2019届二轮复习第24讲　数学选填题的解题方法与技巧学案（全国通用）

2019届二轮复习第24讲　数学选填题的解题方法与技巧学案（全国通用）

‎(这是边文，请据需要手工删加)‎ 名师导学·高考二轮总复习·理科数学 ‎(这是边文，请据需要手工删加)‎ ‎　专题十　解题方法与策略 ‎(这是边文，请据需要手工删加)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　专　　题　　十 解题方法与策略 第24讲　数学选填题的解题方法与技巧 一、题型特点 近几年来，在新课标全国卷Ⅰ数学试题中选择题一直是12道题，填空题一直是4道题，所占分值为80分，约占数学试题总分数的53%.且在高考题中属于中低难度的试题，仅有个别题属于较高难度试题，在一般的情况下分别按由易到难的顺序排列，在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果，不要求写出解答过程的试题．具有概括性强、小巧灵活、知识覆盖面广，其中融入多种数学思想和方法等特点，可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题和解决问题的能力．‎ 二、解题步骤 ‎(1)仔细审题、吃透题意 审题是正确解题的前提，关键在于将有关概念、公式、定理等基础知识加以集中反应，并发现题目中的一些重要的隐含条件．‎ ‎(2)反复析题、去伪存真 析题就是剖析题意．在认真审题的基础上，对全题进行细致的分析，为正确解题寻好路径．由于选择支相近、相关，因而在析题时对照选择支就显得非常重要，对于一些似是而非的选项，考生可以结合题目条件，加以分析与验证，提高选择的正确率．‎ ‎(3)抓住关键、全面分析 通过审题、析题后找到解题的关键步骤，从关键处入手，快速地形成正确的解题思路，化难为易、化繁为简．高考选择题中的多数可用特殊的方法快速解答．例如：顺推破解法、逆推验证法、估值选择法、特值检验法、数形结合法、极限化法等都是解选择题常用的解法．‎ ‎(4)反复检查、认真核对 对得出的结果细心检查、认真核对也是解选填题必不可少的一个步骤．‎ 由于客观题解答轻过程重结果，因此，平时必须多训练一些解选填题的方法与技巧，力争做到求解题准确、迅速，其基本原则是“小题不能大作”，基本策略是“巧做”．‎ 三、解题方法与技巧 ‎(一)直接演绎法 所谓直接演绎法，就是直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果．‎ 例1[2018·全国卷Ⅰ]已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A. B. C. D. ‎【解析】选A.‎ 记该正方体为ABCD－A′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等，如图，‎ 连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′－AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等，分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ与平面AB′D′平行，且截正方体所得截面的面积最大，又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以该正六边形的面积为6××＝，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A.‎ 例2[2017·江苏]在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．‎ ‎【解析】[－5，1]‎ 设P(x，y)．因为·≤20，所以(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，‎ 化简得(x＋6)2＋(y－3)2≤65.又x2＋y2＝50，所以12x－6y＋30≤0，‎ 故点P的轨迹为劣弧CE，由图可知，点P的横坐标的取值范围为[xD，xC]．‎ 联立消去y，得x2＋4x－5＝0，解得x＝－5或x＝1，即xC＝1，‎ 又因为xD＝－5，所以点P的横坐标的取值范围是[－5，1]．‎ ‎【小结】直接演绎法是解选择填空题最基本的方法，涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目，充分挖掘题设条件，通过严谨的推理，正确的运算必能得出正确的答案．因此，学会熟练运用基本知识，并能迅速分析题目，抓住主干，吃透题意是用直接演绎法解题的不二法宝．‎ ‎(二)特例(值)法 所谓特例(值)法，就是利用满足题设条件的一些特殊数值、特殊函数、特殊方程、特殊数列、特殊点、特殊角、特殊图形、特殊位置等进行求解，从而得出正确答案．‎ 例3已知钝角△ABC中，∠C为钝角，若m＝sin A＋sin B，n＝cos A＋cos B，p＝sin(A＋B)，则m、 n、p的大小关系是(　　)‎ A．m0，b>0)的右支上的一点，F1，F2分别是左、右焦点，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为(　　)‎ A．a B．b C. D．a＋b－ ‎【解析】选A.‎ 如图，点P沿双曲线向右顶点无限接近时，△PF1F2的内切圆越来越小，直至“点圆”，此“点圆”应为右顶点，则内切圆圆心的横坐标为a.