湖北省黄冈市2020届高三9月质量检测数学（文）试题

湖北省黄冈市2020届高三9月质量检测数学（文）试题

湖北省黄冈市2020届高三9月质量检测数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合A={x|x2-2x-3＞0}，B={x|lg（x+1）≤1}，则（∁RA）∩B=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 若a＞b，则下列不等式恒成立的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 设Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S1+3S2-S3=0，且a1=1，则a4=（　　）‎ A. 9 B. ‎18 ‎C. 21 D. 27‎ 4. 几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（　　）‎ A. 1 B. C. 1 或 D. 2 或 5. 在等腰直角三角形ABC与ABD中，∠DAB=∠ABC=90°，平面ADB⊥平面ABC，E，F分别为BD，AC的中点．则异面直线AE与BF所成的角为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 已知函数f（x）=x3-3x2+3x-1，则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 已知圆C与直线x+y+3=0相切，直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积，则圆C方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 函数f（x）=在[-π，π]的图象大致为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 将函数f（x）=sin（2x-），若方程f（x）=的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则sin（x1-x2）=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 椭圆与双曲线焦点相同，当这两条曲线的离心率之积为1时，双曲线Q的渐近线斜率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 在等腰△ABC中，AB=AC，BC=6，向量，则的值为（　　）‎ A. 9 B. ‎18 ‎C. 27 D. 36‎ 3. 在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 4. 若命题“∃x0∈R，x02+mx0-3＜‎0”‎为假命题，则实数m的取值范围是______．‎ 5. 等差数列{an}中，且a1+a2+a3=2，a2+a3+a4=5，则a1-a2+a3-a4+a5-a6+……+a2019-a2020=______‎ 6. 某贫困地区现在人均年占有粮食为‎420kg，如果该地区人口平均每年增长1%，粮食总产量平均每年增长5%，那么x年后该地区人均年占有ykg粮食，则函数y关于x的解析式是______．‎ 7. 若函数f（x）=m-x3+3lnx在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为______‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 8. 已知命题p：∃x0∈R，-x02+2x0‎-2m＞0，q：∀x∈R，x2-2mx+1≥0． （1）若命题￢q为真命题，求实数m的取值范围； （2）若p∨（￢q）为真命题，求实数m的取值范围． ‎ 9. 设函数y=f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），y=f′（x）是y=f（x）的导函数，若为奇函数，且对任意的x∈R有g（x）≤2． （1）求g（x）的表达式． （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，求△ABC的面积最大值． ‎ 10. 已知数列{an}满足：，an≠1且a1=2 （1）证明数列是等差数列，并求出数列{an}的通项公式； （2）令，求数列{bn}的前n项和Sn． ‎ 1. 已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）． （1）若函数f（x）的最小值为f（-1）=-1，且c=1，，求F（3）+F（-3）的值； （2）若a=3，c=1，且|f（x）|≤2在区间（0，2]上恒成立，试求b的取值范围． ‎ 2. 某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD草坪如下图所示，已知：AB=‎120米，米，拟在这块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，要求点O是AB的中点，点E在边BC上，且∠EOF=90°． （1）设∠BOE=α，试求△OEF的周长l关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用． ‎ 3. 