高考数学提分必备30个黄金考点专题07函数的图象学案文

高考数学提分必备30个黄金考点专题07函数的图象学案文

专题 07 函数的图象 【考点剖析】 1.命题方向预测： 从近几年的高考试题来看，主要考查图象的辨识以及利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解，多以 选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象及应用. 预测 2019 年高考对本节内容的考查仍将以函数图象识别与函数图象的应用为主，依然体现“有图考图”“无 图考图”的原则，题型仍为选择题或填空题的形式．备考时要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质， 增强函数性质的应用意识，另外还应熟练掌握各种图象变换的法则. 2.课本结论总结： （1）画函数图象的一般方法 ①描点法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出， 其步骤为：先确定函数的定义域，化简给定的函数解析式，再根据化简后的函数解析式研究函数的值域、 单调性、奇偶性、对称性、极值、最值，再根据函数的特点取值、列表，描点，连线，注意取点，一定要 包括关键点，如极值点、与 x 轴的交点等． ②图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出， 但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对 变换单位及解析式的影响． （2）常见的图象变换 ①平移变换： 左右平移：函数 ( )( 0)y f x h h   的图象可由函数 ( )y f x 的图象向左（+）或向右（—）平移 h 个单位 得到； 上下平移： ( )y f x b  （ 0b  ）的图象可由函数 ( )y f x 的图象向上（+）或向下（—）平移b 个单位 得到； ②伸缩变换 函数 ( )( 0)y f x   是将函数 ( )y f x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1  得到； 函数 ( )( 0)y Af x A  是将函数 ( )y f x 图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍的得到； ③对称变换 函数 ( )y f x 图象关于 x 轴对称得到函数 ( )y f x  图象； 函数 ( )y f x 图象关于 y 轴对称得到函数 ( )y f x  图象； 函数 ( )y f x 图象关于原点对称得到函数 ( )y f x   图象； 函数 ( )y f x 图象关于直线 x a 对称得到函数为 (2 )y f a x  图象． ④翻折变换 函数 (| |)y f x 的图象这样得到：函数 ( )y f x 在 y 轴右侧的图象保持不变，左侧的图象去掉后，再将右 侧的图象翻折到 y 轴左侧（函数 (| |)y f x 为偶函数，其图象关于 y 轴对称）; 函数 | ( ) |y f x 的图象是这样得到的：函数 ( )y f x 在 x 轴上方的图象保持不变，把下方的图象关于 x 轴 对称到上方（注意到函数 | ( ) |y f x 的函数值都大于零）． 3.名师二级结论： （1）函数图象的几个应用 ①判断函数的奇偶性、确定单调区间：图象关于原点对称是奇函数，图象关于 y 轴对称是偶函数.图象从左 到右上升段对应的 x 的取值范围是增区间，下降对应的 x 的取值范围是减区间. ②方程 ( ) ( )f x g x 的根就是函数 ( )y f x 与函数 ( )y g x 图象交点的横坐标. ③不等式 ( ) ( )f x g x 的解集是函数 ( )y f x 的图象在函数 ( )y g x 图象上方的一段对应的 x 的取值范围 （交点坐标要通过解方程求得） （2）函数 ( )y f x 的图象的对称性 ①若函数 )(xfy  关于 x a 对称  对定义域内任意 x 都有 ( )f a x = ( )f a x  对定义域内任意 x 都 有 ( )f x = (2 )f a x  ( )y f x a  是偶函数； ②函数 )(xfy  关于点（ a ，0）对称  对定义域内任意 x 都有 ( )f a x =－ ( )f a x  (2 )f a x =－ ( )f x  ( )y f x a  是奇函数； ③若函数 )(xfy  对定义域内任意 x 都有 )()( xbfaxf  ,则函数 )(xf 的对称轴是 2 bax  ； ④若函数 )(xfy  对定义域内任意 x 都有 ( ) ( )f x a f b x    ,则函数 )(xf 的对称轴中心为 ( ,0)2 a b ； ⑤函数 (| |)y f x a  关于 x a 对称. (3) 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径． ①图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换． ②函数解析式的等价变换． ③研究函数的性质． 