2021高考数学一轮复习课后限时集训51圆的方程理北师大版

2021高考数学一轮复习课后限时集训51圆的方程理北师大版

课后限时集训51‎ 圆的方程 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为(　　)‎ A．(－1,1)　　　　　 B．(－1,0)‎ C．(1，－1) D．(0，－1)‎ D　[由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝＝，‎ 要使圆的面积最大，须使半径最大，‎ 所以当k＝0时，rmax＝＝1，‎ 此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，‎ 即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．]‎ ‎2．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0,2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为(　　)‎ A．(x－1)2＋(y－1)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5‎ C．(x－1)2＋y2＝5 D．x2＋(y－1)2＝5‎ A　[由题意得，点(a,1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径r.‎ ‎∴＝，解得a＝1.‎ ‎∴r＝＝，‎ ‎∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.]‎ ‎3．设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为(　　)‎ A.＋2 B． C．5 D．6‎ A　[的几何意义为点P(x，y)与点A(1,1)之间的距离．易知点A(1,1)在圆x2＋(y＋4)2＝4的外部，由数形结合可知的最大值为＋2＝＋2.故选A.]‎ ‎4．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是 ‎(　　)‎ 6‎ A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝4‎ C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．2＋y2＝ C　[设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)．∵点A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.故选C.]‎ ‎5．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)‎ A．2 B．8‎ C．4 D．10‎ C　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 则 解得 ‎∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.‎ 令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，‎ ‎∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，‎ ‎∴|MN|＝4，故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．‎ ‎4　[如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，‎ 又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]‎ ‎7．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为________．‎ ‎(x－2)2＋(y－1)2＝1　[设对称圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，圆心(1,2)关于直线y＝x的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]‎ ‎8．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的范围为________．‎ ‎(0,4)　[设圆心为C(a,0)，由|CA|＝|CB|得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32.所以a＝2.‎ 半径r＝|CA|＝＝.‎ 故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.‎ 由题意知(m－2)2＋()2＜10，‎ 解得0＜m＜4.]‎ 三、解答题 6‎ ‎9．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．‎ ‎(1)求|MQ|的最大值和最小值；‎ ‎(2)求的最大值和最小值．‎ ‎[解]　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，‎ 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，‎ ‎∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.‎ 又|QC|＝＝4，‎ ‎∴|MQ|max＝4＋2＝6，‎ ‎|MQ|min＝4－2＝2.‎ ‎(2)可知表示直线MQ的斜率k.‎ 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.‎ 由直线MQ与圆C有交点，‎ 所以≤2，‎ 可得2－≤k≤2＋，‎ ‎∴的最大值为2＋，最小值为2－.‎ ‎10.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2，高为3.‎ ‎(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；‎ ‎(2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．‎ ‎[解]　(1)由已知可知A(－3,0)，B(3,0)，C(，3)，D(－，3)，‎ 设圆心E(0，b)，由|EB|＝|EC|可知 ‎(0－3)2＋(b－0)2＝(0－)2＋(b－3)2，解得b＝1.‎ 所以r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10.‎ 所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.‎ ‎(2)设P(x，y)，由点P是MN中点，得M(2x－5,2y－2)．‎ 将M点代入圆的方程得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10，‎ 即2＋2＝.‎ ‎1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)‎ 6‎ A．[2,6] B．[4,8]‎ C．[，3] D．[2，3]‎ A　[圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．]‎ ‎2．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为(　　)‎ A．1 B．5‎ C．4 D．3＋2 D　[由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，‎ ‎∴‎2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，‎ ‎∴＋＝(a＋b)＝3＋＋ ‎≥3＋2＝3＋2，‎ 当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．‎ ‎∴＋的最小值为3＋2.]‎ ‎3．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为________．‎ ‎(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2　[设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.‎ 由题意可知∴或 故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.]‎ ‎4．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.‎ ‎(1)求直线CD的方程；‎ ‎(2)求圆P的方程．‎ ‎[解]　(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．‎ 6‎ 则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.‎ ‎(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得 a＋b－3＝0.①‎ 又因为直径|CD|＝4，‎ 所以|PA|＝2，‎ 所以(a＋1)2＋b2＝40.②‎ 由①②解得 或 ‎ 所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)．‎ 所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.‎ ‎1．(2019·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为________．‎ ‎12　[由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.]‎ ‎2. 在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋‎2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.‎ ‎(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．‎ ‎[解]　由曲线Γ：y＝x2－mx＋‎2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋‎2m＝0.设A(x1,0)，B(x2,0)，可得Δ＝m2－‎8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝‎2m.令x＝0，得y＝‎2m，即C(0,‎2m)．‎ ‎(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋‎4m2‎＝0，即‎2m＋‎4m2‎＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－.‎ 此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，‎ 半径r＝|CM|＝，‎ 故所求圆的方程为2＋y2＝.‎ 6‎ ‎(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋‎2m＝0，‎ 将点C(0,‎2m)代入可得E＝－1－‎2m，‎ 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋‎2m)y＋‎2m＝0.‎ 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.‎ 令 可得或 故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和.‎ 6‎