【数学】2018届一轮复习人教A版排列与组合学案

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文档介绍

【数学】2018届一轮复习人教A版排列与组合学案

‎1.排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照______________排成一列 组合 合成一组 ‎2.排列数与组合数 ‎(1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用________表示.‎ ‎(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用________表示.‎ ‎3.排列数、组合数的公式及性质 公式 ‎(1)A=________________= ‎(2)C===________________‎ 性质 ‎(1)0!=__________;A=___________‎ ‎(2)C=C;C=________________‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(  )‎ ‎(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.(  )‎ ‎(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(  )‎ ‎(4)(n+1)!-n!=n·n!.(  )‎ ‎(5)A=nA.(  )‎ ‎(6)kC=nC.(  )‎ ‎1.(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(  )‎ A.24 B.48‎ C.60 D.72‎ ‎2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(  )‎ A.144 B.120‎ C.72 D.24‎ ‎3.(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数,其中偶数的个数为(  )‎ A.8 B.24‎ C.48 D.120‎ ‎4.某高三毕业班有40人,同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言,那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)‎ ‎5.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案有________种.‎ 题型一 排列问题 例1 (1)3名男生,4名女生,选其中5人排成一排,则有________种不同的排法.‎ ‎(2)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有________种.‎ 引申探究 ‎1.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排,前排3人,后排4人”,其他条件不变,则有多少种不同的排法?‎ ‎2.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排,男、女各站在一起”,其他条件不变,则有多少种不同的排法?‎ ‎3.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排,男生不能站在一起”,其他条件不变,则有多少种不同的排法?‎ ‎4.本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排,甲不站排头也不站排尾”,其他条件不变,则有多少种不同的排法?‎ 思维升华 排列应用问题的分类与解法 ‎(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.‎ ‎(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. ‎ ‎ 由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数.‎ 求:(1)有多少个含2,3,但它们不相邻的五位数?‎ ‎(2)有多少个含数字1,2,3,且必须按由大到小顺序排列的六位数?‎ 题型二 组合问题 例2 (1)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法的种数是(  )‎ A.60 B.63‎ C.65 D.66‎ ‎(2)要从12人中选出5人去参加一项活动,A,B,C三人必须入选,则有________种不同选法.‎ 引申探究 ‎1.本例(2)中若将条件“A,B,C三人必须入选”改为“A,B,C三人都不能入选”,其他条件不变,则不同的选法有多少种?‎ ‎2.本例(2)中若将条件“A,B,C三人必须入选”改为“A,B,C三人只有一人入选”,其他条件不变,则不同的选法有多少种?‎ ‎3.本例(2)中若将条件“A,B,C三人必须入选”改为“A,B,C三人至少一人入选”,其他条件不变,则不同的选法有多少种?‎ 思维升华 组合问题常有以下两类题型变化 ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.‎ ‎(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.‎ ‎ 某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.‎ ‎(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种?‎ ‎(5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种?‎ 题型三 排列与组合问题的综合应用 命题点1 相邻问题 例3 (2017·济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为(  )‎ A.3×3! B.3×(3!)3‎ C.(3!)4 D.9!‎ 命题点2 相间问题 例4 某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是________.‎ 命题点3 特殊元素(位置)问题 例5 (2016·郑州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数,当三个数字中有2和3时,2需排在3的前面(不一定相邻),这样的三位数有________个.‎ 思维升华 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 ‎(1)相邻问题捆绑法.在特定条件下,将几个相关元素视为一个元素来考虑,待整个问题排好之后,再考虑它们“内部”的排列.‎ ‎(2)相间问题插空法.先把一般元素排好,然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中,它与捆绑法有同等作用.‎ ‎(3)特殊元素(位置)优先安排法.优先考虑问题中的特殊元素或位置,然后再排列其他一般元素或位置.‎ ‎(4)多元问题分类法.将符合条件的排列分为几类,而每一类的排列数较易求出,然后根据分类加法计数原理求出排列总数.‎ ‎ (1)(2016·山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流,则每个班至少去一名的不同分派方法种数为(  )‎ A.150 B.180‎ C.200 D.280‎ ‎(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学,若每所大学至少保送1人,甲不能被保送到北大,则不同的保送方案共有(  )‎ A.150种 B.114种 C.100种 D.72种 ‎14.