4.考点交汇展示： (1)与参数范围问题交汇 例 1.函数    2 ax bf x x c   的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） （A） 0a  ， 0b  ， 0c  （B） 0a  ， 0b  ， 0c  （C） 0a  ， 0b  ， 0c  （D） 0a  ， 0b  ， 0c  【答案】C (2)与函数性质交汇 例 2.【2018 年浙江卷】函数 y= sin2x 的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D (3)与函数零点问题交汇 例 3.【2018 届重庆市綦江中学高三高考适应性考试】已知函数 若关于 的方程 恰有两个不同的实根，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 当 时，方程 可化为 ， 即 ，故 或 ， 可得 ，至少有一个根 ， 记 ，显然函数 在 和 上单调递增， 只需函数 的图象及直线 有一个交点， 由图可知，当 或 时，直线 与函数 的图象有一个交点； 当 时，直线 与函数 的图象有两个交点； 当 时直线 与函数 的图象有三个交点 综上，当 或 时，方程 有两个不同的实根， 实数 的取值范围为 ，故选 B . （4）与不等式交汇 例 4【2018 年高考专家猜题卷】已知函数 ， ， ，且 ， 若 ，则实数 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 同一坐标系内，分别作出函数 的图象， 如图， 【考点分类】 考向一 函数图象的识别 1.已知函数 ，则函数 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2.【2018 届河南省郑州外国语学校第十五次调研】已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：由函数图象可知，函数图象关于 轴对称，可得函数是偶函数，逐一判断选项中函数的奇偶 性即可的结果. 详解：由函数图象可知，函数图象关于 轴对称， 函数是偶函数， 对 ， ，函数不是偶函数； 对 ， ，函数不是偶函数； 对 ， ，函数不是偶函数； 对 ， ，是偶函数，故选 D. 3.【2018 届山东省潍坊市青州市三模】函数 在区间 上的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【方法规律】 1.识图常用的方法 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解 决问题． (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题． (3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题. （4）利用函数本身的性能或特殊点（与 x 、 y 轴的交点，最高点、最低点等）进行排除验证. 2.函数图象的识辨可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项． 【解题技巧】 函数图象的分析判断主要依据两点： 一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等； 二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项． 【易错点睛】 1.函数图象左右平移平移的长度单位是加在 x 上，而不是加在 x 上，处理左右平移问题要注意平移方向与 平移的长度单位. 2.在图象识别中忽视函数的定义域或有关性质分析不到位导致解题出错. 例 已知定义域为[0,1]上的函数 ( )f x 图象如下图左图所示，则函数 ( 1)f x  的图象可能是（ ） 【错解】先将 ( )f x 的图象沿 y 轴对折得到 ( )f x 的图象，再将所得图象向左平移 1 个长度单位就得到函数 ( 1)f x  的图象，故选 A. 【错因分析】没有掌握图象变换，图象平移长度单位是加在 x 上，而不是加在 x 上，本例因 ( 1)f x  = [ ( 1)]f x  ，故先做对称变换后，应向右平移 1 长度单位. 【预防措施】先将所给函数化为 [ ( )]f x a  形式，若先做伸缩变换，再作平移变换，注意平移方向和平移 单位. 【正解】因 ( 1)f x  = [ ( 1)]f x  ,先将 ( )f x 的图象沿 y 轴对折得到 ( )f x 的图象，再将所得图象向右平 移 1 个长度单位就得到函数 ( 1)f x  的图象，故选 B. 考向 2 函数图象的应用 1.【2018 届河北省衡水中学 6 月 1 日适应性训练】已知实数 ， ， ， ， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 2.