吉林省吉林市三校2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试卷

吉林省吉林市三校2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试卷

‎2018—2019学年度下学期期末质量监测试题 高二数学(理)‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ，故选A.‎ ‎2.已知复数为纯虚数，则 A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为复数为纯虚数，，且 ，所以，故选B.‎ ‎3.已知平面向量，则（ ）‎ A. B. 3 C. D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由的坐标，得到的坐标，进而可得向量的模.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因此.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查向量的模，熟记向量的坐标表示即可，属于常考题型.‎ ‎4.已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由得，，解得，从而，故选C.‎ ‎5.生物实验室有只兔子，其中只有只测量过某项指标.若从这只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用组合公式得到答案.‎ ‎【详解】 ‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题型.‎ ‎6.已知函数，若将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则下列结论中不正确的是 A. B. 是图象的一个对称中心 C. D. 是图象的一条对称轴 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 函数的图象向右平移个单位，可得,的图象关于轴对称，所以,时可得，故，，不正确，故选C.‎ ‎7.若向区域内投点，则该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 区域是正方形，面积为，根据定积分定理可得直线与曲线围成区域的面积为，根据几何概型概率公式可得该点落在由直线与曲线围成区域内的概率为，故选B．‎ ‎8.设，则“”是“”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.‎ ‎【详解】化简不等式，可知 推不出；‎ 由能推出，‎ 故“”是“”的必要不充分条件，‎ 故选B。‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件。‎ ‎9.若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A. B. 1‎ C. 10 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.‎ ‎【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.‎ ‎【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.‎ ‎10.若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=‎ A. 2 B. ‎ C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.‎ ‎【详解】由题意知，的周期，得．故选A．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．‎ ‎11.平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设所求直线为，‎ 由直线与圆相切得，‎ ‎，‎ 解得。所以直线方程为或。选A.‎ ‎12.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．‎ ‎【详解】是R的偶函数，．‎ ‎，‎ 又在(0，+∞)单调递减，‎ ‎∴，‎ ‎，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.在展开式中，的系数为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，二项式展开式的通项为，令，即可求解。‎ ‎【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，‎ 令，即，可得，‎ 即展开式中的系数为40.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式展开式中项的系数问题，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎14.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则； ②若，则；③若，，则；④若，则，其中正确命题的序号是______.‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①利用线面平行性质以及线面垂直的定义判断真假；②利用面面平行的性质以及线面垂直的性质判断真假；③④可借助正方体判断真假.‎ ‎【详解】①因为，过作平面，使得，则有；又因为，所以，又因为，所以，故①正确；‎ ‎②因为，所以；又因为，所以，故②正确；‎ ‎③例如：正方体上底面的对角线分别平行下底面，但是两条对角线互相不平行，故③不正确；‎ ‎④选正方体同一顶点处的三个平面记为，则有，但与相交，故④不正确.‎ 故填：①②.‎ ‎【点睛】判断用符号语言描述的空间中点、线、面的位置关系的正误：（1）直接用性质定理、判定定理、定义去判断；（2）借助常见的空间几何体辅助判断（正方体等）.‎ ‎15.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 ‎【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.‎ 由，得，，‎ 即切点，‎ 则切点Q到直线的距离为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.‎ ‎16.更相减损术是出自九章算术的一种算法如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，，‎ 则输出的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 输入，执行程序框图，第一次；第二次；第三次；第四次，满足输出条件，输出的的值为，故答案为.‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17.