已知函数f（x）=a（x+lnx）-xex． （1）当a=1时，求函数f（x）的极大值； （2）若f（x）＜0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵A={x|x＜-1，或x＞3}，B={x|0＜x+1≤10}={x|-1＜x≤9}， ∴∁RA={x|-1≤x≤3}，（∁RA）∩B={x|-1＜x≤3}． 故选：C． 可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可． 考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，以及交集、补集的运算． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：∵a＞b，∴‎2a＞2b，ln（a-b）与0的大小关系不确定，|a|与|b|的大小关系不确定． 根据函数f（x）=在R上单调递增，可得＞． 则下列不等式恒成立的是C． 故选：C． 利用函数的单调性即可判断出正确． 本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查等比数列的通项公式与前n项和，是基础题． 设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0），由已知列式求得q，再由等比数列的通项公式求a4． 【解答】 解：设正项等比数列{an}的公比为q（q＞0）， 由S1+3S2-S3=0，且a1=1，得 1+3（1+q）-（1+q+q2）=0， 即q2-2q-3=0，解得q=3或q=-1(舍去) ∴． 故选D． 4.【答案】A ‎ ‎【解析】解：依题意，设圆心坐标为（a，b），则P点坐标为（a，0） 则圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=b2， M，N两点在圆上，所以， 解得或者（舍）， 故P点的横坐标为1， 故选：A． 根据米勒问题的结论，P点应该为过M，N的圆与x 轴的切点，结合几何关系求解即可． 本题考查点的坐标的求法，考查直线与圆的关系、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系， 设AB=1， 则A（0，0，0），B（0，1，0），D（0，0，1），E（0，），C（1，1，0），F（，0）， =（0，），=（，0）， 设异面直线AE与BF所成的角为θ， 则cosθ===， ∴θ=． 故选：C． 以A为原点，在平面ABC内过A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与BF所成的角． 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：求导函数，可得f′（x）=3x2-6x+3 ∴f′（2）=3， ∵f（2）=1； ∴y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y-1=3（x-2）， 即3x-y-5=0； 故选：A． 求导函数，求出切线的斜率，切点的坐标，即可得到切线方程； 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积， ∴直线mx+y+1=0始终过圆的圆心（0，-1）， 又圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的半径r=． ∴圆C的方程为x2+（y+1）2=2，即x2+y2+2y=1． 故选：D． 由已知可求圆心坐标，再由点到直线的距离求得半径，则圆的方程可求． 本题考查直线系方程的应用，考查圆的方程的求法，是基础题． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：f（-x）==-=-f（x）， ∴f（x）为奇函数，故排除A，B， 当x=时，f（）=＞0，故排除D， 故选：C ‎． 先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项． 本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：因为0＜x＜，所以． 又因为方程的解集为x1，x2（0＜x1＜x2＜π）， 所以，所以， 所以． 因为x1＜x2，，所以， 所以， 由，得 所以． 故选：A． 解：由已知可得，结合x1＜x2求出x1的范围，再由=求解即可． 本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，考查了转化思想和计算能力，属中档题． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：椭圆与双曲线焦点相同，可得焦点坐标（，0）， 椭圆的离心率为：，双曲线的c=， 这两条曲线的离心率之积为1， 所以双曲线的离心率为：===，解得m=2，则n=． 双曲线Q的渐近线斜率是：±． 故选：B． 求出椭圆的焦点坐标，离心率，得到双曲线的离心率，焦点坐标，然后求解双曲线Q的渐近线斜率． 本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的综合应用，是基本知识的考查． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意如图：在等腰△ABC中，AB=AC，BC=6，向量， D为AC的中点， 可作AE⊥BC，E为BC 的中点，DF⊥BC，F为CE的中点， 所以==6×=9． 故选：A． 画出图形，利用向量的数量积转化求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，数形结合的应用，是基本知识的考查． