2018届二轮复习9-2点与直线、两条直线的位置关系课件（全国通用）

2018届二轮复习9-2点与直线、两条直线的位置关系课件（全国通用）

9 . 2 　 点与直线、两条直线的位置关系 - 2 - - 3 - 知识梳理 考点自测 1 . 两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括 　　　　　　　　　　　 三种情况 .   (1) 两条直线平行 对于直线 l 1 : y=k 1 x+b 1 , l 2 : y=k 2 x+b 2 , l 1 ∥ l 2 ⇔ k 1 =k 2 , 且 b 1 ≠ b 2 . 对于直线 l 1 : A 1 x+B 1 y+C 1 = 0, l 2 : A 2 x+B 2 y+C 2 = 0, l 1 ∥ l 2 ⇔ A 1 B 2 -A 2 B 1 = 0, 且 B 1 C 2 -B 2 C 1 ≠0( 或 A 1 C 2 -A 2 C 1 ≠0) . (2) 两条直线垂直 对于直线 l 1 : y=k 1 x+b 1 , l 2 : y=k 2 x+b 2 , l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 · k 2 =- 1 . 对于直线 l 1 : A 1 x+B 1 y+C 1 = 0, l 2 : A 2 x+B 2 y+C 2 = 0, l 1 ⊥ l 2 ⇔ 　　　　　　　　　　　 .   平行、相交、重合 A 1 A 2 +B 1 B 2 = 0 - 4 - 知识梳理 考点自测 唯一解 无解 无数个解 - 5 - 知识梳理 考点自测 - 6 - 知识梳理 考点自测 1 . 与直线 Ax+By+C= 0( A 2 +B 2 ≠0) 垂直或平行的直线方程可设为 : (1) 垂直 : Bx-Ay+m= 0; (2) 平行 : Ax+By+n= 0 . 2 . 与对称问题相关的两个结论 : (1) 点 P ( x 0 , y 0 ) 关于点 A ( a , b ) 的对称点为 P' (2 a-x 0 ,2 b-y 0 ) . (2) 设点 P ( x 0 , y 0 ) 关于直线 y=kx+b 的对称点为 P' ( x' , y' ), 则有 - 7 - 知识梳理 考点自测 1 . 判断下列结论是否正确 , 正确的画 “ √ ”, 错误的画 “ × ” . (1) 如果直线 l 1 与直线 l 2 互相平行 , 那么这两条直线的斜率相等 . ( 　　 ) (2) 如果直线 l 1 与直线 l 2 互相垂直 , 那么它们的斜率之积一定等于 - 1 . ( 　　 ) (3) 点 P ( x 1 , y 1 ) 到直线 y=kx+b 的距离为 . ( 　　 ) (4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 . ( 　　 ) (5) 已知直线 l 1 : A 1 x+B 1 y+C 1 = 0, l 2 : A 2 x+B 2 y+C 2 = 0( A 1 , B 1 , C 1 , A 2 , B 2 , C 2 均为常数 ), 若直线 l 1 ⊥ l 2 , 则 A 1 A 2 +B 1 B 2 = 0 . ( 　　 ) × × × √ √ - 8 - 知识梳理 考点自测 2 . (2017 福建莆田一模 , 文 3) 设 a 为实数 , 直线 l 1 : ax+y= 1, l 2 : x+ay= 2 a , 则 “ a=- 1” 是 “ l 1 ∥ l 2 ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 A 解析 : 由 “ l 1 ∥ l 2 ” 得到 a 2 - 1 = 0, 解得 a=- 1 或 a= 1, 所以应是充分不必要条件 . 故选 A . 3 . 已知直线 l 过圆 x 2 + ( y- 3) 2 = 4 的圆心 , 且与直线 x+y+ 1 = 0 垂直 , 则 l 的方程是 ( 　　 ) A. x+y- 2 = 0 B. x-y+ 2 = 0 C. x+y- 3 = 0 D. x-y+ 3 = 0 D 解析 : 已知圆的圆心为 (0,3), 直线 x+y+ 1 = 0 的斜率为 - 1, 则所求直线的斜率为 1, 故所求直线的方程为 y=x+ 3, 即 x-y+ 3 = 0 . 故选 D. - 9 - 知识梳理 考点自测 B 5 . 若直线 (3 a+ 2) x+ (1 - 4 a ) y+ 8 = 0 与 (5 a- 2) x+ ( a+ 4) y- 7 = 0 垂直 , 则 a= 　　　　　 .   0 或 1 解析 : 因为两条直线垂直 , 所以 (3 a+ 2)(5 a- 2) + (1 - 4 a )( a+ 4) = 0, 解得 a= 0 或 a= 1 . - 10 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 两条直线的平行与垂直 例 1 已知直线 l 1 : ax+ 2 y+ 6 = 0 和 l 2 : x+ ( a- 1) y+a 2 - 1 = 0 . (1) 试判断 l 1 与 l 2 是否平行 ; (2) 当 l 1 ⊥ l 2 时 , 求 a 的值 . - 11 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 12 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 解含参数直线方程的有关问题时如何分类讨论 ? 解题心得 1 . 