【数学】2020届一轮复习人教A版高考数学解三角形解答题大盘点学案

【数学】2020届一轮复习人教A版高考数学解三角形解答题大盘点学案

问题13 高考数学解三角形解答题大盘点 一、考情分析 解三角形的解答题是高考热点，一般在17题的位置上，考试热点是求三角形中的元素及面积与周长问题，常与正弦定理、余弦定理及三角变换结合在一起考查.‎ 二、经验分享 ‎(1) 在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A＋B＋C＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．‎ ‎(2)要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sin＝cos，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等． ‎ ‎【小试牛刀】【福建省龙岩市2018-2019学年第一学期期末】在中，内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的周长的最大值.‎ ‎【解析】（1）由正弦定理得：，‎ 即，所以，‎ 由于，所以.‎ ‎(三)求周长或周长范围 ‎ ‎【例3】【福建省宁德市2018-2019学年度第一学期期末】 的内角，，所对的边分别为，，，已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长.‎ ‎【分析】解法一：（I）运用正弦定理和正弦两角和公式，处理式子，计算B的大小，即可。（II）结合三角形面积计算公式，得到的大小，运用余弦定理，计算b，即可。解法二：（I）运用余弦定理，处理原式，计算角B的大小，即可（II）结合三角形面积计算公式，计算ac的值，结合已知条件，计算a,c的大小，结合余弦定理，得到b的大小，计算周长，即可。‎ ‎【解析】‎ 解法一：（Ⅰ）在中，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 得，‎ 即，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴. ‎ ‎【解析】（1）由余弦定理，得：‎ ‎，‎ 所以，由正弦定理，得：，‎ 则.‎ ‎【点评】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． ‎ ‎【小试牛刀】【上海市静安区2019届高三上学期期末质量检测】如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40米，计算BC的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．‎ ‎【解析】根据题意，在△ABC中，，ÐBAC=66O20/，‎ 由余弦定理，得 ‎ 计算得：.. ‎ 答：顶杆BC约长1.89米．‎ 五、迁移运用 ‎1．【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟】已知的内角所对的边分别为，且. ‎ ‎（1）若，角，求角的值；‎ ‎（2）若的面积，，求的值.‎ ‎2．【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】在中，设分别为角的对边，记的面积为，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎【解析】（1）由，得,因为，所以，‎ ‎（2）中，，所以，所以 由正弦定理，得，解得 ‎3．【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调研】已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；‎ ‎（2）已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，求的面积. ‎ ‎【解析】（1）‎ ‎，即函数最小正周期为 ‎ 由得， ‎ 故所求单调递增区间为. ‎ ‎∴由正弦定理得，∴， ‎ 又∵， ‎ ‎∴，∴. ‎ ‎（2）设，则，‎ 由余弦定理得， ‎ 即，∴，∴.‎ ‎5．【江苏省镇江市2019届高三上学期期末】在中，角所对的边分别为，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，的面积为，求边．‎ ‎6．【广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试】在中，内角、、所对的边分别是、‎ ‎、，且，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）当函数取得最大值时，试判断的形状．‎ ‎【解析】（1）由正弦定理得，‎ 又,‎ ‎∴,即，‎ ‎∵∴.‎ ‎（2）∵∴,‎ ‎∴‎ ‎∵,∴当时，函数取得最大值，‎ ‎∴是直角三角形.‎ ‎7．【陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试】在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎8．【2019年上海市普陀区一模】在中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且．‎ 求的值；‎ 设，求的取值范围．‎ ‎【解析】，又C为三角形内角，‎ ‎， ‎ ‎（2）由正弦定理得，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，.‎ ‎10．【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末】在中，角所对的边分别为，且 ‎.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎11．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟】在中，内角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（Ⅰ）求角； ‎ ‎（Ⅱ）若，求面积的最大值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵∴，∵∴.‎ ‎（Ⅱ）的面积，‎ 由及余弦定理得，‎ 又，故，当且仅当时，等号成立.‎ ‎∴面积的最大值为. ‎ ‎12．【四川省绵阳市2019届高三第二次（1月)诊断】△ABC的内角A．B．C的对边分别为a，b，c，己知＝b（c－asinC）。‎ ‎（1)求角A的大小；‎ ‎ (2）若b＋c＝，，求△ABC的面积。‎ ‎13．【四川省绵阳市2019届高三第二次（1月)诊断】△ABC的内角A．B．C的对边分别为a，b，c，己知＝b（c－asinC）。‎ ‎（1)求角A的大小；‎ ‎(2）设b=c，N是△ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，如图，若BN=4，CN=2，求四边形ABNC面积的最大值．‎ ‎【解析】（1）∵，∴ cbcosA=b(c-asinC)，即ccosA=c-asinC． ‎ ‎ 由正弦定理得sinCcosA=sinC-sinAsinC，∵ sinC0，‎ ‎∴ cosA=1-sinA，即sinA+cosA=1．∴ sinA+cosA=，即sin(A+)=．‎ ‎∵ 0

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