山西省2018-2019学年高二上学期期末测评考试数学（理）试题答案

山西省2018-2019学年高二上学期期末测评考试数学（理）试题答案

一、选择题 1. A 【解析】∵ 命题 p 为真，命题 q 也为真，∴p∧q 为真． 2. A 【解析】∵ 直线 l1:x- 3姨 y-1=0 的斜率为 3姨 3 ，∴ 与其垂直的 l2 直线的斜率为- 3姨 ，根据点斜式可得直线 l2 的方程为 y- 3姨 =- 3姨 （x+1），即 3姨 x+y=0. 3. D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题.第一步是将全称量词改写为存在量词，第二步是将结论加以否定. 4. C 【解析】平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面. 5. D 【解析】由圆O：x2+y2=1可得圆心 O（0,0），半径 r=1，∵△OAB 为正三角形，∴ 圆心 O 到直线 x-y+m=0 的距离为 3姨 2 r= 3姨 2 ，即 d= m 2姨 = 3姨 2 ，解得 m= 6姨 2 或- 6姨 2 . 6. B【解析】由“a2+b2＞c2”只能说明∠C 是锐角，但不能推出“△ABC 是锐角三角形”，但当△ABC 是锐角三角形时， 一定有 a2+b2＞c2成立，故“a2+b2＞c2”是“△ABC 是锐角三角形”的必要不充分条件. 7. B 【解析】∵ 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AC1 11=A11B +B11C +DD1 11∴x=1，y=- 1 2 ，z= 1 3 ，即 x+y+z= 5 6 . 8. C 【解析】曲线 x2 16 + y2 9 =1表示椭圆，焦距为 2c=2 a2-b2姨 =2 7姨 ，当 9＜k＜16 时，曲线 x2 16-k + y2 9-k =1表示双曲线， 焦距为 2c=2 a2+b2姨 =2 16-k+k-9姨 =2 7姨 ，故两条曲线的焦距相等. 9. B 【解析】∵ 抛物线 ｙ＝ １ ２ ｘ２的准线方程为 y=- 1 2 ，∴m= 1 4 ，即离心率 e= 1+ 1 4姨 1 2 = 5姨 . 10. C 【解析】法一：将直三棱柱补成正方体如图 1 所示，则异面直线 BA1 与 AC1 所成角的大小与∠A1BD1 相等. ∵△A1BD1 为正三角形，故异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为 60°. 图 1 图 2 法二：如图 2，以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A-xyz，不妨设 AB=1， 则 A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1）. cos〈BA1 11，AC1 11〉= BA1 11·AC1 11 BA1 11 · AC1 11 =（-1，0，1）·（0，1，1） 2姨 × 2姨 = 1 2 . ∴ 异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为 60°. 秘密★启用前 2018－2019 学年度第一学期高二期末测评考试 理科数学（Ⅱ）参考答案及评分参考 高二理科数学试题答案 第 1 页（共 4 页） 高二理科数学试题答案 第 2 页（共 4 页） 11. A 【解析】∵ 抛物线性 x2=8y 的焦点为（0，2），∴ 椭圆的焦点在 y 轴上，且 c=2， ∵ 离心率为 1 2 ，∴n=4，m=2 3姨 ，∴m-n=2 3姨 -4. 12. B 【解析】法一：如图建系 D-xyz，A（2，0，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），E（0，2，1）. 设 M（x，2，z），设平面 A1DE 的法向量为 n=（x′，y′，z′）， ∵ DA1 姨姨·n=0， D姨姨E·n=0 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨姨 姨 ， ∴n=（2，1，-2），又 ∵A姨姨M =（x-2，2，z）, ∵AM∥平面 A1DE，∴A姨姨M·n=2（x-2）+2-2z=0，即 x-z-1=0， ∴ 动点 M 的轨迹是以 BC，BB1 的中点为端点的线段，且这条线段的长为 2姨 . 法二：取 BB1 的中点 P，BC 中点为 Q，则平面 APQ∥平面 A1DE， ∴M 的轨迹为线段 PQ，且 PQ= 2姨 . 二、填空题 13.“若x≠1且x≠2，则x2-3x+2≠0”.【解析】若原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若劭q，则劭p”. 14. 8 【解析】∵a∥b，∴存在唯一实数姿，使得a=姿b，即x+y=6+2=8. 15. x2+y2=16 【解析】设M（x，y），由 MA =2 MB 化简可得x2+y2=16． 16. 7姨 3 【解析】∵ PF1 =2 PF2 ， PF1 + PF2 =2a，∴ PF1 =4a 3 ， PF2 =2a 3 . ∵∠F1PF2=120°，∴在△F1PF2中， F1F2 2= PF1 2+ PF2 2-2 PF1 PF2 ·cos∠F1PF2， 即4ｃ2= 4a 3△ △2 + 2a 3△ △2 -2×4a 3 ×2a 3 × - 1 2△ △= 28a2 9 ，∴ｅ= c a = 7 9姨 = 7姨 3 . 三、解答题 17. 解：由 p 可得函数 f（k）有意义，则 k>a …………………………………………………………………………， 2 分 由 q 可知，若 x2 k+1 + y2 3-k =1 表示双曲线，则（k+1）（3-k）<0，即 k<-1 或 k>3 ………………………………， 5 分 ∴劭q：k∈［-1，3］. ∵劭q 是 p 的充分不必要条件， ∴a<-1 …………………………………………………………………………………………………………. 10 分 18. 解：（1）由圆C的方程为x2+y2-2x+4y=0，即（x-1）2+（y+2）2=5∴圆心C（1，-2），半径为 5姨 . 