【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-5古典概型学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）11-5古典概型学案

‎§11.5　古典概型 考纲展示►　‎ ‎1.理解古典概型及其概率计算公式．‎ ‎2．会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率．‎ 考点1　古典概型的简单问题 ‎1.基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是________的．‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成________的和．‎ 答案：(1)互斥　(2)基本事件 ‎2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)试验中所有可能出现的基本事件________．‎ ‎(2)每个基本事件出现的可能性________．‎ 答案：(1)只有有限个　(2)相等 ‎3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是________；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝________.‎ 答案：　 ‎4．古典概型的概率计算公式 P(A)＝________________.‎ 答案： ‎(1)[教材习题改编]从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，基本事件共有________个．‎ 答案：6‎ 解析：基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，共6个．‎ ‎(2)[教材习题改编]抛掷质地均匀的一枚骰子一次，出现正面朝上的点数大于2且小于5的概率为__________．‎ 答案： 解析：抛掷质地均匀的一枚骰子一次，出现点数1,2,3,4,5,6，共6个基本事件，其中正面朝上的点数大于2且小于5的有3,4，共2个基本事件，所以P＝＝.‎ 古典概型：关键在于基本事件的计数．‎ 从1,3,5,7中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率是__________．‎ 答案： 解析：由题意知，“从1,3,5,7中任取2个不同的数”所包含的基本事件为(1,3)，(1,5)，(1,7)，(3,5)，(3,7)，(5,7)，共6个，满足条件的事件包含的基本事件为(1,5)，(1,7)，(3,7)，共3个，所以所求的概率P＝＝.‎ ‎[典题1]　(1)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球、5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球、1个红球的概率为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　从15个球中任取2个球共有C种取法，其中有1个红球、1个白球的情况有CC＝50(种)，所以P＝＝.‎ ‎(2)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ‎8‎ ‎5‎ 未参加演讲社团 ‎2‎ ‎30‎ ‎①从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；‎ ‎②在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,‎ ‎3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．‎ ‎[解]　①由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，‎ 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，‎ 所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.‎ ‎②从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．‎ 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．‎ 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．‎ 因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.‎ ‎[点石成金]　古典概型中基本事件的两种探求方法 ‎(1)列举法 适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的情况．‎ ‎(2)树状图法 适合较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)和(2,1)相同．‎ 考点2　较复杂古典概型的概率 古典概型：基本事件的个数；古典概型概率公式．‎ ‎(1)[2015·云南昆明模拟]抛掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为__________．‎ 答案： 解析：‎ 抛掷两颗相同的正方体骰子，共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数之积等于12的结果有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为＝.‎ ‎(2)小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2,4,6,8按一定顺序构成，小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是__________．‎ 答案： 解析：由2,4,6,8可以组成24个四位数(每个数位上的数都不相同)，其中只有一个能打开锁，能打开锁的概率为，所以不能打开锁的概率为1－＝.‎ ‎[典题2]　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．‎ ‎(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；‎ ‎(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．‎ ‎[解]　(1)由题意，参加集训的男生、女生各有6名．‎ 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，‎ 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.‎ ‎(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.‎ 则P(B)＝＝，P(C)＝＝.‎ 由互斥事件的概率加法，得 P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，‎ 故所求事件的概率为.‎ ‎[点石成金]　1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．‎ ‎2．注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用.‎ 为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜景区旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡．‎ ‎(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；‎ ‎(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．‎ 解：(1)由题意，得省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．‎ 设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，‎ 则P(A)＝＝，‎ 所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是.‎ ‎(2)设事件B为“采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等”，可以分为事件B1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件B2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况．‎ 则P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝，‎ 所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是.‎ 考点3　古典概型的交汇命题 ‎[考情聚焦]　古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 古典概型与平面向量相结合 ‎[典题3]　已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x随机选自集合{－1,1,3}，y随机选自集合{1,3,9}．‎ ‎(1)求a∥b的概率；‎ ‎(2)求a⊥b的概率．‎ ‎[解]　由题意，得(x，y)所有的基本事件为(－1,1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)，‎ ‎(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个．‎ ‎(1)设“a∥b”为事件A，则xy＝－3.‎ 事件A包含的基本事件有(－1,3)，共1个．‎ 故a∥b的概率为P(A)＝.‎ ‎(2)设“a⊥b”为事件B，则y＝3x.‎ 事件B包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个．‎ 故a⊥b的概率为P(B)＝.‎ 角度二 古典概型与直线、圆相结合 ‎[典题4]　[2017·河南洛阳统考]将一颗骰子先后抛掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　依题意，将一颗骰子先后抛掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，‎ 其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤ ，即a2≤b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)，‎ 因此所求的概率为＝.