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】解：∵△ABC中，， 点P满足，∴∴ ∵，（λ＞0，μ＞0）， ∴ 因为B，P，C三点共线，所以，，λ＞0，μ＞0 ∴λ+μ=（λ+μ）（）=1+≥1+= 当且仅当μ=λ时取“=”，则λ+μ的最小值为 故选：B． 根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，即可求得2λ+μ 的最小值． 本题考查了平面向量的线性运算与共线定理以及基本不等式的应用问题，是中档题． 13.【答案】m∈∅ ‎ ‎【解析】解：∵命题“∃x0∈R，x02+mx0-3＜‎0”‎为假命题， ∴其否定“∀x∈R，x2+mx-3≥‎0”‎为真命题． 则△=m2+12≤0，得m∈∅． 故答案为：m∈∅． 先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围． 本题考查命题的真假判断与应用，考查二次不等式恒成立问题，体现了“三个二次”的结合在解题中的应用，是基础题． 14.【答案】-1010 ‎ ‎【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a2+a3=2，a2+a3+a4=5， ∴3d=5-2，‎3a1+3d=2， 解得d=1，a1=-， ∴an=-+n-1=． ∴a2n-1-a2n=-1． 则a1-a2+a3-a4+a5-a6+……+a2019-a2020=-1010． 故答案为：-1010． 设等差数列{an}的公差为d，由a1+a2+a3=2，a2+a3+a4=5，可得3d=5-2，‎3a1+3d=2，进而得出a2n-1-a2n，即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.【答案】y=420•（）x，x∈N* ‎ ‎【解析】解：设该地区人口为m，粮食产量为n，则=420， x年后，该地区人口数为m•（1+1%）x=m•（1.01）x， x年后，该地区的粮食产量为n•（1+5%）x=n•（1.05）x， 故x年后，该地区人均占有粮食为=420•（）x． 故答案为：y=420•（）x，x∈N*． 设现在人口为m，粮食产量为n，分别求出x年后的人口和粮食产量，得出人均占有量． 本题考查了指数函数的应用，函数解析式求解，属于基础题． 16.【答案】（1，3+] ‎ ‎【解析】解：f′（x）=-3x2+=，x∈[，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（1，e]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； f（x）max=f（1）=m-1，f（）=m--3，f（e）=m-e3-3， ∵f（x）在上有两个不同的零点，则，解得，1＜m≤3+， 故答案为：（1，3+]． f′（x）=-3x2+=，x∈[，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（1，e]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，进而求解； 考查函数求导，函数单调区间，函数在特定区间上的极值，二分法求函数的零点； 17.【答案】解：（1）∵￢q为：∃x0∈R，x02-2mx0+1＜0， ∴命题￢q为真命题时，有△1=‎4m2‎-4＞0，则m＜-1或m＞1； （2）若p∨（￢q）为假命题，则p假q真． 由∃x0∈R，-x02+2x0‎-2m＞0为假知，∀x∈R，-x2+2x‎-2m≤0‎ 为真， 则△2=4‎-8m≤0．∴m≥； 命题q为真命题时，有△1=‎4m2‎-4≤0，则-1≤m≤1． 所以当p∨（￢q）为假命题时，m的取值范围是[，1]， 则p∨（￢q）为真命题，实数m的取值范围是（-∞，）∪（1，+∞）． ‎ ‎【解析】（1）写出￢q，由判别式大于0，解不等式可得所求范围； （2）由p∨（￢q）为假命题，则p假q真，分别运用判别式小于等于0，解不等式，求交集，再求补集可得所求范围． 本题考查命题的真假判断，考查不等式成立和恒成立问题解法，化简运算能力和推理能力，属于基础题． 18.【答案】解（1）函数y=f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），y=f′（x）是y=f（x）的导函数， 所以f′（x）=ωcos（ωx+φ）， 则=sin（ωx+φ）+ωcos（ωx+φ） 由于对任意的x∈R有g（x）≤2． 所以，解得ω=1． 由于函数g（x）为奇函数，所以g（0）=sinφ+cosφ=0， 由于0＜φ＜π， 所以φ=， 则． （2）由于=2， 且cosAsinB=2sinAcosB，，b= sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=3sinAcosB． 所以•3sinAcosB=3sin2B， 当B=时，S△ABC的最大值为3． ‎ ‎【解析】（1）首先利用函数的导数求出函数的关系式，进一步求出函数的A，ω和φ的值． （2）利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，函数的导数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19.