2018届二轮复习（理）回扣3　导　数课件（全国通用）

2018届二轮复习（理）回扣3　导　数课件（全国通用）

回扣 3 　 导　数 考前回扣 基础回归 易错提醒 回归训练 Ⅰ 基础回归 1. 导数的几何意义 (1) f ′ ( x 0 ) 的几何意义：曲线 y ＝ f ( x ) 在点 ( x 0 ， f ( x 0 )) 处的切线的斜率，该切线的方程为 y － f ( x 0 ) ＝ f ′ ( x 0 )·( x － x 0 ). (2) 切点的两大特征： ① 在曲线 y ＝ f ( x ) 上； ② 在切线上 . 2. 利用导数研究函数的单调性 (1) 求可导函数单调区间的一般步骤 ① 求函数 f ( x ) 的定义域； ② 求导函数 f ′ ( x ) ； ③ 由 f ′ ( x ) ＞ 0 的解集确定函数 f ( x ) 的单调增区间，由 f ′ ( x )<0 的解集确定函数 f ( x ) 的单调减区间 . (2) 由函数的单调性求参数的取值范围： ① 若可导函数 f ( x ) 在区间 M 上单调递增，则 f ′ ( x ) ≥ 0( x ∈ M ) 恒成立；若可导函数 f ( x ) 在区间 M 上单调递减，则 f ′ ( x ) ≤ 0( x ∈ M ) 恒成立； ② 若可导函数在某区间上存在单调递增 ( 减 ) 区间， f ′ ( x ) ＞ 0( 或 f ′ ( x )<0) 在该区间上存在解集； ③ 若已知 f ( x ) 在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时，可先求出 f ( x ) 的单调区间，则 I 是其单调区间的子集 . 3. 利用导数研究函数的极值与最值 (1) 求函数的极值的一般步骤 ① 确定函数的定义域； ② 解方程 f ′ ( x ) ＝ 0 ； ③ 判断 f ′ ( x ) 在方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的根 x 0 两侧的符号变化： 若左正右负，则 x 0 为极大值点； 若左负右正，则 x 0 为极小值点； 若不变号，则 x 0 不是极值点 . (2) 求函数 f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的最值的一般步骤 ① 求函数 y ＝ f ( x ) 在 [ a ， b ] 内的极值； ② 比较函数 y ＝ f ( x ) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 . 4. 定积分的三个公式与一个定理 (1) 定积分的性质： Ⅱ 易错提醒 1. 已知可导函数 f ( x ) 在 ( a ， b ) 上单调递增 ( 减 ) ，则 f ′ ( x ) ≥ 0( ≤ 0) 对 ∀ x ∈ ( a ， b ) 恒成立，不能漏掉 “ ＝ ” ，且需验证 “ ＝ ” 不能恒成立；已知可导函数 f ( x ) 的单调递增 ( 减 ) 区间为 ( a ， b ) ，则 f ′ ( x ) ＞ 0( ＜ 0) 的解集为 ( a ， b ). 2. f ′ ( x ) ＝ 0 的解不一定是函数 f ( x ) 的极值点 . 一定要检验在 x ＝ x 0 的两侧 f ′ ( x ) 的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点 . III 回归训练 答案 解析 1. a ， b ， c 依次表示函数 f ( x ) ＝ 2 x ＋ x － 2 ， g ( x ) ＝ 3 x ＋ x － 2 ， h ( x ) ＝ ln x ＋ x － 2 的零点，则 a ， b ， c 的大小顺序为 A. c < b < a B. a < b < c C. a < c < b D. b < a < c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 a ， b ， c 为直线 y ＝ 2 － x 分别与曲线 y ＝ 2 x ， y ＝ 3 x ， y ＝ ln x 的交点横坐标，从图象可知， b < a < c ，故选 D. √ 答案 解析 2. 若曲线 f ( x ) ＝ x 4 － 4 x 在点 A 处的切线平行于 x 轴，则点 A 的坐标为 A.( － 1,2) B .(1 ，－ 3) C.(1,0) D .(1,5) 解析　 对 f ( x ) ＝ x 4 － 4 x ，求导得 f ′ ( x ) ＝ 4 x 3 － 4 ， 由 在点 A 处的切线平行于 x 轴，可得 4 x 3 － 4 ＝ 0 ， 解 得 x ＝ 1 ，即点 A 的坐标为 (1 ，－ 3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3. 若函数 y ＝ f ( x ) 的导函数 y ＝ f ′ ( x ) 的图象如图所示，则 y ＝ f ( x ) 的图象可能为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 根据 f ′ ( x ) 的符号， f ( x ) 图象应该是先下降后上升，最后下降，排除 A ， D ； 从 适合 f ′ ( x ) ＝ 0 的点可以排除 B ，故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 4. 