当含参数的直线方程为一般式时 , 若要表示出直线的斜率 , 不仅要考虑到斜率存在的一般情况 , 还要考虑到斜率不存在的特殊情况 , 同时还要注意 x , y 的系数不能同时为零这一隐含条件 . 2 . 在判断两条直线的平行、垂直时 , 也可直接利用直线方程的系数之间的关系得出结论 . - 13 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 对点训练 1 已知直线 l 的倾斜角为 , 直线 l 1 经过点 A (3,2), B ( -a ,1), 且 l 1 与 l 垂直 , 直线 l 2 :2 x+by+ 1 = 0 与直线 l 1 平行 , 则 a+b= ( 　　 ) A. - 4 B. - 2 C.0 D.2 B - 14 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 直线的交点问题 例 2 求经过两条直线 l 1 : x- 2 y+ 4 = 0 和 l 2 : x+y- 2 = 0 的交点 P , 且与直线 l 3 :3 x- 4 y+ 5 = 0 垂直的直线 l 的方程 . - 15 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 求两条直线的交点坐标的一般思路是什么 ? 解题心得 1 . 求两条直线的交点坐标 , 一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组 , 以方程组的解为坐标的点即为交点 . 2 . 常见的三大直线系方程 : (1) 与直线 Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是 Ax+By+m= 0( m ∈ R , 且 m ≠ C ) . (2) 与直线 Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m= 0( m ∈ R ) . (3) 过直线 l 1 : A 1 x+B 1 y+C 1 = 0 与 l 2 : A 2 x+B 2 y+C 2 = 0 的交点的直线系方程为 A 1 x+B 1 y+C 1 + λ ( A 2 x+B 2 y+C 2 ) = 0( λ ∈ R ), 但不包括 l 2 . - 16 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 对点训练 2 (1) 若三条直线 2 x+ 3 y+ 8 = 0, x-y- 1 = 0 和 x+by= 0 相交于一点 , 则 b= ( 　　 ) (2) 过两条直线 2 x-y- 5 = 0 和 x+y+ 2 = 0 的交点且与直线 3 x+y- 1 = 0 平行的直线方程为 　 .   B 3 x+y= 0 - 17 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 18 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 距离公式的应用 例 3 (1)(2017 四川绵阳一诊 ) 若 P , Q 分别为直线 3 x+ 4 y- 12 = 0 与 6 x+ 8 y+ 5 = 0 上任意一点 , 则 |PQ| 的最小值为 ( 　　 ) C 4 - 19 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 20 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 利用距离公式应注意的问题有哪些 ? 解题心得 利用距离公式应注意 :(1) 点 P ( x 0 , y 0 ) 到直线 x=a 的距离 d=|x 0 -a| , 到直线 y=b 的距离 d=|y 0 -b| ;(2) 两平行线间的距离公式要求两条直线方程中 x , y 的系数相等 . - 21 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 C A - 22 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 23 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 对称问题 ( 多考向 ) 考向 1 　 点关于点的对称问题 例 4 过点 P (0,1) 作直线 l , 使它被直线 l 1 :2 x+y- 8 = 0 和 l 2 : x- 3 y+ 10 = 0 截得的线段被点 P 平分 , 则直线 l 的方程为 　　　　　　　　　　 .   思考 点关于点的对称问题该如何解 ? x+ 4 y- 4 = 0 解析 : 设 l 1 与 l 的交点为 A ( a ,8 - 2 a ), 则由题意知 , 点 A 关于点 P 的对称点 B ( -a ,2 a- 6) 在 l 2 上 , 代入 l 2 的方程得 -a- 3(2 a- 6) + 10 = 0, 解得 a= 4, 即点 A (4,0) 在直线 l 上 , 故直线 l 的方程为 x+ 4 y- 4 = 0 . - 24 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考向 2 　 点关于直线的对称问题 例 5 已知直线 l :2 x- 3 y+ 1 = 0, 点 A ( - 1, - 2), 则点 A 关于直线 l 的对称点 A' 的坐标为 　　　　　 .   