设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，‎ 因为成等比数列，所以，‎ 即，解得，所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,‎ 所以；‎ 当或者时，取到最小值.‎ ‎【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.‎ ‎18.在△中，内角的对边分别为，其面积.‎ ‎(1)求的值； ‎ ‎(2) 设内角的平分线交于，，，求 .‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，可得，即；（2）由角平分线定理可知，，，分别在与中，由余弦定理可得，，即，于是可得.‎ 试题解析：（1），可知，即. ‎ ‎（2）由角平分线定理可知，，，‎ 在中，，在中，‎ 即，则.‎ ‎19.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：‎ ‎（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；‎ ‎（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：‎ 超过 不超过 合计 第一种生产方式 第二种生产方式 合计 ‎（3）根据（2）中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？‎ 附：，．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）有的把握认为两种生产方式的效率有差异 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别计算两组数据的中位数或平均值，比较大小得出结果.‎ ‎（2）先计算，完善列联表.‎ ‎（3）计算，与临界值表作比较得到答案.‎ ‎【详解】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：‎ ‎（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至少，用第二种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需时间至多 ‎．因此第二种生产方式的效率更高．‎ ‎（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为．因此第二种生产方式的效率更高．‎ ‎（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于，因此第二种生产方式的效率更高．‎ ‎（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．‎ ‎（2）由茎叶图知．‎ 列联表如下：‎ 超过 不超过 第一种生产方式 ‎15‎ ‎5‎ 第二种生产方式 ‎5‎ ‎15‎ ‎（3）由于，所以有的把握认为两种生产方式的效率有差异．‎ ‎【点睛】本题考查了数据优劣的比较，列联表，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎20.如图，平面，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系 ‎(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；‎ ‎(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；‎ ‎(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.‎ ‎【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，‎ 可得.‎ 设，则.‎ ‎(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，‎ 又，可得，‎ 又因为直线平面，所以平面.‎ ‎ (Ⅱ)依题意，，‎ 设为平面BDE的法向量，‎ 则，即，‎ 不妨令z=1，可得，‎ 因此有.‎ 所以，直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎(Ⅲ)设为平面BDF法向量，则，即.‎ 不妨令y=1，可得.‎ 由题意，有，解得.‎ 经检验，符合题意｡‎ 所以，线段的长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若，求函数的单调区间；‎ ‎(2)若的极小值点，求实数a的取值范围。‎ ‎【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将参数值代入得到函数的表达式，将原函数求导得到导函数，根据导函数的正负得到函数的单调区间；（2）， 因为是的极小值点，所以，得到；分情况讨论，每种情况下是否满足x=1是函数的极值，进而得到结果.‎ ‎【详解】（1）由题 ‎ 由，得 ‎ 由，得；由，得 的单调减区间为，单调增区间为 ‎ ‎（2）， ‎ ‎ 因为是的极小值点，所以 ，即， ‎ 所以 ‎ ‎1°当时，在上单调递减；‎ ‎ 在上单调递增；‎ 所以是的极小值点，符合题意； ‎ ‎2°当时，‎ 在上单调递增；‎ ‎ 在上单调递减；在上单调递增；‎ 所以是的极小值点，符合题意； ‎ ‎3°当时， 在上单调递增，‎ 无极值点，不合题意 ‎ ‎4°当时，‎ 在上单调递增；‎ 在上单调递减；‎ 在上单调递增；‎ 所以是的极大值点，不符合题意； ‎ 综上知，所求的取值范围为 ‎【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧导数值正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。‎ ‎22.在极坐标系中,O为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为P ‎（1）当时，求及的极坐标方程 ‎（2）当在上运动且点P在线段上时，求点P轨迹的极坐标方程 ‎【答案】（1），极坐标方程为（2）点轨迹的极坐标方程为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，直角坐标系坐标为，计算直线方程为 化为极坐标方程为 ‎（2）点的轨迹为以为直径的圆，坐标方程为，再计算定义域得到答案.‎ ‎【详解】(1)当时，，‎ 以为原点，极轴为轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有，，，则直线的斜率由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为；‎ ‎(2)∵∴，则点轨迹为以为直径的圆 此时圆的直角坐标方程为 化成极坐标方程为，又在线段上，由可得，‎ ‎∴点轨迹的极坐标方程为）.‎ ‎【点睛】本题考查了直线的极坐标方程，轨迹方程，忽略掉定义域是容易发生的错误.‎ ‎ ‎