2018届二轮复习平面向量中数量积问题探究学案（江苏专用）

2018届二轮复习平面向量中数量积问题探究学案（江苏专用）

‎【热身训练】‎ ‎1．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.‎ 解析：根据数量积的定义得 a·b＝|a||b|cos θ＝2××＝3. ‎ ‎2．已知e1，e2是夹角为π的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．‎ 解析：因为a·b＝0，所以a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e＝k－(1－2k)－2＝0，解得k＝.‎ ‎3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)⊥c，则λ＝________.‎ 解析：因为a＋λb＝(1＋λ，2)，所以(a＋λb)·c＝0⇒3＋3λ＋8＝0⇒λ＝－.‎ ‎4.已知AC是半径为2的圆O的一条直径，B，D是圆O上两点，若AB＝2，AD＝2，则·＝________.‎ ‎　　‎ ‎【热点追踪】‎ 平面向量数量积是江苏省高考数学中的C级知识点，每年均以不同形式 ‎ 考查，主要考查方式有：基本的数量积运算，图形中的数量积运算，与其他知识(如解析几何、三角函数)综合问题．试题以基础题和中档题为主，偶尔也会出现在13题、14题位置，解决问题的方法灵活多变，如运用数量积定义，运用坐标计算等．为此，二轮复习中，要重视对不同问题的方法进行梳理，形成完整的解题体系.‎ ‎（一）向量数量积的常见求法 例1. (1)在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝，求·的值．‎ ‎(2)已知圆O：x2＋y2＝4，直线l：x－3y＋3＝0与圆O交于A，B两点，求·的值．‎ 解析：(1)如图(1)在△ABC中，·＝||||cos(π－C)＝5×8×(－)＝－20.‎ ‎　　‎ 图(1)　　　　　　　　　　　　　图(2)‎ 变式1　如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．‎ 解析：建立如图的直角坐标系，则A(0,0)、B(，0)、E(，1)，设F(x,2)，‎ 因为·＝，所以·＝(，0)(x,2)＝，解得x＝1，从而·＝(，1)(1－，2)＝.‎ 变式2　如图，在四边形ABCD中，AC＝，BD＝1，则(＋)·(＋)＝________.‎ 解析：因为与不共线，所以，可以作为平面所有向量的一组基底．所以(＋)·(＋)‎ ‎＝[(＋)＋(－)]·(＋)‎ ‎＝(－)·(＋)＝2－2＝3－1＝2.学 ‎ ‎（二）几何图形中的数量积问题 例2. 在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f(x)＝(x>0)的图象上任意一点，过M点向直线y＝x和y轴作垂线，垂足分别是A，B，求·的值．‎ 解析：设M(x0，y0)，可求得A(，)，B(0，y0)，＝(，)，＝(－x0,0)，·＝，而M(x0，y0)在f(x)＝上，则x0y0＝x＋4，则·＝－2.‎ 变式1　在矩形ABCD中，＝a，＝b，N是CD的中点，M是线段AB上的点，|a|＝2，|b|＝1，‎ ‎(1)若M是AB的中点，求证：与共线；‎ ‎(2)在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；‎ ‎(3)若动点P在矩形ABCD上运动，试求·的最大值及取得最大值时P点的位置．‎ 解析：(1)因为＝＋＝a＋b，＝＋＝－a－b，所以＝－，从而与共线．‎ ‎ (3)①当P在线段AB上时，设＝ka(0≤k≤1)，则·＝ka·a＝4k，所以·的最大值为4；[ :学 ]‎ ‎②当P在线段BC上(不含端点)时，设＝kb(0

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