设曲线 f ( x ) ＝－ e x － x (e 为自然对数的底数 ) 上任意一点处的切线为 l 1 ，总存在曲线 g ( x ) ＝ 3 ax ＋ 2cos x 上某点处的切线 l 2 ，使得 l 1 ⊥ l 2 ，则实数 a 的取值范围为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 由 f ( x ) ＝－ e x － x ，得 f ′ ( x ) ＝－ e x － 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 g ( x ) ＝ 3 ax ＋ 2cos x ，得 g ′ ( x ) ＝ 3 a － 2sin x ， 又－ 2sin x ∈ [ － 2,2] ， 所以 3 a － 2sin x ∈ [ － 2 ＋ 3 a, 2 ＋ 3 a ] ， 要使过曲线 f ( x ) ＝－ e x － x 上任意一点的切线 l 1 ， 总存在过曲线 g ( x ) ＝ 3 ax ＋ 2cos x 上一点处的切线 l 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2016· 四川 ) 已知 a 为函数 f ( x ) ＝ x 3 － 12 x 的极小值点，则 a 等于 A. － 4 B . － 2 C.4 D.2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 ∵ f ( x ) ＝ x 3 － 12 x ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 12 ，令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，则 x 1 ＝－ 2 ， x 2 ＝ 2. 当 x ∈ ( － ∞ ，－ 2) ， (2 ，＋ ∞ ) 时， f ′ ( x ) ＞ 0 ， f ( x ) 单调递增； 当 x ∈ ( － 2,2) 时， f ′ ( x )<0 ， f ( x ) 单调递减， ∴ f ( x ) 的极小值点为 a ＝ 2. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 方法一 　 ( 特殊值法 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二 　 ( 综合法 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(2016· 全国 Ⅰ ) 函数 y ＝ 2 x 2 － e | x | 在 [ － 2,2] 的图象大致 为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 f (2) ＝ 8 － e 2 ＞ 8 － 2.8 2 ＞ 0 ，排除 A ； f (2) ＝ 8 － e 2 <8 － 2.7 2 <1 ，排除 B ； 在 x ＞ 0 时， f ( x ) ＝ 2 x 2 － e x ， f ′ ( x ) ＝ 4 x － e x ， 答案 解析 8. 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax 2 ＋ bx ＋ a 2 在 x ＝ 1 处有极值 10 ，则 f (2) 等于 A.11 或 18 B.11 C.18 D.17 或 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 ∵ 函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax 2 ＋ bx ＋ a 2 在 x ＝ 1 处有极值 10 ， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2 ax ＋ b ， ∴ f (1) ＝ 10 ，且 f ′ (1) ＝ 0 ， ∴ f ( x ) ＝ x 3 ＋ 4 x 2 － 11 x ＋ 16 ， ∴ f (2) ＝ 18. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 已知奇函数 f ( x ) 是定义在 R 上的可导函数，其导函数为 f ′ ( x ) ，当 x ＞ 0 时，有 2 f ( x ) ＋ xf ′ ( x ) ＞ x 2 ，则不等式 ( x ＋ 2 018) 2 f ( x ＋ 2 018) ＋ 4 f ( － 2) ＜ 0 的解集为 A.( － ∞ ，－ 2 016) B .( － 2 016 ，－ 2 012) C.( － ∞ ，－ 2 018) D .( － 2 016,0 ) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 由题观察联想可设 g ( x ) ＝ x 2 f ( x ) ， g ′ ( x ) ＝ 2 xf ( x ) ＋ x 2 f ′ ( x ) ， 结合 条件 x >0，2 f ( x ) ＋ xf ′ ( x ) ＞ x 2 ， 得 g ′ ( x ) ＝ 2 xf ( x ) ＋ x 2 f ′ ( x ) ＞ 0 ， g ( x ) ＝ x 2 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上为增函数 . 又 f ( x ) 为 R 上的奇函数，所以 g ( x ) 为奇函数， 所以 g ( x ) 在 ( － ∞ ， 0) 上为增函数 . 由 ( x ＋ 2 018) 2 f ( x ＋ 2 018) ＋ 4 f ( － 2) ＜ 0 ， 可得 ( x ＋ 2 018) 2 f ( x ＋ 2 018) ＜ 4 f (2) ， 即 g ( x ＋ 2 018) ＜ g (2) ， 所以 x ＋ 2 018 ＜ 2 ，故 x ＜－ 2 016 ，故选 A. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. 函数 f ( x ) ＝ x 3 － 3 a 2 x ＋ a ( a >0) 的极大值是正数，极小值是负数，则 a 的 取值 范围是 _________ _ _. 