2018-2019学年内蒙古集宁一中(西校区)高二下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）
2018-2019学年内蒙古集宁一中(西校区)高二下学期第一次月考数学（理）试题
一、单选题
1．“”是“为椭圆方程”是( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若表示椭圆，则，且
∴或者
故是为椭圆方程的必要不充分条件
故选B
2．已知双曲线： 的焦距为，焦点到双曲线的渐近线
的距离为，则双曲线的离心率为( )
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为，即，又，代入得，解得，即，故选．
【考点】双曲线的标准方程及其几何性质.
3．等于
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】故选C
4．下列式子不正确的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分析选项，易知C选项的导函数可得答案.
【详解】
对于选项C，，C错误
故选C
【点睛】
本题主要考查了初等函数导函数的四则运算，属于基础题.
5．由曲线和直线围成的封闭图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先求出曲线与直线的交点，然后利用定积分表示围成封闭图形的面积，最后计算定积分．
【详解】
由题意，曲线y=x2和直线y=x+2的交点为（﹣1，1），（2，4），如图
所以围成封闭图形的面积为：.
故选：C．
【点睛】
利用定积分求平面图形面积的步骤
(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差；(4)计算定积分得出答案．
6．函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】求函数的导数，利用导数求函数的单调区间.
【详解】
由，令 可得，所以函数的单调递减区间为，故选A.
【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，属于中档题.
7．已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】 ,选D.
8．函数f(x)=x3－ax2－bx+a2,在x=1时有极值10，则a、b的值为（ ）
A. a=3,b=－3或a=―4,b=11 ； B. a=－4,b=1或a=－4,b=11 ；
C. a=－1,b=5 ； D. 以上都不对
【答案】A
【解析】解：因为函数f(x)=x3－ax2－bx+a2,在x=1时有极值10，则利用f’(x)=3x2-2ax-b中x=1导数为零，同时x=1，y=10,联立方程组可知a=3,b=－3或a=―4,b=11 ,经检验都符合题意，选A
9．若平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与夹角的余弦是
A．- B． C． D．
【答案】D
【解析】分别求出法向量
的模长，然后用向量的夹角公式求得余弦值，得出平面的夹角余弦值.
【详解】
由题
所以
故平面与夹角的余弦是
故选D
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量解决平面的二面角的问题，属于基础题.
10．如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=的图象可能是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由原函数的图像分析单调性，然后判断出导函数的正负，可得答案.
【详解】
由原函数图像可知单调性是先增，再减，再增，再减，可得导函数图像应该是先正，再负，再正，再负，只有选项A满足，
故选A
【点睛】
本题考查了函数图像的问题，掌握利用导函数判断函数单调性的方法以及善于从图像获取信息是解题的关键，属于基础题.
11．函数在上取最大值时，的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：函数的导数为，令得，又因为，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以使得函数取得最大值的的值为，故选B.
【考点】利用导数研究函数在闭区间上的最值.
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.函数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，来找到所需要的最值点和最值,本题中只需要研究在上的单调性，就能找到极大值点也就是最大值点.
12．若函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则b的取值范围为（ ）
A．0
0 D．b<
【答案】A
【解析】先根据题意，求得极值点再(0,1)上，然后求导判断函数的单调性，找到极值点，然后求解即可.
【详解】
因为函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，所以极值点再(0,1)上,
解得
所以在递增，在递减；
递增；所以在取极小值，
又因为
故选A
【点睛】
本题考查了导函数的应用极值，判断极值点是解题的关键，属于中档题.
二、填空题
13．曲线在点处的切线倾斜角为__________．
【答案】
【解析】先求出曲线方程的导函数，把x=1代入导函数中求出的函数值即为切线方程的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的正切值等于切线方程的斜率，然后利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．
【详解】
由题意得，所以，
即在点处的切线的斜率为，所以切线的倾斜角为.
故答案为：
【点睛】
此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握直线斜率与倾斜角间的关系，灵活运用特殊角的三角函数值化简求值，属于基础题．
14．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，A1A＝4，M为A1A的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为_____．
【答案】
【解析】连接BC1，则BC1∥AD1，可得∠MBC1为异面直线AD1与BM所成角，由已知求解三角形MBC1 的三边长，再由余弦定理求异面直线AD1与BM所成角的余弦值．
【详解】
如图，
连接BC1，则BC1∥AD1，
∴∠MBC1为异面直线AD1与BM所成角，
在正四棱柱AC1中，由AB＝2，A1A＝4，M为A1A的中点，
得，，．
在△MBC1中，由余弦定理得：cos∠MBC1．
故答案为：．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．
15．若，则的值是__________．
【答案】2
【解析】试题分析：∵，易得，故答案为.