【2018 届二轮优选整合】若函数 y＝f(x)的图象上存在不同的两点 M、N 关于原点对称，则称点对(M，N) 是函数 y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)．已知函数 f(x)＝ 则此函数的“和谐点对”有( ) A． 1 对 B． 2 对 C． 3 对 D． 4 对 【答案】B 【解析】作出 的图象如图所示， 由题意可得函数 f(x)的“和谐点对”数即为函数 和函数 的图象的交点个数． 由图象知，函数 f(x)有 2 对“和谐点对”． 3.【2019 届安徽省肥东县高级中学 8 月调研】已知函数 ，若函数 有 两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由图可得：当 时，满足条件； 由 时 与 相切得： 0 时，满足条件； 故 ， 故选：D． 【方法规律】 1．研究函数的性质时一般要借助函数图象，体现了数形结合思想． 2．有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解． 3．方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解． 【解题技巧】 1.为了更好的利用函数图象解题，准确的作出函数的图象是解题关键，要准确的作出图象必须做到以下两 点： (1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数 函数、对数函数、幂函数、形如 1y x x   的函数； (2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过 程. 2．利用函数的图象研究函数的性质 从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向 趋势，分析函数的单调性、周期性等． 3．利用函数的图象研究方程根的分布或求根的近似解 对所给的方程进行变形，转化为两个熟悉的函数的交点问题，作出这两个函数的图象，观察出交点个数即 为方程解的个数，或找出解所在的区间或结合图象由解的个数找出参数满足的条件，从而求出参数的范围 或参数的值． 【易错点睛】 一个函数的图象关于原点(y 轴)对称与两个函数的图象关于原点(y 轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇 (偶)函数，后者是两个不同的函数对称． 例 已知函数 ( )y f x 的定义域为 R，则函数 (2 )y f x  与函数 ( 2)y f x  的图象关于（ ） A．直线 y =0 对称 B.直线 x =0 对称 C.直线 2y  对称 D.直线 x =2 对称 【错解】∵函数定义在实数集上，且 (2 ) ( 2)f x f x   ， ∴函数 ( )y f x 的图象关于直线 x =0 对称，故选 B. 【错因分析】错用函数自身对称的结论处理两个函数对称问题. 【预防措施】首先分析要解决的对称问题是自身的对称问题还是两个函数的对称问题，其次要掌握判断函 数自身对称的方法和判断两个函数对称的方法. 【正解】函数 ( 2)y f x  的图象是将函数 ( )y f x 的图象向右平移 2 个单位得到， 而函数 (2 )y f x  = [ ( 2)]f x  的图象是先将 ( )y f x 的图象关于 x =0 对称变换得到 ( )y f x  的图 象，再将 ( )y f x  的图象向右平移 2 个单位得到，因此函数 ( 2)y f x  与函数 (2 )y f x  关于 x =2 对称，故选 D. 【热点预测】 1.【2018 届甘肃省天水市第一中学高三上第一次月考】函数  ln 1y x  的大致图像为( ) A. B. C. D. 【答案】C 2.【2018 届河北省武邑中学四模】已知函数 ，在 的大致图 象如图所示，则 可取（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 3.【2018 届北京市十一学校三模】下列函数图象不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：根据常见函数的图象即可判断. 解析：对 A， 为轴对称图形，其对称轴为 y=x 或 y=-x； 对 B， 不是轴对称图形； 对 C， 在 为轴对称图形，对称轴为 ； 对 D， 为轴对称图形，其对称轴为 x=0. 故选：B. 4.【2018 届湖南省张家界市三模】在同一直角坐标系中，函数   2f x ax  ，    log 2ag x x  （ 0a  ， 且 1a  ）的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 5.偶函数 )(xf 满足 )1()1(  xfxf ,且在 ]1,0[x 时， 2)( xxf  ，则关于 x 的方程 x xf      10 1)( 在 ]3,2[ 上的根的个数是 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 C 【解析】由题意可得， ( 2) ( )f x f x  .