浙江省绍兴市嵊州市2020年上半年高三第三次教学质量调测数学试题

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嵊州市 2020 年上半年高三第三次教学质量调测 数学试题 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． ，或 D． ，或 2．欧拉公式 （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域 扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数 学中的天桥”，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于第________象限（ ） A．一 B．二 C．三 D．四 3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： ）是（ ） A．6 B．7 C． D． 4．“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知 x，y 满足不等式组 若 的最小值是 ，则实数 k 的值是（ ） U R= { }0 2A x x= ≤ ≤ { }2 1B x x= ≤ ( )UA B =  { }0 1x x≤ < { }1 2x x< ≤ { 1x x < − }1 2x< ≤ { 1x x < − }0x ≥ ixe cos isinx x= + ie 3cm 22 7 23 3 x y< x y< 3 2 0, 2 3 0, 0, x y x y y + − ≤  − + ≥  ≥ kx y− 5 4 − A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 6．函数 的部分图象如图所示，则（ ） A． ，且 B． ，且 C． ，且 D． ，且 7．安排 3 名志愿者完成 5 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ A．60 种 B．90 种 C．150 种 D．300 种 8．在正方体 中，点 M，N 分别是直线 AD，BC 上的动点，点 P 是 内的动点（不 包括边界），记直线 与 MN 所成角为 ，若 的最小值为 ，则点 P 的轨迹是（ ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分 9．已知 ，设函数 ，函数 ，若函数 没有零点，则（ ） A． ，且 B． ，且 C． ，且 D． ，且 5 8 − 5 12 1 4 5 8 5 8 − 1 4 5 12 1 4 ( ) 2x bf x x a += + 0a > 0b > 0a < 0b > 0a > 0b < 0a < 0b < 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AB D 1A P θ θ 3 π ,a b∈R ( ) 2f x x ax b= + + ( ) 2g x x cx d= + + ( )( ) ( )( )y f g x g f x= − a c= b d= a c≠ b d= a c= b d≠ a c≠ b d≠ 10．已知数列 和 ， ， ， ， ，（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分． 11．双曲线 的实轴长是________，离心率是________． 12．设 ，则 ________， ________． 13．已知 ， ，随机变量 X 的分布列是 X 0 1 3 P a b 若 ，则 ________， ________． 14．在 中，D 是 BC 边上一点，满足 ，若 ， ，则 的面积 的最大值是________，此时 ________． 15．已知单位向量 ， 的夹角为 ， ，则 的最小值为________． 16．已知函数 ，函数 ，记 ，其中 表示实数 p，q 中较小的数．若对 都有 成立，则实数 a 的取值范围是________． 17．已知 P 为椭圆 上一个动点， ， 是椭圆 C 的左，右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆 C 在 P 点处的切线距离为 d，若 ，则 ________． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． { }na { }nb 1 1a = 1 1b = 1 1 n n n n n a a ba b+ + + ⋅= 1 1 n n n n n b a bb a+ + + ⋅= 2020 12a < 2020 13a > 2020 3b < 2020 5b > 2 2 12 x y− = ( ) ( ) ( ) ( )6 2 6 0 1 2 61 1 1 1x a a x a x a x− = + + + + + + + 6a = 0 1 2 6a a a a+ + + + = 10 2a< < 10 2b< < 1 2 ( ) 2 3E X = a = ( )D X = ABC 2BD DC= 3BAC π∠ = 4 3 3BD = ABC BC AC = a b 3 π ( )c a tb t= − + ∈R  c c a+ −   ( ) 13 2 x a f x − = ⋅ ( ) 2 2g x x x= − + ( ) ( ) ( ){ }min ,m x f x g x= { }min p q, x ∈ R ( ) 3 4m x ≤ 2 2 : 14 3 x yC + = 1F 2F 1 2 24 7PF PF⋅ = d = 18．