思考 点关于直线的对称问题该如何解 ? - 25 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 考向 3 　 直线关于直线的对称问题 例 6 已知直线 l :2 x- 3 y+ 1 = 0, 求直线 m :3 x- 2 y- 6 = 0 关于直线 l 的对称直线 m' 的方程 . - 26 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思考 直线关于直线的对称问题该如何解 ? 解题心得 1 . 点关于点的对称 : 求点 P 关于点 M ( a , b ) 的对称点 Q 的问题 , 主要依据 M 是线段 PQ 的中点 , 即 x P +x Q = 2 a , y P +y Q = 2 b. 2 . 直线关于点的对称 : 求直线 l 关于点 M ( m , n ) 的对称直线 l' 的问题 , 主要依据 l' 上的任一点 T ( x , y ) 关于 M ( m , n ) 的对称点 T' (2 m-x ,2 n-y ) 必在 l 上 . 3 . 点关于直线的对称 : 求已知点 A ( m , n ) 关于已知直线 l : y=kx+b 的对称点 A' ( x 0 , y 0 ) 的坐标 , 一般方法是依据 l 是线段 AA' 的垂直平分线 , 列出关于 x 0 , y 0 的方程组 , 由 “ 垂直 ” 得一方程 , 由 “ 平分 ” 得一方程 . 4 . 直线关于直线的对称 : 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决 , 有两种情况 : 一是已知直线与对称轴相交 ; 二是已知直线与对称轴平行 . - 27 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 对点训练 4 (1) 在等腰直角三角形 ABC 中 , AB=AC= 4, 点 P 是边 AB 上异于 A , B 的一点 . 光线从点 P 出发 , 经 BC , CA 反射后又回到点 P ( 如图 ) . 若光线 QR 经过 △ ABC 的重心 , 则 AP 等于 　　　　　 .   (2) 光线沿直线 l 1 : x- 2 y+ 5 = 0 射入 , 遇直线 l :3 x- 2 y+ 7 = 0 后反射 , 求反射光线所在的直线方程 . - 28 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 29 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 30 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 31 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 1 . 对于两条直线的位置关系的判断或求解 (1) 若直线斜率均存在且不重合 , 则一定有 : l 1 ∥ l 2 ⇔ k 1 =k 2 . (2) 若直线斜率均存在 , 则一定有 : l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 · k 2 =- 1 . 2 . 中心对称问题 (1) 点关于点的对称一般用中点坐标公式解决 . (2) 直线关于点的对称 , 可以在已知直线上任取两点 , 利用中点坐标公式先求出它们关于已知点对称的两点的坐标 , 再根据这两点确定直线的方程 ; 也可以先求出一个对称点 , 再利用两对称直线平行关系 , 由点斜式得到所求直线即可 . - 32 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 33 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 34 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 35 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 - 36 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 思想方法 —— 转化思想在对称问题中的应用 1 . 若在直线 l 上找一点 P , 使点 P 到两定点 A , B 的距离之和最小 , 则要看 A , B 两点相对直线 l 的位置 . 若 A , B 在直线 l 的异侧 , 则直接连接 AB , AB 与直线 l 的交点即为所求 ; 若 A , B 在直线 l 的同侧 , 则需要找出 A 或 B 中一个点关于直线 l 的对称点 , 然后连接另一点与对称点 , 连线与直线 l 的交点即为所求 . 2 . 若在直线 l 上找一点使到两定点 A , B 的距离之差最大时 , 则与上面和最小问题正好相反 . 若 A , B 在直线 l 的异侧 , 则需要利用对称转化 ; 若 A , B 在直线同侧 , 则 A , B 两点所在直线与 l 的交点即是所求 . - 37 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四 典例 已知直线 l : x- 2 y+ 8 = 0 和两点 A (2,0), B ( - 2, - 4) . (1) 在直线 l 上求一点 P , 使 |PA|+|PB| 最小 ; (2) 在直线 l 上求一点 P , 使 ||PB|-|PA|| 最大 . 解 (1) 设 A 关于直线 l 的对称点为 A' ( m , n ), - 38 - 考点一 考点二 考点三 学科素养微专题 考点四