【考点】定积分的计算.
16．如图是y=f(x)导函数的图象，对于下列四个判断：
①f(x）在［-2，-1］上是增函数；
②x=-1是f(x)的极小值点；
③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；
④x=3是f(x)的极小值点.
其中判断正确的是_______.
【答案】②③
【解析】试题分析：本题是一个图象题，考查两个知识点：一是导数的正负与函数单调性的关系，在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；二是极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取到极大值，左减右增取到极小值。解：由图象可以看出，在[-2，-1]上导数小于零，故①不对；x=-1左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以x=-1是f（x）的极小值点，故②对；在[-1，2]上导数大于零，在[2，4]上导数小于零，故③对； x=3左右两侧导数的符号都为负，所以x=3不是极值点，④不对．故答案为②③
【考点】导数与单调性
点评：本题是较基础的知识型题，全面考查了用导数与单调性，导数与极值的关系，是知识性较强的一个题
三、解答题
17．已知的内角的对边分别为，且.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若的面积，求的值.
【答案】（I） ；（II）.
【解析】（Ⅰ）先由题，求得，再利用正弦定理，求得的值；
（Ⅱ）先用面积公式求得边c，再用余弦定理求得边.
【详解】
(I) ①，
由正弦定理：有，解得。
（II），
，
由余弦定理有：,
.
【点睛】
本题考查了运用正余弦定理解三角形，合理的运用正余弦定理是解题的关键，属于较为基础题.
18．函数 .
（I）若在点处的切线斜率为，求实数的值；
（II）若在处取得极值，求函数的单调区间.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数的增区间是和，减区间是和.
【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导，根据导数的几何意义可知，从而可求得的值. （Ⅱ）由极值点的的概念可知，从而可得的值.再将导数化简令导数大于0得增区间，令导数小于0得减区间.
试题解析：解：（Ⅰ）. 根据题意，解得.
（Ⅱ）. 由于在点处取得极值，那么，解得，则，令得，列表
那么，函数的增区间是和，减区间是和
【考点】1导数的几何意义；2用导数求函数的单调性.
19．在四棱锥中，底面为菱形，平面，且 是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线和平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）详见解析 （2）
【解析】试题分析：证明线面平行有两种方法：一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；求线面角有两种方法：一是先做再证，最后求出，是一种传统方法，另一种是建立空间直角坐标系，利用法向量求线面角,本题采用第二种方法.
试题解析;
（法1）（Ⅰ）连，交于点，连接
∵底面为菱形 ∴为中点，又∵是的中点
∴是△的中位线，∴
又∵∴
（Ⅱ）
（2）以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz
（略写）求得平面PBC的法向量，
∴
∴直线和平面所成的角的正弦值为
20．已知函数，当时，函数取得极值.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若方程有3个不等的实数解，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】（1）根据f（2），f′（2）＝0列方程解出a，b得出f（x）的解析式，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求出f（x）的极大值和极小值，则k介于f（x）的极大值与极小值之间．
【详解】
（1）,由题意得，
解得
故所求函数的解析式为.
， ，
在点处的切线方程为： ，
即.
（2）由(1)可得，
令，得或.
当变化时， ， 的变化情况如下表：
因此，当时， 有极大值，当时， 有极小值，
所以函数的图象大致如图所示．
若有个不同的根，
则直线与函数的图象有个交点
所以.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性，极值的关系，考查了数形结合的思想，属于中档题．
21．设抛物线的焦点为,经过点的动直线交抛物线于点 且.
(1)求抛物线的方程;
(2)若为坐标原点),且点在抛物线上,求直线斜率;
(3)若点M是抛物线的准线上的一点,直线MF,MA,MB斜率分别为 .求证:当为定值时,也为定值.
【答案】（1）（2）倾斜角为或（3）
【解析】试题分析：⑴根据题意可知：，设直线的方程为：，则：
联立方程：，消去可得：（），
根据韦达定理可得：，∴，∴：
⑵设，则：，由（）式可得：
∴，
又，∴
∴
∵，∴，∴，∴
∴直线的斜率，∴倾斜角为或
⑶可以验证该定值为，证明如下：
设，则：，，
∵，∴
∴
∴为定值
【考点】抛物线
点评：考查了直线与抛物线的位置关系的运用，体现了运用代数的方法求解解析几何的运用，属于基础题。
22．设函数 ．
（I）求的单调区间；
（II）当0
查看更多