（本小题满分 14 分） 已知函数 ． （1）求 在区间 上的值域； （2）若 ，且 ，求 的值． 19．（本小题满分 15 分） 如图，已知三棱锥 ， ， ， ，直线 BD 与平面 ABC 所 成的角为 ． （1）证明： ； （2）求二面角 的余弦值． 20．（本小题满分 15 分） 已知正项数列 满足 ， ，且数列 是等差数列． （1）求数列 的通项公式； （2）记 ， ，试比较 与 的大小，并予以证明． 21．（本小题满分 15 分） 如图，已知直线 与抛物线 相交于两点 A，B， ，且 ． （1）证明：直线 AB 经过一个定点，并求出定点坐标； （2）设动点 P 满足 的垂心恰好是 ，记点 C 到直线 AB 距离为 d，若 ，求实 数 m 的值． ( ) 22 3sin cos 2sin 1f x x x x= + − ( )f x 0, 2 π     ( ) 2 3f α = − 0, 2 πα  ∈   cos2α D ABC− 2AB AD= = 2 3BC CD= = 3BD = 6 π AC BD⊥ A CD B− − { }na 1 1 2a = 3 4 6a a a⋅ = { }2n na { }na 1 1 2n n nb an + += + 1 2n nS b b b= + + + nS 3 2 1 n n + :l x my t= + 2y x= ( )1,1C AC BC⊥ PAB ( )1,0E 1d PE⋅ = 22．（本小题满分 15 分） 已知函数 ，其中 ，是自然对数的底数． （1）当 时，证明： 是 的一个极小值点； （2）若 在区间 上的最小值为 1，求实数 k 的值． 2020 年嵊州市上半年高考选考第三次适应性考试 数学参考答案及评分建议 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分． 1-5 BABDC 6-10 ACBCB 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，满分 36 分． 11． ； 12．1；1 13． ； 14． ；2 15． 16． ，或 17． 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 74 分． 18．（本题满分 14 分） 解析： 解：（1）因为 ，所以 ， ( ) ( )e lnxf x x k x= − − e 2.718=  2e 1k = - 1x = ( )f x ( )f x ( )0,+∞ 2 2 6 2 1 3 5 9 2 3 7 3 2a ≤ − 7 2a ≥ 14 2 ( ) 22 3sin cos 2sin 1f x x x x= + − 3sin 2 cos2x x= − 2sin 2 6x π = −   0, 2x π ∈   526 6 6x π π π− ≤ − ≤ 因为 在 上是增函数，在 上是减函数， 所以 在 上是增函数，在 上是减函数． 又 ， ， 所以 在区间 上的值域是 ． （2）由 知 ， 又 ， 所以 ，所以 ． 所以 ． 19．（本题满分 15 分） 解：（1）过 D 作 于 E，连接 BE． 因为 ， ， 所以 ， 于是 ． 所以 平面 BDE． 2siny x= ,6 2 π π −   5,2 6 π π     ( )f x 0, 3 π     ,3 2 π π     ( )0 1 12f f π = − < =   23f π  =   ( )f x 0, 2 π     [ ]1,2− ( ) 2 3f α = − 1sin 2 06 3 πα − = − <   526 6 6 π π πα− ≤ − ≤ 2 06 6 π πα− ≤ − < 2 2cos 2 6 3 πα − =   cos2 cos 2 6 6 π πα α  = − +     cos 2 cos sin 2 sin6 6 6 6 π π π πα α   = − ⋅ − − ⋅       2 6 1 6 += DE AC⊥ AB AD= BC CD= ABD CBD ≌ BE AC⊥ AC ⊥ 所以 ． （2）由（1）可知， 平面 BDE， 所以平面 平面 BDE， 所以交线 BE 就是 BD 在平面 ABC 上的射影， 故 就是直线 BD 与平面 ABC 所成的角，即 ． 因为 ， ， 所以 ， ． 因为 平面 BDE， 所以平面 平面 BDE 于 DE． 过 B 作 于 F， 所以 平面 BDE，且 ． 过 B 作 于 G， 则 就是二面角 的平面角． 处理一：在 中， ， ， 所以 BD 边上的高为 ， 于是 ， 所以 ， 故 ， 所以二面角 的余弦值为 ． 