排列、组合问题 典例 有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法有________种.‎ 错解展示 解析 先从一等品中取1个,有C种取法;再从余下的19个零件中任取2个,有C种不同取法,共有C×C=2 736(种)不同取法.‎ 答案 2 736‎ 现场纠错: ‎ 纠错心得: ‎ 提醒:完成作业 第十章 §10.2‎ 答案精析 基础知识 自主学习 知识梳理 ‎1.一定的顺序 ‎2.(1)所有不同排列 A (2)所有不同组合 C ‎3.n(n-1)(n-2)…(n-m+1)‎  1 n! C+C 思考辨析 ‎(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√‎ 考点自测 ‎1.D 2.D 3.C 4.1 560 5.14‎ 题型分类 深度剖析 例1 (1)2 520 (2)216‎ 解析 (1)问题即为从7个元素中选出5个全排列,有A=2 520(种)排法.‎ ‎(2)当最左端排甲时,不同的排法共有A种;当最左端排乙时,甲只能排在中间四个位置之一,则不同的排法共有CA种.故不同的排法共有A+CA=120+96=216(种).‎ 引申探究 ‎1.解 前排3人,后排4人,相当于排成一排,共有A=5 040(种)排法.‎ ‎2.解 相邻问题(捆绑法):男生必须站在一起,是男生的全排列,有A种排法;女生必须站在一起,是女生的全排列,有A种排法;全体男生、女生各视为一个元素,有A种排法.根据分步乘法计数原理,共有A·A·A=288(种)排法. ‎ ‎3.解 不相邻问题(插空法):先安排女生共有A种排法,男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A种排法,故共有A·A=1 440(种)排法.‎ ‎4.解 先安排甲,从除去排头和排尾的5个位置中安排甲,有A=5(种)排法;再安排其他人,有A=720(种)排法.所以共有A·A=3 600(种)排法.‎ 跟踪训练1 解 (1)先不考虑0是否在首位,0,1,4,5先排三个位置,则有A个,2,3去排四个空档,有A个,即有AA个;而0在首位时,有AA个,即有AA-AA=252(个)含有2,3,但它们不相邻的五位数.‎ ‎(2)在六个位置先排0,4,5,先不考虑0是否在首位,则有A个,去掉0在首位,即有A-A 个,0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位,1,2,3必须由大到小进入相应位置,并不能自由排列,所以有A-A=100(个)六位数.‎ 例2 (1)D (2)36‎ 解析 (1)因为1,2,3,…,9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数,要使和为偶数,则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数,故有C+C+CC=66(种)不同的取法.‎ ‎(2)只需从A,B,C之外的9人中选择2人,即有C=36(种)不同的选法.‎ 引申探究 ‎1.解 由A,B,C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人,即有C=C=126(种)不同的选法.‎ ‎2.解 可分两步,先从A,B,C三人中选出1人,有C种选法,再从余下的9人中选4人,有C种选法,所以共有C×C=378(种)不同的选法.‎ ‎3.解 可考虑间接法,从12人中选5人共有C种,再减去A,B,C三人都不入选的情况C种,共有C-C=666(种)不同的选法.‎ 跟踪训练2 解 (1)从余下的34种商品中,选取2种有C=561(种),‎ ‎∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.‎ ‎(2)从34种可选商品中,选取3种,有C种或者C-C=C=5 984(种).‎ ‎∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.‎ ‎(3)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件有CC=2 100(种).‎ ‎∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.‎ ‎(4)选取2件假货有CC种,选取3件假货有C种,共有选取方式CC+C=2 100+455=2 555(种).‎ ‎∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.‎ ‎(5)选取3件的总数为C,因此共有选取方式C-C=6 545-455=6 090(种).‎ ‎∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.‎ 例3 C 例4 120‎ 解析 先安排小品节目和相声节目,然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品1,小品2,相声”,“小品1,相声,小品2”和“相声,小品1,小品2”.对于第一种情况,形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”,有ACA=36(种)安排方法;同理,第三种情况也有36种安排方法,对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“□‎ 小品1□相声□小品2□”,有AA=48(种)安排方法.由分类加法计数原理知共有36+36+48=120(种)安排方法.‎ 例5 51‎ 解析 分三类:第一类,没有2,3,由其他三个数字组成三位数,有A=6(个);‎ 第二类,只有2或3其中的一个,需从1,4,5中选两个数字组成三位数,有2CA=36(个);‎ 第三类,2,3均有,再从1,4,5中选一个,因为2需排在3的前面,所以可组成CA=9(个).‎ 由分类加法计数原理,知这样的三位数共有51个.‎ 跟踪训练3 (1)A (2)C [(1)分两类:一类,3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1,则有·A=90(种)分派方法;另一类,3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3,则有C·A=60(种)分派方法,所以不同分派方法种数为90+60=150,故选A.‎ ‎(2)先将五人分成三组,因为要求每组至少一人,所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1,所以共有+=25(种)分组方法.因为甲不能被保送到北大,所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择,剩下的两组无限制,一共有4种方法,所以不同的保送方案共有25×4=100(种).]‎ 现场纠错系列 现场纠错 ‎1 136‎ 解析 方法一 将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类:“恰有1个一等品”,“恰有2个一等品”,“恰有3个一等品”,由分类加法计数原理,知有CC+CC+C=1 136(种).‎ 方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”,用间接法:C-C=1 136(种).‎ 纠错心得 (1)解排列、组合问题的基本原则:特殊优先,先分组再分解,先取后排;较复杂问题可采用间接法,转化为求它的对立事件.‎ ‎(2)解题时要细心、周全,做到不重不漏.‎
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