故选A.‎ 例8[2015·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是__________．‎ ‎【解析】(－，＋)‎ 如图，作△PBC，使∠B＝∠C＝75°，BC＝2，‎ 作直线AD分别交线段PB、PC于A、D(不与端点重合)，且使∠BAD＝75°，‎ 则四边形ABCD就是符合题意的四边形．将AD在该等腰△PBC内平行移动，平移AD，当点C与点D重合时，AB最短，此时，求得AB＝－；‎ 当点A与点D重合时，AB最长，此时求得AB＝＋，‎ 所以AB的取值范围是(－，＋)．‎ ‎【小结】用极限化法是解选择填空题的一种有效方法，也是在选择填空题中避免“小题大做”的有效途径．它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小做题难度，简化运算，能迅速得到答案．‎ ‎(五)数形结合法 所谓数形结合法是把抽象的数学语言同直观的图形结合起来，通过“以形助数”、“以数辅形”，使抽象思维与形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题．‎ 例9[2015·全国卷Ⅰ]设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】选D.‎ 设g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，‎ 由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y＝ax－a的下方，‎ 因为g′(x)＝ex(2x＋1)，‎ 所以当x<－时，g′(x)<0，‎ 当x>－时，g′(x)>0，‎ 所以当x＝－时，[g(x)]min＝－2e－.‎ 作出大致图象如图所示，当x＝0时，g(0)＝－1，g(1)＝e>0，‎ 直线y＝ax－a恒过(1，0)，斜率为a，‎ 故－a>g(0)＝－1，且g(－1)＝－3e－1≥－a－a，解得≤a<1.故选D.‎ 例10[2017·天津卷]已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C．[－2，2] D. ‎【解析】选A.‎ 根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示，‎ 当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a，又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2，综上，a的取值范围是.选A.‎ 例11已知＝(2，0)，＝(2，2)，＝(cos α，sin α)则向量与夹角的取值范围是________________．‎ ‎【解析】 ‎∵＝(2，2)，＝(2，0)，∴B(2，0)，C(2，2)，‎ ‎∵＝(cos α，sin α)，‎ ‎∴点A的轨迹是以C(2，2)为圆心，为半径的圆．‎ 过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM、CN，如图所示，‎ 则向量与的夹角范围是∠MOB≤〈，〉≤∠NOB.‎ ‎∵||＝2，∴||＝||＝||，‎ 知∠COM＝∠CON＝，但∠COB＝，‎ ‎∴∠MOB＝，∠NOB＝，故≤〈，〉≤.‎ ‎【点评】数形结合大致有以下两条途径：‎ ‎(1)以数解形：通过对数量关系的讨论，去研究曲线的几何性质，‎ 这种思想在解析几何中最常见；‎ ‎(2)以形助数：一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如果能通过构造与之相应的图形进行分析，则能使问题获得更直观的解法，这种解题思想在函数、不等式、向量以及数列中都有所体现，特别是在求方程解的个数，解不等式，求最值等问题中的应用更常见．‎ ‎(3)“数”与“形”是数学的重要基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，如果在解答选择填空题的过程中能够很好的运用这一数学解题中最重要的方法之一，就能够使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，进而简化解题过程，从而达到事半功倍的效果．‎ ‎(六)构造法 所谓构造法就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设置一个框架，从而使问题转化并得到解决的方法．‎ 例12[2015·全国卷Ⅱ]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(0，1)‎ B．(－1，0)∪(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1)∪(－1，0)‎ D．(0，1)∪(1，＋∞)‎ ‎【解析】选A.‎ 构造函数g(x)＝，‎ 则g′(x)＝，‎ 当x>0时，总有xf′(x)－f(x)<0，‎ 即当x>0时，g′(x)恒小于0，‎ ‎∴当x>0时，函数g(x)为减函数，‎ 又∵g(－x)＝g(x)，∴g(x)为定义域上的偶函数，‎ 又∵g(－1)＝＝0，‎ ‎∴g(x)的图象类似如图：‎ 数形结合可得，不等式f(x)>0⇔xg(x)>0‎ ‎⇔或，‎ ‎⇔0

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