处理二：在 中， ， ，所以 ． AC BD⊥ AC ⊥ ABC ⊥ DBE∠ 6DBE π∠ = BE DE= 3BD = 3BE DE= = 2 3BED π∠ = AC ⊥ ACD ⊥ BF DE⊥ BF ⊥ 3 2BF = BG CD⊥ BGF∠ A CD B− − BCD 2 3BC CD= = 3BD = 39 2h = 393 3 132 42 3 BD hBG CD ⋅⋅= = = 3 22sin 3 13 13 4 BFBGF BG ∠ = = = 3 13 13cos BGF∠ = A CD B− − 3 13 13 Rt CDE 3DE = 2 3CD = 3CE = 过 E 作 于 H，则 ， 所以 ， 所以 ，故 ． 所以二面角 的余弦值为 ． 方法 2：由（1）可知， 平面 BDE， 所以平面 平面 BDE， 所以交线 BE 就是 BD 在平面 ABC 上的射影， 故 就是直线 BD 与平面 ABC 所成的角，即 ． 因为 ， ， 所以 ， ， 在 中， ， ，所以 ． 以 E 为坐标原点， ， 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图所 示， 则 ， ， ， ． 所以 ， ， ． 设平面 ACD 的一个法向量为 ， EH CD⊥ 3 2EH = 3 9 2 4FG EH= = 2 3 BFtan BGF FG ∠ = = 3 13cos 13BGF∠ = A CD B− − 3 13 13 AC ⊥ ABC ⊥ DBE∠ 6DBE π∠ = BE DE= 3BD = 3BE DE= = 2 3BED π∠ = Rt CDE 3DE = 2 3CD = 3CE = EA EB ( )1,0,0A ( )0, 3,0B ( )3,0,0C − 3 30, ,2 2D  −    ( )4,0,0AC = − 3 33, ,2 2CD  = −     ( )3, 3,0BC = − − ( ), ,n x y z= 则 ，且 ，可取 ． 同理：可取平面 BCD 的一个法向量为 ． 因为二面角 是锐二面角， 所以二面角 的余弦值为 ． 20．（本题满分 15 分） 解：（1）设等差数列 的公差为 ，其首项 ， 所以 ，即 ． 同理 ， ． 因为 ，所以 ， 化简得： ， 解得 ，或 ． 当 时， ， 故 ， 此时，当 时， ，不符合 是正项数列． 当 时， ，故 ，符合 是正项数列． 综上所述： ． （2）因为 ，所以 ， 0n AC⋅ = 0n CD⋅ = ( )0, 3,1n = ( )1, 3, 3m = − − A CD B− − A CD B− − 6 3 13cos , 132 13 m nm n m n ⋅= = =⋅      { }2n na ( )0d d > 12 1a = 3 32 1 2a d= + 3 3 1 2 2 da += 4 4 1 3 2 da += 6 6 1 5 2 da += 3 4 6a a a⋅ = 6 3 4 1 5 1 2 1 3 2 2 2 d d d+ + += ⋅ 26 5 1 0d d− − = 1 6d = − 1d = 1 6d = − ( ) 12 1 1 6 n na n  = + + ⋅ −   7 6 2n n na −= ⋅ 7n ≥ 0na ≤ { }na 1d = 2n na n= 2n n na = { }na 2n n na = 1 1 2n n nb an + += + ( ) ( ) 2 1 1 2 2n n nb n + += + ⋅ 故 ， ， ， 所以 ． 又因为 是关于 n 的增函数， 所以 ． 所以当 时， ． 当 时， ． 又 ． 所以 ． 所以当 时， ． 综上： ． 21．（本题满分 15 分） 解：（1）联立 与 消去 x 化简整理得： ． 设 ， ， 则 ， ． 由 可知 ． 又 ， ， 所以 1 1 3b = 2 9 32b = 3 1 5b = 1 2 3 1 9 1 8 9 8 14 13 32 5 15 32 15 30b b b+ + = + + = + < + = ( ) 3 3 12 1 2 nf n n n = =+ + ( ) ( )3 1 12 1 nf n fn = ≥ =+ 3n ≤ 1 2 3 2 1n nb b b n + + + < + 4n ≥ ( ) ( )3 442 1 3 nf nn f= ≥ =+ 1 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2n n n n n n n n n nb n + + + + + + + += ⋅ < = −+ 1 2 2 1 1 2 2 3 4 3 2 2 3n n nb b b + + + + + + ≤ + − <   4n ≥ 1 2 3 2 1n nb b b n + + + < + 1 2 3 2 1n nb b b n + + + < + x my t= + 2y x= 2 0y my t− − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2y y m+ = 1 2y y t= − AC BC⊥ 0CA CB⋅ =  ( )1 11, 1CA x y= − − ( )2 21, 1CB x y= − − ( )( ) ( )( )1 2 1 21 1 1 1CA CB x x y y⋅ = − − + − −  所以 ， 即 ，所以 ． 所以直线 ，它经过定点 ． （2）由（1）可知： ． 因为 E 是 的垂心， 所以 ，且 ． 