‎ 角度三 古典概型与函数相结合 ‎[典题5]　已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.‎ ‎(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；‎ ‎(2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．‎ ‎[解]　(1)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，‎ 要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，‎ 当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.‎ 若a＝1，则b＝－1；‎ 若a＝2，则b＝－1,1；‎ 若a＝3，则b＝－1,1.‎ ‎∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，‎ ‎∴所求事件的概率为＝.‎ ‎(2)由(1)知，当且仅当2b≤a且a>0时，‎ 函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，‎ 依条件可知，试验的全部结果所构成的区域为.‎ 由得交点坐标为，‎ ‎∴所求事件的概率为P＝＝.‎ 角度四 古典概型与统计相结合 ‎[典题6]　某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制成频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．‎ ‎(1)求频率分布直方图中a的值；‎ ‎(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．‎ ‎[解]　(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.‎ ‎(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，‎ 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.‎ ‎(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；‎ 受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.‎ 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．‎ 又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为.‎ ‎[点石成金]　解决与古典概型交汇命题的关注点 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. ‎ ‎[方法技巧]　1.确定基本事件的方法 ‎(1)当基本事件总数较少时，可用列举法计算；‎ ‎(2)当基本事件总数较多时，可用列表法、树状图法．‎ ‎2．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．‎ ‎3．概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．‎ 公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝∅时，A，B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．‎ ‎[易错防范]　古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·江苏卷]将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．‎ 答案： 解析：解法一：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和小于10的有30种，故所求概率为＝.‎ 解法二：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6种，故所求概率为1－＝.‎ ‎2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．‎ A地区用户满意度评分的频率分布直方图 ‎①‎ B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评 分分组 ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90，‎ ‎100]‎ 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．‎ B地区用户满意度评分的频率分布直方图 ‎②‎ ‎(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．‎ 解：(1)如图所示．‎ 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．‎ ‎(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．‎ 记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图，得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.‎ 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．‎ ‎3．[2016·天津卷]某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为‎4”‎，求事件A发生的概率；‎ ‎(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ 解：(1)由已知，有P(A)＝＝.‎ 所以事件A发生的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 古典概型与平面向量、几何、统计等知识的综合 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ ‎ ‎ 古典概型的考查可以和平面向量、几何、统计等知识相互交汇，在解题中要重视古典概型的计算，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后正确使用古典概型的概率计算公式进行计算．‎ ‎[典例1]　甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱中任选一条，则这2条棱互相垂直的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[思路分析]　‎ ‎[解析]　由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，共有9×9＝ 81(种)结果，满足条件的事件是这两条棱互相垂直，所有可能情况是：‎ 当甲选底面上的一条直角边时，乙有5种选法，共有4条直角边，则共有20种结果；‎ 当甲选底面上的一条斜边时，乙有3种选法，共有2条底面的斜边，则共有6种结果；‎ 当甲选一条侧棱时，乙有6种选法，共有3条侧棱，则共有18种结果，‎ 综上所述，共有20＋6＋18＝44(种)结果，‎ 故2条棱互相垂直的概率是.‎ ‎[答案]　C 温馨提示 以棱柱、棱锥及异面直线、距离等立体几何知识为载体的古典概型求解是高考中的重要题型，题目综合性较强，有一定的难度，解题的关键是要考虑所有的位置关系．‎ ‎[典例2]　设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1,3)．‎ ‎(1)求使得事件“a∥b”发生的概率；‎ ‎(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．‎ ‎[解]　(1)由题意知，‎ m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}．‎ 故(m，n)所有可能的取法共36种．‎ 由a∥b，得n＝‎3m，‎ 则(m，n)的取法共有2种，即(1,3)，(2,6)．‎ 所以事件“a∥b”发生的概率为＝.‎ ‎(2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，‎ 则(m，n)的取法共有6种，‎ 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．‎ 所以事件“|a|≤|b|”发生的概率为＝.‎ ‎ [典例3]　城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间(单位：分钟)作为样本分成5组，如下表所示：‎ 组别 ‎ ‎ 候车时间 ‎ 人数 一 ‎ [0,5) ‎ ‎ 2‎ 二 ‎ [5,10) ‎ ‎ 6‎ 三 ‎ ‎ [10,15) ‎ ‎4‎ 四 ‎ ‎[15,20) ‎ ‎ 2‎ 五 ‎ ‎[20,25] ‎ ‎ 1‎ ‎(1)求这15名乘客的平均候车时间；‎ ‎(2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；‎ ‎(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．‎ ‎[思路分析]　‎ ‎[解]　(1)×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝×157.5＝10.5，‎ 故这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟．‎ ‎(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为＝，‎ 所以候车时间少于10分钟的人数为60×＝32.‎ ‎(3)将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2.‎ 从6人中任选2人的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种，‎ 其中2人恰好来自不同组包含8种可能情况，‎ 故所求概率为.‎