又∵直线l：x-2y+t=0 与圆C相切，∴圆心C到直线l的距离d= 1+4+t 5姨 = 5姨 ，即 t+5 =5， 解得t=0或t=-10. ………………………………………………………………………………………………… 6分 （2）由题得，圆心M（-2，4），∵圆M：（x+2）2+（y-4）2=r2 与圆C有3条公切线， ∴圆M与圆C相外切，即 CM = 5姨 +r，又∵ CM =3 5姨 ，∴解得r=2 5姨 . ………………………………… 12分 19.（1）证明：∵A1R∥AQ，A1R埭平面AQC1，AQ奂平面AQC1，∴A1R∥平面AQC1. （第 12 题答图） 高二理科数学试题答案 第 3 页（共 4 页） （第 19 题答图） 又∵BR∥QC1，BR埭平面AQC1,C1Q奂平面AQC1，∴BR∥平面AQC1. ∵A1R∩BR=R，AQ∩C1Q，∴平面A1BR∥平面AQC1 ……………………………………………………………. 6分 （2）解：以 Q 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Q-xyz， 则 Q（0，0，0），A（ 3姨 ，0，0），C1（0，-1，2），C（0，-1，0）， ∴Q姨姨A =（ 3姨 ，0，0），QC1 姨姨=（0，-1，2）. 设平面 AQC1 的法向量为 n=（x，y，z）， 由 Q姨姨A·n=0， QC1 姨姨·n= 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨姨 姨 0 得 3姨 x=0， -y+2z=0 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨姨 姨 ， 令 z=1，∴n=（0，2，1）. 又 ∵CC1 姨姨=（0，0，2）， 设直线 CC1 与平面 AQC1 所成的角为 φ， ∴sinφ= cos〈CC1 姨姨,n〉 = 2 2 5姨 = 5姨 5 . 故直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值为 5姨 5 ………………………………………………………. 12 分 20. 解：（1）∵直线x-y-2=0 经过抛物线C的焦点， ∴抛物线C的焦点坐标为（2，0）， ∴抛物线C的准线方程为x=-2． ………………………………………………………………………………… 4分 （2）设过抛物线 C 的焦点且斜率为-1 的直线方程为 y=-x+ p 2 ，且直线与 C 交于 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 y=-x+ p 2 ， y2=2p 姨 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 x 化简得 x2-3px+p2 4 =0， ∴x1+x2=3p. ∵ AB =x1+x2+p=4p=2，解得 p= 1 2 ， ∴ 抛物线 C 的方程为 y2=x ……………………………………………………………………………………. 12 分 21.（1）证明：连接 OB.∵ PA=PC，O 为 AC 的中点，∴PO⊥AC，∴PO=4× 3姨 2 =2 3姨 . 又 ∵AB=BC=2 2姨 ，AC=4， ∴AB2+BC2=AC2，即 AB⊥BC. ∴ 在 Rt△ABC 中，OA=OB=OC=2. ∵PO2+OB2=PB2，∴PO⊥OB. 又 ∵AC∩OB=O， 高二理科数学试题答案 第 4 页（共 4 页） （第 21 题答图） ∴PO⊥平面 ABC ………………………………………………………………………………………………. 6 分 （2）解：∵OB⊥AC，PO⊥平面 ABC ∴ 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz， 则A（0，-2，0），C（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2 3姨 ）. 设M（xm，ym，0），又∵B姨姨M= 1 3 BC姨姨，∴M 4 3 ， 2 3 ，， ，0 . 设平面PAM的法向量为ｍ=（x，y，z）， 由 A姨姨P·ｍ=0， A姨姨M·ｍ= ， ， ，， ， ， ，， ， 0 得 y+ 3姨 z=0， x+2y=0 ， . 令z=1，∴ｍ=（2 3姨 ，- 3姨 ，1）， 又∵平面PAC的法向量为ｎ=（1，0，0）， ∴cos〈ｍ，ｎ〉= ｍ·ｎ ｍ · ｎ = 2 3姨 （2 3姨 ）2+（ 3姨 ）2+1姨 = 2 3姨 4 = 3姨 2 . ……………………………………… 10分 故所求二面角M-PA-C的大小为30°. ………………………………………………………………………… 12分 22. 解：（1）由题意得 c a = 2姨 2 ， a2=b2+c2， b=2 ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得a2=8，b2=4. ∴椭圆C的标准方程为 x2 8 + y2 4 =1. ……………………………………………………………………………… 4分 （2）设M（x0，y0），且x0 2+y0 2=12， 由题意知，过点M引椭圆C的切线方程可设为y-y0=k（x-x0）， 联立 y-y0=k（x-x0）， x2 8 + y2 4 = ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 1 化简得（1+2k2）x2+4k（y0-kx0）x+2（y0-kx0）2-8=0. ∵直线与椭圆相切， ∴ Δ=［4k（y0-kx0）］2-4（1+2k2）［2（y0-kx0）2-8］=0. 化简得（x0 2-8）k2-2x0y0k+y0 2-4=0. …………………………………………………………………………… 10分 ∴k1·k2= y0 2-4 x0 2-8 = y0 2-4 12-y0 2-8 = y0 2-4 4-y0 2 =-1. ∴两条切线斜率的积为定值. ……………………………………………………………………………… 12分