【答案】解：（1）证明：由，得==1+， 可得-=1， 即数列是以=1为首项，1为公差的等差数列， 且=1+n-1=n，则an=1+； （2）=n•2n， ∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，① 2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，② ①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1， 则Sn=2+（n-1）•2n+1． ‎ ‎【解析】（1）将已知等式取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得=n•2n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用取倒数，考查等差数列的定义和通项公式，以及数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题． 20.【答案】解：（1）由已知c=1，a-b+c=-1，且-=-1‎ ‎， 解得a=2，b=4，∴f（x）=2（x+1）2-1； ∴F（x）=， ∴F（3）+F（-3）=2×（3+1）2-1+1-2×（-3+1）2=24； （2）由a=3，c=1，得f（x）=3x2+bx+1， 从而|f（x）|≤2在区间（0，2]上恒成立等价于-2≤3x2+bx+1≤2在区间（0，2]上恒成立， 即b≤-3x且b≥--3x在（0，2]上恒成立． 又y=-3x在（0，2]递减，可得其最小值为-， y=--3x=-3（x+）≤-6，当且仅当x=1时，取得等号，可得其最大值为-6． ∴-6≤b≤-． 故b的取值范围是[-6，-]． ‎ ‎【解析】（1）由题意可得a，b，c的方程组，解方程可得a，b，c的值，进而得到F（x）的解析式，可得所求和； （2）求得f（x）=3x2+bx+1，|f（x）|≤2在区间（0，2]上恒成立等价于-2≤3x2+bx+1≤2在区间（0，2]上恒成立，即b≤-3x且b≥--3x在（0，2]上恒成立．由函数的单调性和基本不等式可得不等式右边函数的最值，由不等式恒成立思想可得所求范围． 本题考查二次不等式的解析式求法，以及不等式恒成立问题解法，考查参数分离和函数的单调性的运用，考查化简运算能力，属于中档题． 21.【答案】解：（1）由题意，在Rt△BOE中，OB=60，∠B=90°，∠BOE=α， ∴OE=，Rt△AOF中，OA=60，∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=． 又∠EOF=90°，∴EF===， 所以l=OE+OF+EF=++， 即l=． 当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=； 当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=． 故此函数的定义域为． （2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求△OEF的周长l的最小值即可． 由（1）得，l=，α∈， 设sinα+cosα=t，则sinα•cosα=， ∴l===．…………（8分） 由α∈，得≤α+≤，得≤t≤， ∴≤t-1≤-1， 从而+1≤≤+1，当α=，即BE=60时，lmin=120（+1）， 答：当BE=AF=‎60米时，铺路总费用最低，最低总费用为36 000（+1）元． ‎ ‎【解析】（1）结合勾股定理通过l=OE+OF+EF，得到l=．注明函数的定义域． （2）由题意知，要求铺路总费用最低，设sinα+cosα=t，转化求解△OEF的周长l的最小值即可． 本题考查实际问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力． 22.【答案】解：（1）函数定义域为（0，+∞），当a=1时，f（x）=x+lnx-xex，由f′（x）=1+-（x+1）ex=（x+1）， 令f′（x）=0，∃x0∈（0，+∞），使1-x0e=0， 当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x0，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减； ∴f（x）极大值=f（x0）=x0+lnx0-x0e， 由f′（x0）=0知x0e=1，∴e=，∴lne=ln，即x0+lnx0=0，故f（x）极大值=-1， （2）由f′（x）=a（1+）-（x+1）ex=，（x≥1）， ①当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，f（x）≤f（1）=a-e＜0‎ 满足题意； ②当0＜a≤e时，∵x≥1，a-xex≤0，f′（x）≤0．∴f（x）在区间[1，+∞）单调递减，f（x）max=f（1）=a-e＜0，∴0＜a＜e； ③当a＞e时，∃x0∈（1，+∞）使x0e-a=0，当x∈（1，x0）时，f（x）单调递增；当x∈（x0，+∞）时，f（x）单调递减； ∴f（x）max=f（x0）=a（x0+lnx0）-x0e=a（lna-1）＞0，∴f（x）＜0不恒成立． 综上所述，实数a的取值范围是（-∞，e）． ‎ ‎【解析】（1）当a=1时，f（x）=x+lnx-xex，f′（x）=1+-（x+1）ex=（x+1），进而求解； （2）f′（x）=a（1+）-（x+1）ex=，（x≥1），继而判断导函数的符号，进而求解． （1）考查函数求导，利用导函数确定函数的极值点； （2）考查不等式在特定区间上恒成立问题的转化，分类讨论的思想，将恒成立问题转化为求函数的极值问题． ‎