 所以cosθ===. 令2-y=t, 则y=2-t,且t∈[0,2]. 所以cosθ==. 当t=0时,cosθ=0. 当t≠0时,cosθ= =, 由t∈(0,2],得∈, 所以 ≥ =. 所以0查看更多
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