由 得 ，即 ①． 设 ，则 ②， 又 ， ， 所以 ③， 由①②③得： ， 即 ， 同理：由 可得： ． 所以 ， 是方程 的两组解， 故此方程表示直线 ． 又因为直线 ， 所以 ， ， 解得： ， ． 所以 ． ( )( ) ( )( )2 2 1 2 1 21 1 1 1y y y y= − − + − − ( )( ) ( )1 2 1 2 1 21 1 2 0y y y y y y= − − ⋅ + + + =   ( )1 2 1 2 2 0y y y y+ + + = 2 0m t− + = 2t m= + : 2AB x my m= + + ( )2, 1− 2 2 1 1 md m += + PAB AE PB⊥ BE PA⊥ AE PB⊥ 0AE PB⋅ =  EA EP EA EB⋅ = ⋅    ( )0 0, P x y ( )( )1 0 1 01 1EA EP x x y y⋅ = − − +  ( )22 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 4x x y y y y y m m+ = + = + − = + +y ( )22 2 1 2 1 2 2x x y y m= ⋅ = + ( )( )1 2 1 21 1 1 EA EB x x y y m⋅ = − − + = −  ( )( )1 0 1 01 1 1x x y y m− − + = − ( )0 1 0 1 01 2x x y y x m− + = + − BE PA⊥ ( )0 2 0 2 01 2x x y y x m− + = + − ( )1 1, x y ( )2 2,x y ( )0 0 01 2x x y y x m− + = + − ABl ( ): 2 0l x my m− − + = 0 0 1 y mx = −− 0 0 2 21 x m mx + − = +− 0 11 1 mx m −− = + ( ) 0 1 1 m my m − ⋅ −= + ( )2 2 2 0 0 11 11 mPE x y mm −= − + = ⋅ ++ 所以 ． ①当 时， ， 解得 ． ②当 时， ， 解得 ． 综上所述： ，或 ． 22．（本题满分 15 分） 解： ． （1）当 时， ， 令 ， ，则 ， 所以 是区间 上的增函数． 又 ， 所以当 时 ；当 时 ； 所以 是 的一个极小值点 0． （2）因为 在区间 上的最小值为 1， 所以 ， 即 在区间 上恒成立， 故 ． 因为 的导数 ． ( )( )1 2 1 11 m md PE m − +⋅ = =+ ( )( )1 2 1 1m m m− + = + 2 1 0m m− − = 1 5 2m ±= ( )( ) ( )1 2 1 1m m m− + = − + 2 0m = 0m = 1 5 2m ±= 0m = ( ) ( ) 11 exf x x k x ′ = + − − 2e 1k = − ( ) ( ) ( ) 11 e 2e 1xf x x x ′ = + − − − ( ) ( )g x f x′= 0x > ( ) ( ) 2 12 e 0xg x x x ′ = + + > ( ) ( )g x f x′= ( )0,+∞ ( ) ( )1 1 0g f ′= = 0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x′ > 1x = ( )f x ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( )e ln 1xf x x k x= − − ≥ 1 lnex xk x x ≤ − − ( )0,+∞ min 1 lnex xk x x  ≤ − −   ( ) 1 lnex xF x x x = − − ( ) 2 2 2 ln e lne x x x x xF x x x +′ = + = 令 ，则 在在 上是增函数， 且 ， ， 所以存在 ，则 ． 故当 时 ，即 ； 当 时 ，即 ； 所以 ． 设 ，则 ， 于是 ． 设 ，它是区间 上的减函数，且 ， 又 ，故 ． 于是 ，从而 ． 由 在区间 上的最小值为 1 可知 不等式 的等号必须成立，故 ． ( ) 2e lnxG x x x= + ( )G x ( )0,+∞ 12 e1 e 1 0eG − +  = − <   ( )1 e 0G = > 0 1 ,1ex  ∈   02 0 0e ln 0xx x+ = 00 x x< < ( )0 0G x < ( )' 0F x < 0x x> ( )0 0G x > ( ) 0F x′ > ( ) 0 0 0 min 0 0 e 1 ln 1, ,1e x xF x x x xx −  = − ∈       0 0 0 0 lne 0x xx mx = − = > 0 0ln lnx x m+ = 0 0 ln 0x mx m− − = ( ) 0 0 lnH t x tx t= − − ( )0,+∞ ( )1 0H = ( ) 0H m = 1m = ( ) 0 0 0 min 0 0 e 1 ln 1 x F xx x x x −= − =   1k ≤ ( )f x ( )0,+∞ 1 lnex xk x x ≤ − − 1k =