高考数学 17-18版 第9章 第45课 课时分层训练45

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高考数学 17-18版 第9章 第45课 课时分层训练45

课时分层训练(四十五)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、填空题 ‎1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________.‎ ‎(x-1)2+(y-1)2=2 [圆的半径r==,∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.]‎ ‎2.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为________. ‎ ‎【导学号:62172247】‎ ‎(x-2)2+(y-1)2=1 [(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,1),∴圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.]‎ ‎3.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为________.‎  [圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=2,则圆心坐标为(1,-2).‎ 故圆心到直线x-y-1=0的距离d==.]‎ ‎4.已知圆(x-2)2+(y+1)2=16的一条直径通过直线x-2y+3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为________.‎ ‎2x+y-3=0 [易知圆心坐标为(2,-1).‎ 由于直线x-2y+3=0的斜率为,‎ ‎∴该直径所在直线的斜率k=-2.‎ 故所求直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.]‎ ‎5.若圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是________.‎ ‎(x+5)2+y2=5 [设圆心为(a,0)(a<0),‎ 则r==,解得a=-5,‎ 所以圆O的方程为(x+5)2+y2=5.]‎ ‎6.经过原点并且与直线x+y-2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程是________. 【导学号:62172248】‎ ‎(x-1)2+(y+1)2=2 [设所求圆的圆心为(a,b).‎ 依题意(a-2)2+b2=a2+b2, ①‎ =1, ②‎ 解①②得a=1,b=-1,‎ 则半径r==,‎ ‎∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.]‎ ‎7.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则PQ的最小值为________.‎ ‎4 [如图所示,圆心M(3,-1)与直线x=-3的最短距离为MQ=3-(-3)=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.]‎ ‎8.(2016·浙江高考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+‎5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.‎ ‎(-2,-4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a2=a+2,解得a=2或-1.当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,配方得2+(y+1)2=-<0,不表示圆;‎ 当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,则圆心坐标为(-2,-4),半径是5.]‎ ‎9.已知点M(1,0)是圆C:x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.‎ x+y-1=0 [圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),‎ 则kCM==1.‎ ‎∵过点M的最短弦与CM垂直,∴最短弦所在直线的方程为y-0=-1(x-1),即x+y-1=0.]‎ ‎10.(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx ‎-y-‎2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________.‎ ‎(x-1)2+y2=2 [因为直线mx-y-‎2m-1=0恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)到直线mx-y-‎2m-1=0的最大距离为d==,所以半径最大时的半径r=,所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.]‎ 二、解答题 ‎11.已知直线l:y=x+m,m∈R,若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,求该圆的方程. 【导学号:62172249】‎ ‎[解] 法一:依题意,点P的坐标为(0,m),‎ 因为MP⊥l,所以×1=-1,‎ 解得m=2,即点P的坐标为(0,2),‎ 圆的半径r=MP==2,‎ 故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.‎ 法二:设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2,‎ 依题意,所求圆与直线l:x-y+m=0相切于点P(0,m),‎ 则 解得 所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.‎ ‎12.(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标;‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.‎ ‎[解] (1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,‎ 所以圆C1的圆心坐标为(3,0).‎ ‎(2)设M(x,y),依题意·=0,‎ 所以(x-3,y)·(x,y)=0,则x2-3x+y2=0,‎ 所以2+y2=.‎ 又原点O(0,0)在圆C1外,‎ 因此中点M的轨迹是圆C与圆C1相交落在圆C1内的一段圆弧.‎ 由消去y2得x=,‎ 因此<x≤3.‎ 所以线段AB的中点M的轨迹方程为2+y2=.‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为________.‎ ‎36 [(x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到点(5,-4)的距离的平方.点(5,-4)到圆心(2,0)的距离d==5.‎ 则点P(x,y)到点(5,-4)的距离最大值为6,从而(x-5)2+(y+4)2的最大值为36.]‎ ‎2.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,求圆C的方程.‎ ‎[解] 法一:(代数法)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0),设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-‎4F>0),‎ 则有解得 故圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0.‎ 法二:(几何法)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).‎ 故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为=3,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.‎ ‎3.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.‎ ‎(1)求M的轨迹方程;‎ ‎(2)当OP=OM时,求l的方程及△POM的面积.‎ ‎[解] (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.‎ 设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).‎ 由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,‎ 即(x-1)2+(y-3)2=2.‎ 由于点P在圆C的内部,‎ 所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.‎ ‎(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.‎ 由于OP=OM,故O在线段PM的垂直平分线上.‎ 又P在圆N上,从而ON⊥PM.‎ 因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,‎ 故l的方程为y=-x+.‎ 又OM=OP=2,O到l的距离为,PM=,所以△POM的面积为.‎ ‎4.已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.‎ ‎[解] (1)设圆心C(a,b),‎ 由已知得M(-2,-2),‎ 则解得 则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,‎ 故圆C的方程为x2+y2=2.‎ ‎(2)设Q(x,y),则x2+y2=2,‎ ·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)‎ ‎=x2+y2+x+y-4=x+y-2.‎ 令x=cos θ,y=sin θ,‎ 所以·=x+y-2‎ ‎=(sin θ+cos θ)-2‎ ‎=2sin-2,‎ 所以·的最小值为-4.‎
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