解析　 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 3 a 2 ＝ 3( x ＋ a )( x － a ) ， 由 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ ± a ， 当－ a < x < a 时， f ′ ( x )<0 ，函数单调递减； 当 x > a 或 x < － a 时， f ′ ( x )>0 ，函数单调递增 . ∴ f ( － a ) ＝－ a 3 ＋ 3 a 3 ＋ a >0 且 f ( a ) ＝ a 3 － 3 a 3 ＋ a <0 ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 已知曲线 C ： y ＝ f ( x ) ＝ x 3 － ax ＋ a ，若过曲线 C 外一点 A (1,0) 引曲线 C 的 两 条切线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为 _____. 解析　 设切点坐标为 ( t ， t 3 － at ＋ a ). 由题意知， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － a ， 切线的斜率为 k ＝ y ′ | x ＝ t ＝ 3 t 2 － a ， ① 所以切线方程为 y － ( t 3 － at ＋ a ) ＝ (3 t 2 － a )( x － t ). ② 将点 (1,0) 代入 ② 式，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此函数 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增， 所以当 x ∈ [0,1] 时， f ( x ) min ＝ f (0) ＝－ 1. 根据题意可知，存在 x ∈ [1,2] ， 使得 g ( x ) ＝ x 2 － 2 ax ＋ 4 ≤ － 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则若存在 x ∈ [1,2] ，使 a ≥ h ( x ) 成立， 只需使 a ≥ h ( x ) min ， 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 设函数 f ( x ) ＝ x e kx ( k ≠ 0). (1) 求曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (0 ， f (0)) 处的切线方程； 解　 由题意可得 f ′ ( x ) ＝ (1 ＋ kx )e kx ， f ′ (0) ＝ 1 ， f (0) ＝ 0 ， 故曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (0 ， f (0)) 处的切线方程为 x － y ＝ 0. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 求函数 f ( x ) 的单调区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3) 若函数 f ( x ) 在区间 ( － 1,1) 上单调递增，求 k 的取值范围 . 即 0< k ≤ 1 时，函数 f ( x ) 在区间 ( － 1,1) 上单调递增； 函数 f ( x ) 在区间 ( － 1,1) 上单调递增 . 综上可知，当函数 f ( x ) 在区间 ( － 1,1) 上单调递增时， k 的取值范围是 [ － 1,0) ∪ (0,1]. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1) 求实数 a 的值； 因为 a ＞ 0 ，所以当 x ∈ ( － ∞ ， 1) 时， f ′ ( x ) ＞ 0 ， f ( x ) 在 ( － ∞ ， 1) 上单调递增； 当 x ∈ (1 ，＋ ∞ ) 时， f ′ ( x ) ＜ 0 ， f ( x ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递减， 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 若函数 g ( x ) ＝ ln f ( x ) － b 有两个零点，求实数 b 的取值范围； 易得函数 g ( x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递减，所以 g ( x ) max ＝ g (1) ＝－ 1 － b ， 依题意知，－ 1 － b ＞ 0 ，则 b ＜－ 1 ， 所以实数 b 的取值范围是 ( － ∞ ，－ 1). 解　 由题意知，函数 g ( x ) ＝ ln f ( x ) － b ＝ ln x － x － b ( x ＞ 0) ， 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以 k ＋ 2 x － x 2 ＞ 0 ，即 k ＞ x 2 － 2 x 对任意 x ∈ (0,2) 都成立，从而 k ≥ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当 x ∈ (1,2) 时， h ′ ( x ) ＞ 0 ，函数 h ( x ) 在 (1,2) 上单调递增， 同理，函数 h ( x ) 在 (0,1) 上单调递减， h ( x ) min ＝ h (1) ＝ e － 1. 依题意得 k ＜ h ( x ) min ＝ h (1) ＝ e － 1 ， 综上所述，实数 k 的取值范围是 [0 ， e － 1).