即函数 ( )f x 为周期为 2 的周期函数，又 ( )f x 是偶函数， 所以，在同一坐标系内，画出函数 ( )f x ， | |1( )10 xy  的图象，观察它们在区间 ]3,2[ 的交点个数，就是方 程 x xf      10 1)( 在 ]3,2[ 上根的个数，结合函数图象的对称性，共有5个交点，故选 C . 6.【2018 届山东省滕州市第三中学高三一轮复习】已知函数 f（x）= 3, 1{ 2, 1 x x x x x     ，若关于 x 的方程 f （f（x））=a 存在 2 个实数根，则 a 的取值范围为（ ） A. [﹣24，0） B. （﹣∞，﹣24）∪[0，2） C. （﹣24，3） D. （﹣∞，﹣24]∪[0，2] 【答案】B , 7.【2018 届四川省成都市第七中学三诊】定义函数 ，则函数 在 区间 （ ）内所有零点的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由 得 ， 故函数 的零点即为函数 和函数 图象交点的横坐标． 由 可得，函数 是以区间 为一段，其图象为在水平方向上伸长为原来的 2 倍，同 时在竖方向上缩短为原来的 ．从而先作出函数 在区间 上的图象，再依次作出在 上的图象（如图）． 8.【2019 届湖南省长郡中学第一次月考】若定义在 上的偶函数 满足 且 时， ，则方程 的零点个数是（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【解析】 因为数 满足 ，所以周期 当 时， ，且 为偶函数，所以函数图像如下图所示 由图像可知，方程 有四个零点 所以选 C 9.【2018 年高考专家猜题卷】已知函数 ， ， ，且 ， 若 ，则实数 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 同一坐标系内，分别作出函数 的图象， 如图， 10.【2018 届宁夏石嘴山市第三中学四模】对于实数 a，b，定义运算“*”：a*b＝ ,设 f (x) ＝(x－4)* ，若关于 x 的方程|f (x)－m|＝1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，则实数 m 的取值范 围是________． 【答案】(－1,1)∪(2,4) 【解析】 解不等式 x﹣4≤ ﹣4 得 x≥0，f（x）= ， 画出函数 f（x）的大致图象如图所示． 10.【2018 届山东省临沂市沂水县第一中学三轮】已知定义在 上，且周期为 2 的函数 满足 ，若函数 有 3 个零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 先画出函数 f(x)在一个周期[-1,1]上的图像，再把函数的图像按照周期左右平移得到函数 f(x)在原点附近 的图像，如图所示， 11.【2018 届湖北省宜昌市一中考前训练 2】定义在实数集 上的函数 满足 ，当 时， ，则函数 的零点个数为__________． 【答案】 . 【解析】 定义在 上的函数 ，满足 ， 上的偶函数， 因为 满足 ， 函数 为周期为 的周期函数，且为 上的偶函数， 因为 时， ， 所以，在 上 递增，且值域为 根据周期性及奇偶性画出函数 的图象和 的图象， 如图，根据 的图象在 上单调递增函数， 当 时， ， 当 时， 的图象与函数无交点， 结合图象可知有 个交点，故答案为 . 12.已知函数 1 ( ) 12 2 x x f x    (0 1) ( 1) x x    ，设 0a b  ，若 ( ) ( )f a f b ，则 ( )b f a 的取值范围是 . 【答案】 3 , 24     ． 13.已知函数 1 1, 1( ) 10 ln 1, 1 x xf x x x        ，则方程 ( )f x ax 恰有两个不同实数根时，实数 a 的取值范围是 . 【答案】 2 1 1( 1,0] [ , )10 e   【解析】∵方程 ( )f x ax 恰有两个不同实数根，∴ ( )y f x 与 y ax 有 2 个交点，∵ a 表示直线 y ax 的斜率，∴ ' 1y x  ，设切点为 0 0( , )x y ， 0 1k x  ，所以切线方程为 0 0 0 1 ( )y y x xx    ，而切线过原点， 所以 0 1y  ， 2 0x e ， 2 1k e  ，所以直线 1l 的斜率为 2 1 e ，直线 2l 与 1 110y x  平行，所以直线 2l 的斜率 为 1 10 ，所以当直线在 1l 和 2l 之间时,符合题意，所以实数 a 的取值范围是 2 1 1[ , )10 e ，还有一部分是在 3l 的位 置向下旋转一直到转平为止都符合题意，这时实数 a 的取值范围是 ( 1,0] ，所以综上所述，实数 a 的取值 范围是 2 1 1( 1,0] [ , )10 e   . 14.【2018 届宁夏银川一中高三上第二次月考】已知 若关于 的方程 有四个 实根 ，则四根之和 的取值范围_________ 【答案】